σ Analisi in campo elastico di piccoli intagli. 4. TIPI DI ANALISI SVOLTE E RISULTATI.

4. TIPI DI ANALISI SVOLTE E RISULTATI.

4.1

Analisi in campo elastico di piccoli intagli.

Considerando il caso di cilindro “infinito” l’idea è stata quella di confrontare in campo elastico la distribuzione di tensione di varie coppie (Raggio di raccordo; Profondità d’intaglio). Per fare questo un modo ragionevole è sembrato quello di confrontare gli intagli a parità di tensione principale massima.

Tabella 4-1 Valori di profondità intaglio( P ) e raggio intaglio( R ) scelti.

Tenendo conto della definizione di Kt [8] e per avere intagli nelle stesse condizioni di tensione massima deve succedere che:

( 4.1)

Da osservare che la definizione di Kt si riferisce alla tensione massima in direzione della tensione nominale ed in questo caso (Fig. 3-2) alla

σ

Profondità di intaglio ( P ) Raggio intaglio ( R ) 1.5 0.005 1.3 0.0055 1 0.00625 0.75 0.0068 0.5 0.0075 0.3 0.009 0.15 0.01 0.075 0.012 0.05 0.013 0.03 0.015 0.015 0.018 0.01 0.023 0.0075 0.027 0.005 0.03 0.04 0.05 0.075 0.1 0.15 0.225 0.3 0.4 0.5

Fig. 4-1 Cilindro intagliato soggetto a trazione, con indicazione dei parametri geometrici principali.

costante nom Kt y massima

Fig. 4-3 Superficie Kt (P; R ).

diagramma del Kt per il cilindro intagliato di diametro 2500 mm, per le varie profondità di intaglio e raggi di raccordo, cioè la costruzione, per punti, della superficie Kt (R; P).

Con riferimento ai valori (P; R) indicati in Tabella 4-1 è stato ottenuto il diagramma:

Fig. 4-2 Superficie Kt(P; R).

L’utilizzo dei valori P ed R indicati in Tabella 4-1, sebbene abbia comportato un elevato numero di prove, ha consentito di ottenere per punti curve abbastanza precise, da utilizzarsi come base anche per le analisi elasto-plastiche e le elaborazioni numeriche successive.

4.1.1 Prove effettuate e risultati.

Per fare le prove, sono stati scelti dei valori di Kt che non fossero troppo eccessivi. In figura 3-4 è rappresentata la variazione del Kt al variare del raggio (per ciascuna profondità di intaglio) ed i valori scelti, in figura Fig. 4-5 sono rappresentate delle curve a Kt=cost ed i valori di Profondità intaglio e raggio intaglio utilizzati.

.

Per ciascun valore di Kt analizzato, si è utilizzata una tensione nominale data dalla relazione

Fig. 4-4 Variazione del Kt e valori scelti.

Fig. 4-5. Per ogni valore di Kt sono state confrontate tutte le tensioni principali in direzione radiale (a), e le tensioni di taglio in una direzione inclinata di 45° rispetto a quella radiale (a’). In Fig. 4-6, Fig. 4-7 sono rappresentati i grafici dei risultati ottenuti per il caso Kt=3.07, mma analoghi andamenti si ottengono anche per i restanti valori. Si può osservare in Fig. 4-6 come, rappresentando tutte le grandezze in funzione del rapporto a/R, si ottengono grafici sovrapposti. In Fig. 4-8, invece, è riportato il diagramma della tensione principale σy, in funzione del rapporto

a/R, per i diversi valori di Kt scelti. Si può osservare come per a/R>0.5 le tensioni σy tendono al valore nominale che, ovviamente, è diverso nei vari casi. Per valori di a/R<0.5 gli andamenti della tensione

σ

geometricamente normalizzata rispetto al raggio, in cui si ha la medesima sollecitazione; ad uguale stato di tensione massima, corrispondono tuttavia, com’è noto, vite a fatica differenti a causa della diversa sensibilità all’intaglio. Questo risultato è in accordo con quanto trovato in letteratura, per intagli di dimensione maggiore, si veda per esempio [18]. Si è ritenuto opportuno eseguire delle analisi elasto-plastiche per vedere l’effetto della plasticità sullo stato di tensione.

Fig. 4-7 Andamento delle tensioni di taglio in direzione (a’) inclinata di 45° rispetto a quella radiale (a) per il caso Kt=3.07.

nominale costante=

f L

k ⋅σ = σ

4.2

Analisi in campo elasto-plastico di piccoli intagli.

