Prova scritta di Matematica A.A. 2001-2002 Appello del 8/4/2002

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Facolt` a di Agraria

Prova scritta di Matematica A.A. 2001-2002 Appello del 8/4/2002

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

½ ax ⁴ se x ≤ −1

√

x se x > −1 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = −2 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne es- istono, la funzione f `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne es- istono, la funzione f `e derivabile in ogni punto.

1. a ≤ −1

2. f ⁻¹ :] − ∞, −2]∪] − 1, +∞[→ R

f ⁻¹ (y) =

½ − p

−y/2 se y ≤ −2 y ³ se y > −1 3. a = −1

4. non esistono

2. Dire quali enti geometrici rappresentano, ripettivamente, le seguenti equazioni

1.

½ x = s − 1

y = 2s + 1, s ∈ R, 2.

½ x = cos t − 1

y = 2 sen t + 1, t ∈ [0, 2π[,

rappresentarli su un diagramma cartesiano e trovare le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

Si tratta delle equazioni parametriche di una retta e di un’ellisse, rispettivamente.

x y

I punti di intersezione sono (−1 − 1/ √

2, 1 − √ 2) e (−1 + 1/ √

2, 1 + √

2).

2 Matematica, 8/4/2002

3. Risolvere la disequazione

|x − 3x ² | − |x| ≥ 0 ] − ∞, 0] ∪ [2/3, +∞[

4. Data la funzione

f (x) = log(x − 3x ² ) 1. determinarne il dominio;

2. calcolare eventuali limiti interessanti;

3. determinare in quali intervalli f `e crescente e in quali decrescente;

4. determinare in quali intervalli f `e concava e in quali `e convessa;

5. disegnarne un grafico approssimativo.

1. ]0, 1/3[

2. lim

x→0

f (x) = lim

x→1/3

f (x) = −∞

3. f ⁰ (x) = 1 − 6x

x − 3x ² ; f `e crescente in ]0, 1/6[ e decrescente in ]1/6, 1/3[;

4. f ⁰⁰ (x) = − 18x ² − 6x + 1

(x − 3x ² ) ² ; f `e concava in tutto il dominio ]0, 1/3[

0 x

y

-log(12)

1/6

1/3

5. Calcolare il limite

x→0 lim

log ³ (x − 3x ² )

log ³ x 1

6. La perdita di calore di un corpo esposto ad una temperatura esterna inferiore alla propria `e regolata, in prima approssimazione, dall’equazione differenziale

y ⁰ (t) = k ¡

E − y(t) ¢

dove y(t) `e la temperatura del corpo (incognita) al tempo t, E `e la temperatura esterna (nota) e k una costante positiva caratteristica del corpo in questione.

1. Determinare la funzione y(t) sapendo che E = 2, k = 1 e che la temperatura del corpo all’istante t = 0 `e y 0 = 10.

2. Cosa si pu`o dire in merito all’unicit`a della soluzione ottenuta?

3. Calcolare il limite per t → +∞ del- la soluzione e interpretare fisicamente il risultato ottenuto.

1. y(t) = 8 e ^−t +2

2. la soluzione `e unica perch`e l’equazione `e lineare.

3. il limite `e 2, pari alla temperatura ester-

na. L’interpretazione `e che al passare del

tempo il corpo perde sempre pi` u calore fino

a raggiungere, dopo un tempo infinito, una

temperatura pari a quella esterna.