Facolt`a di Agraria Prova scritta di Matematica A.A. 2000-2001 Appello del 10/12/2001

(1)

1

Facolt` a di Agraria

Prova scritta di Matematica

A.A. 2000-2001 Appello del 10/12/2001

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Data la funzione

f (x) = x ² + 2x + 11 31 − 2x 1. determinarne il dominio;

2. determinare in quali intervalli f `e crescente e in quali decrescente;

3. determinare in quali intervalli f `e concava e in quali `e convessa;

4. disegnarne un grafico approssimativo.

1. R \ {31/2}

2. `e crescente in ⁻³¹⁺ ₂ ^√ ¹¹²⁹ , ³¹ ₂ [ e in ] ³¹ ₂ , ³¹⁺ ^√ ₂ ¹¹²⁹ ]; `e decrescente in ] − ∞, ⁻³¹⁺ ₂ ^√ ¹¹²⁹ ] e in [ ³¹⁺ ^√ ₂ ¹¹²⁹ , +∞[.

3. `e convessa in ] − ∞, ³¹ ₂ ] e concava in ] ³¹ ₂ , +∞[.

4. 2. Data la successione a n = n ² + 2n + 11

31 − 2n n = 1, 2, 3, ...

1. dire se `e limitata;

2. calcolare estremo superiore e inferiore ri- conoscendo se sono, rispettivamente, massimo e minimo.

1. non `e limitata 2. inf a n = −∞,

max a n = a 15 = 266

3. Risolvere la disequazione

log |x| − log |x − 2| ≥ log(x − 1) ]1, 2[∪]2, 2 + √

2]

(2)

2 Matematica, 10/12/2001

4. Si consideri la funzione f :]0, +∞[→ f (R) con legge

f (x) =

½ log x − a se x ≤ 1 (x − 1) ² se x > 1 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = 2 la funzione `e invertibile e, in ca- so affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione f `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione f `e derivabile in ogni punto.

1. a ≥ 0

2. f ⁻¹ :] − ∞, −2]∪]0, +∞[→]0, +∞[

f ⁻¹ (y) =

½ e ^y+2 se y ≤ −2 1 + √

y se y > 0

3. a = 0 4. non esistono

5. Calcolare il limite

x→+∞ lim x (1 + 3 √

x) ² 1/9

6. Data la retta r di equazione 2y + x + 1 = 0, 1. determinare l’equazione della retta ortogonale a

r e passante per il punto (2, 1);

2. determinare l’equazione della retta parallela a r e passante per il punto (2, 1).

1. 2x − y − 3 = 0 2. x + 2y − 4 = 0

7. Dato il problema di Cauchy

½ y ⁰ = 2y + y ³ y(0) = y 0 ,

1. determinare una soluzione nel caso in cui y 0 = 0;

2. stabilire se la funzione y(t) = √

³

t + 2 `e una soluzione del problema nel caso in cui y 0 = 2;

3. determinare il dominio della funzione y(t) = 2

√ 3 e ^−4t −2 e stabilire se `e una soluzione del problema nel caso in cui y 0 = 2.

1. y(t) = 0 ∀ t 2. no

3. ] − ∞, ¹ ₄ log ³ ₂ [, `e soluzione.

Facolt`a di Agraria Prova scritta di Matematica A.A. 2000-2001 Appello del 10/12/2001

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Facolt` a di Agraria

Prova scritta di Matematica

A.A. 2000-2001 Appello del 10/12/2001

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Data la funzione

f (x) = x 2 + 2x + 11 31 − 2x 1. determinarne il dominio;

2. determinare in quali intervalli f `e crescente e in quali decrescente;

3. determinare in quali intervalli f `e concava e in quali `e convessa;

4. disegnarne un grafico approssimativo.

1. R \ {31/2}

2. `e crescente in −31+ 2 √ 1129 , 31 2 [ e in ] 31 2 , 31+ √ 2 1129 ]; `e decrescente in ] − ∞, −31+ 2 √ 1129 ] e in [ 31+ √ 2 1129 , +∞[.

3. `e convessa in ] − ∞, 31 2 ] e concava in ] 31 2 , +∞[.

4.

2. Data la successione a n = n 2 + 2n + 11

31 − 2n n = 1, 2, 3, ...

1. dire se `e limitata;

2. calcolare estremo superiore e inferiore ri- conoscendo se sono, rispettivamente, massimo e minimo.

1. non `e limitata 2. inf a n = −∞,

max a n = a 15 = 266

3. Risolvere la disequazione

log |x| − log |x − 2| ≥ log(x − 1) ]1, 2[∪]2, 2 + √

2]

2 Matematica, 10/12/2001

4. Si consideri la funzione f :]0, +∞[→ f (R) con legge

f (x) =

½ log x − a se x ≤ 1 (x − 1) 2 se x > 1 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = 2 la funzione `e invertibile e, in ca- so affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione f `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione f `e derivabile in ogni punto.

1. a ≥ 0

2. f −1 :] − ∞, −2]∪]0, +∞[→]0, +∞[

f −1 (y) =

½ e y+2 se y ≤ −2 1 + √

y se y > 0

3. a = 0 4. non esistono

5. Calcolare il limite

x→+∞ lim x (1 + 3 √

x) 2 1/9

6. Data la retta r di equazione 2y + x + 1 = 0, 1. determinare l’equazione della retta ortogonale a

r e passante per il punto (2, 1);

2. determinare l’equazione della retta parallela a r e passante per il punto (2, 1).

1. 2x − y − 3 = 0 2. x + 2y − 4 = 0

7. Dato il problema di Cauchy

½ y 0 = 2y + y 3 y(0) = y 0 ,

1. determinare una soluzione nel caso in cui y 0 = 0;

2. stabilire se la funzione y(t) = √

t + 2 `e una soluzione del problema nel caso in cui y 0 = 2;

3. determinare il dominio della funzione y(t) = 2

√ 3 e −4t −2 e stabilire se `e una soluzione del problema nel caso in cui y 0 = 2.

1. y(t) = 0 ∀ t 2. no

3. ] − ∞, 1 4 log 3 2 [, `e soluzione.

f (x) = x ² + 2x + 11 31 − 2x 1. determinarne il dominio;

2. `e crescente in ⁻³¹⁺ ₂ ^√ ¹¹²⁹ , ³¹ ₂ [ e in ] ³¹ ₂ , ³¹⁺ ^√ ₂ ¹¹²⁹ ]; `e decrescente in ] − ∞, ⁻³¹⁺ ₂ ^√ ¹¹²⁹ ] e in [ ³¹⁺ ^√ ₂ ¹¹²⁹ , +∞[.

3. `e convessa in ] − ∞, ³¹ ₂ ] e concava in ] ³¹ ₂ , +∞[.

2. Data la successione a n = n ² + 2n + 11

½ log x − a se x ≤ 1 (x − 1) ² se x > 1 dove a `e un parametro reale.

2. f ⁻¹ :] − ∞, −2]∪]0, +∞[→]0, +∞[

f ⁻¹ (y) =

½ e ^y+2 se y ≤ −2 1 + √

x) ² 1/9

½ y ⁰ = 2y + y ³ y(0) = y 0 ,

√ 3 e ^−4t −2 e stabilire se `e una soluzione del problema nel caso in cui y 0 = 2.

3. ] − ∞, ¹ ₄ log ³ ₂ [, `e soluzione.