Come primo insieme di prove, sono stati analizzati intagli a parità di Kf, considerando così varie coppie (P; R) a parità di vita a fatica, ed è stata utilizzata una tensione nominale calcolata secondo la relazione:

( 4-2) Per fare questo è stato utilizzato un valore di tensione σ_L superiore alla metà dello snervamento macroscopico del materiale di circa il 20%. Tale valore solitamente è vicino al limite di fatica. In particolare, sono stati considerati quattro valori di Kf, (Kf=1.68, 1.85, 2.3, 3.25) e quattro valori di snervamento “locale”, inferiori al limite di fatica, così da simulare in prima approssimazione eventuali variazioni locali di proprietà del materiale e vederne l’effetto su ciascun intaglio in termini di andamento delle tensioni. In particolare sono stati utilizzati gli stessi valori di tensione nominale calcolati con lo snervamento macroscopico, ma è stato imposto al modello FEM un valore di snervamento inferiore, secondo quanto indicato in Tabella 4-2.

Snarvamento macroscopico (Sn_macro) in Mpa

Snervamento locale

(Sn_loc) in MPa Sn_ loc in % rispetto allo Sn_macro

225 130 57.8%

120 53.3%

100 44.4%

80 35.6%

Tabella 4-2 Indicazione dello snervamento macroscopico e dei valori locali.

Come secondo insieme di prove sono stati confrontati intagli a parità di Kf, ma con tensione nominale calcolata secondo la relazione k_t⋅σ_nom =σ_L =135MPa, così da vedere l’effetto della plasticità sulle tensioni in prossimità della superficie dell’intaglio. Anche in questo caso, sono stati utilizzati diversi valori dello snervamento “locale” secondo Tabella 4-2.

Come terzo insieme di prove, sono stati confrontati intagli a parità di Kt in campo però elasto-plastico. Sono stati scelti quattro valori di Kt, (3.23, 4.77, 5.8, 10.23), ed i valori di snervamento locale specificati in Tabella 4-2.

4.2.1.1 Valutazione del fattore di sensibilità all’intaglio

Come prima fase si è dovuto valutare il fattore di sensibilità all’intaglio( q ), per valutare il Kf secondo la relazione:

( 4.3)

1 -1

f ( t ) q

Esistono in letteratura [8] sia grafici che riportano q in funzione della tensione di rottura del materiale e del raggio di fondo intaglio(R), sia formule analitiche, come per esempio la formula di Peterson o Neuber [4] per la valutazione del fattore q. E’ stata utilizzata la formula di Neuber, espressa da:

( 4.4)

Dove Cp è un parametro da valutare secondo il seguente diagramma, valido per gli Acciai:

Nel caso in esame ( tensione di rottura 450 MPa) Cp vale 0.223 mm, ed il diagramma del fattore q risulta quello di Fig. 4-10.

1 1 q Cp R = +

Utilizzando il fattore q e la superficie Kt (P; R) già ricavata, è stato possibile ottenere l’analoga superficie Kf (P; R).

Fig. 4-11 Superficie Kf (P; R ).

Sn_macro 1.2

nom Kf limite 135MPa

σ

σ ⋅ =σ = ⋅ =

4.2.1.2 Risultati ottenuti.

Il primo insieme di prove elasto-plastiche effettuate è stato quello con coppie (P; R) a parità di Kf. I valori di Kf scelti sono riportati nella Fig. 4-14, in cui sono anche sintetizzati i valori ammissibili di Kf per le varie profondità di intaglio.

In tabella 3-5 sono riassunti in quattro gruppi le coppie e le tensioni nominali da applicare per avere la stessa resistenza a fatica secondo la relazione:

Fig. 4-14 Valori di kf scelti.

In Appendice1 sono riportati i diagrammi relativi alle tensioni in direzione y ed anche i diagrammi di sollecitazione a taglio in direzione a’ inclinata di 45° rispetto a quella radiale (a). In Appendice 2 sono riportati i diagrammi relativi alle tensioni principali di minore entità ad alle tensioni di Von Mises, utili per avere un’idea della estensione della regioni plastica.

Con riferimento al caso Kf=3.25,(considerazioni analoghe valgono per gli altri valori) si può osservare (Fig. 4-18) che esiste una zona attorno all’intaglio con andamento di tensione massima (σ_y) molto simile. Interessante è osservare che i valori di tensione superficiale risultano molto vicini. Visto che le coppie a parità di Kf hanno lo stesso comportamento a fatica, dall’analisi svolta si potrebbe pensare che la tensione superficiale massima in direzione y risulti proprio il parametro influente. Tuttavia, tenendo conto delle semplificazioni del modello FEM, in particolare il materiale bilineare, non è possibile avere la certezza sul significato della tensione

Tabella 4-3 Indicazione delle coppie (P; R) analizzate con indicazione dei valori di Kf e Kt.

massima superficiale, ma sicuramente quello che deve essere analizzato è il comportamento delle tensioni in una regione prossima all’intaglio, infatti oltre certi valori di a (vedi Appendice 1, Fig. 4-16), gli andamenti di tensione ed in special modo i valori di tensione massima risultano diversi. Si può osservare inoltre che nel caso elasto-plastico intagli diversi, a parità di vita a fatica, danno origine a sollecitazioni massime ed a gradienti di sollecitazione diversi e quindi diverse probabilità di avere difetti pericolosi nelle zone maggiormente sollecitate. L’utilizzo di tensioni di snervamento locale per simulare variazioni locali di proprietà del materiale, non produce delle particolari anomalie nell’andamento delle tensioni.

