Prova scritta di Matematica A.A. 2001-2002 Appello del 16/7/2002

Facolt`a di Agraria

Prova scritta di Matematica A.A. 2001-2002 Appello del 16/7/2002

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Data la retta r di equazioni parametriche

½ x = 2t − 1

y = t + 1, t ∈ R,

1. scrivere le equazioni parametriche della retta perpendicolare a r e passante per l’origine;

2. scrivere le equazioni parametriche della cir- conferenza con centro nel punto di in- tersezione delle due rette e passante per l’origine.

1.

½ x = t

y = 2t, t ∈ R, 2.

( x = ^{√ 3} ₅ cos t − ³ ₅

y = ^{√ 3} ₅ sen t + ⁶ ₅ , t ∈ R,

2. Calcolare l’integrale Z _1/6

1/12

1 − 6x x − 3x ² dx

2 log 2 − log 3

3. Risolvere la disequazione 2| log x| + log |x| ≤ 1

[1/e, √

e]

2 Matematica, 1/1/2002

4. Data la funzione

f (x) = x arctg(x ² ) 1. determinarne il dominio;

2. stabilire se `e pari o dispari;

3. calcolare eventuali limiti interessanti;

4. determinare in quali intervalli f `e crescente e in quali decrescente;

5. determinare in quali intervalli f `e concava e in quali `e convessa;

6. stabilire se esistono e quante sono le soluzioni dell’equazione f (x) = 1, e calcolarne un val- ore approssimato con un errore inferiore a 1/8;

7. disegnarne un grafico approssimativo di f .

1. R 2. `e dispari 3. lim

x→+∞ f (x) = +∞

4. f ⁰ (x) = arctg(x ² ) + 2 x ²

1 + x ⁴ ; f `e crescente in R;

5. f ⁰⁰ (x) = −2x ⁵ + 6x

(1 + x ⁴ ) ² ; f `e convessa in ] −

∞, − √

3] e in [0, √

3] e concava in [− √

3, 0]

e in [ √

3, +∞]

6.

5. Dato il problema di Cauchy ( y ⁰ = 2 − y

y(0) = 10,

1. cosa si pu`o dire in merito all’esistenza e all’unicit`a della soluzione?

2. dire se la funzione y(t) = 8t + 10 `e una soluzione;

3. dire se la funzione y(t) = 8 e ^−t +2 `e una soluzione;

1. la soluzione esiste ed `e unica perch`e l’equazione `e lineare;

2. no 3. si

4. la soluzione `e unica perch`e l’equazione `e

lineare.