Come secondo insieme di prove sono stati confrontati intagli a parità di Kf, ma con tensione nominale calcolata secondo la relazione k_t⋅σ_nom =σ_L =135MPa, così da vedere l’effetto dello snervamento sulle tensioni in prossimità della superficie dell’intaglio. Come per l’insieme di prove precedenti, sono stati utilizzati diversi valori dello snervamento “locale”. I diagrammi relativi a queste prove sono raccolti in Appendice 3.

Si riporta in Fig. 4-16 il diagramma relativo ad uno snervamento locale pari a 100 MPa, confrontato con la situazione analizzata nel precedente insieme di prove a parità di vita a fatica. Si può osservare che, per effetto della plasticità, le tensioni superficiali risultano molto vicine fra loro, sebbene in questo caso le coppia non abbiano la stessa resistenza a fatica, visto le tensioni nominali differenti. Considerando anche gli altri valori di snervamento, si osserva che una riduzione dello snervamento locale ha come effetto quello di produrre una plasticizzazione ovviamente maggiore ed i valori di tensione superficiale tendono ad essere sempre più vicini ( effetto di “appiattimento delle tensioni”); se la zona plastica si riduce, i valori di tensione massima superficiale tendono a confondersi in un unico valore in accordo a quanto osservato nelle prove di intagli a parità di tensione massima nel caso di materiale elastico.

(b) Tensione nominale calcolata secondo la relazione K_t⋅σ_nom =σ_L =135MPa.

(a) Tensione nominale calcolata secondo la relazione K_f ⋅σ_nom=σ_L=135MPa.

Sono state eseguite anche un insieme di prove a parità di Kt sempre in campo elasto-plastico, confrontando intagli a parità di tensione massima. In Tabella 4-3 e Fig. 4-17 sono indicati i valori scelti di Kt in relazione anche alle prove con il Kf precedenti. Sono stati scelti dei valori di Kt che non si discostassero troppo da quelli corrispondenti alle geometrie delle prove precedenti a parità di vita a fatica.

Tabella 4-4 Variazione di Kt per i vari Kf scelti nelle prove precedenti.

KF Kt minimo Kt massimo Delta Kt

1.68 3.20669414 5.562502199 2.355808064

1.86 3.1772136 5.816168355 2.638954753

2.3 3.23501969 10.23100676 6.995987069

3.25 4.77689069 15.97002129 11.1931306

Dai grafici riportati in seguito, si osserva come i valori di tensione riportati in funzione del rapporto a/R ed a’/R, siano coincidenti anche al variare dello snervamento locale. Il comportamento di intagli diversi in campo plastico, almeno secondo il modello elasto-plastico bilineare utilizzato, risulta analogo al caso di materiale puramente elastico. I valori di tensione massima superficiale risultano praticamente coincidenti.

In Fig. 4-18 sono riportati a titolo di esempio i grafici relativi alle tensioni principali nel caso Kt=3.23 e snervamento locale di 100MPa.

Fig. 4-17 Valori di Kt scelti in relazione ai vari Kf delle analisi a parità di vita a fatica.

Fig. 4-18 Tensioni principali per il caso Kt=3.25 e snervamento locale di 100 MPa.

4.3

Conclusioni

Dalle analisi precedenti, si può dedurre che il semplice modello con materiale omogeneo bilineare non permette di interpretare bene il fenomeno, visto che non si riesce ad ottenere il parametro influente per il confronto fra intagli di piccola dimensione in presenza di plasticità. L’effetto dello snervamento risulta quello di “appiattire” i picchi di tensione, ma non fornisce particolari indicazioni. Dato che intagli nelle stesse condizioni di vita a fatica (Fig. 4-16) presentano valori di tensione principale massima differenti e differenti gradienti di sollecitazione (quindi differente probabilità di incontrare difetti nella zona più sollecitata), si è pensato di verificarne il comportamento in regioni non molto lontane dall’intaglio e in presenza di difetti e di proprietà anisotrope del materiale (suddivisione in grani cristallini). Questo si dovrebbe dimostrare molto utile specialmente nel caso di piccoli intagli come quelli studiati dove il raggio intaglio è prossimo alle dimensioni dei grani cristallini.