Esame di Statistica del 2 luglio 2007 (Corso di Laurea Triennale in Biotecnologie, Universit`a degli Studi di Padova).
Cognome Nome Matricola
Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale
Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.
Esercizio 1. Siano A e B due eventi non trascurabili. Dire se ciascuno degli asserti che seguono `e sicuramente vero (i), sicuramente falso (ii) o pu`o essere vero (iii), giustificando la risposta con dimostrazioni e/o esempi.
1. Se A e B sono disgiunti, allora sono indipendenti.
2. Se A e B sono indipendenti, allora sono disgiunti.
3. P(A) = P(B) = 0.6 e A e B sono disgiunti.
4. P(A) = P(B) = 0.6 e A e B sono indipendenti.
Esercizio 2. Si sono osservate le abitudini alimentari di 12 donne, registrando quale percentuale di calorie provenisse dai grassi, nei mesi di luglio e di gennaio, con i seguenti risultati:
luglio 32.2 27.4 28.6 32.4 40.5 26.2 29.4 25.8 36.6 30.3 28.5 32.0 gennaio 30.5 28.4 40.2 37.6 36.5 38.8 34.7 29.5 29.7 37.2 41.5 37.0 1. Calcola media, varianza ed errore standard della media per entrambi i campioni.
2. Verifica l’ipotesi che la percentuale media di calorie ricavate dai grassi sia la stessa in entrambi i mesi;
riportare limitazioni al valore P .
3. Fornire un intervallo di confidenza al 95% per la differenza tra le percentuali.
Esercizio 3. Si pensa che il numero delle interruzioni quotidiane di potenza elettrica in una certa citt`a abbia legge P o(2.1).
1. Supponendo X ∼ P o(2.1), calcolare P{X = k} per k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2. Raccogliendo dati per 67 giorni si `e trovato il seguente risultato
n. di black-out 0 1 2 3 4 5 Totale
n. di giorni 5 23 22 13 4 0 67
Testare l’ipotesi che i dati provengano effettivamente da una legge di Poisson con λ = 2.1 (usare α = 0,05).
Esercizio 4. Il vetro gioca un ruolo importante nelle indagini criminali: infatti spesso piccoli frammenti di vetri rotti durante l’attivit`a criminale tendono ad attaccarsi ai vestiti del colpevole. Due indici utilizzati sono l’indice di rifrazione (di facile misurazione) e la densit`a (di difficile misurazione).
I dati seguenti mettono in relazione l’indice di rifrazione (x) di 18 tipi di vetro con la loro densit`a (y):
18
X
i=1
xi= 27.3183,
18
X
i=1
yi = 44.8390,
18
X
i=1
x2i = 41.4606,
18
X
i=1
yi2= 111.6999,
18
X
i=1
xiyi= 68.0520
1. Calcolare la retta di regressione della densit`a rispetto all’indice di rifrazione.
2. Predirre la densit`a di un frammento di vetro che abbia un indice di rifrazione di 1.52.
3. Fornire un intervallo di confidenza al 95% per la quantit`a del punto 2.
Soluzioni Esercizio 1.
1. FALSO: difatti `e sempre vero che P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B), ma se A e B sono disgiunti allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B), cio`e P(A ∩ B) = 0 6= P(A)P(B) > 0, poich`e A e B sono non trascurabili.
2. FALSO: difatti si avrebbe P(A ∩ B) = P(A)P(B) > 0, quindi A ∩ B non pu`o certo essere l’insieme vuoto.
3. FALSO: se A e B sono disgiunti, allora 1 = P(Ω) > P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.6 + 0.6 = 1.2, che `e assurdo.
4. pu`o essere vero: se difatti costruiamo Ω := {1, 2, 3, 4}, con P{1} = 0.36, P{2} = P{3} = 0.24 e P{4} = 0.16, e poniamo A := {1, 2} e B := {1, 3}, allora si hanno entrambe le propriet`a. Pu`o d’altronde anche essere falso: basta prendere A = B di probabilit`a 0.6: si ha la prima parte, ma non la seconda poich`e P(A ∩ B) = P(A) = 0.6 6= P(A)P(B) = 0.36.
Esercizio 2.
1. Calcolando media, varianza ed errore standard della media dei due campioni otteniamo per il primo X = 30.83,¯ s2X= 18.52, sX¯ = 1.24
e per il secondo
Y = 35.13,¯ s2Y = 20.33, sY¯ = 1.30
2. Facciamo un test t sulla differenza delle medie con ipotesi H0: µX= µY e alternativa H1: µX 6= µY. Abbiamo
t =
X − ¯¯ Y q
s2X¯+ s2Y¯
= −2.39
I gradi di libert`a sono ν = 2 · 12 − 2 = 22. Siccome 2.073 = t0.975(22) < |t| < t0.99(22) = 2.508, possiamo riportare 0.02 < P < 0.05. Siccome il valore P `e inferiore a 0.05, si pu`o ritenere che le due diete presentino contenuti diversi in grassi, sebbene rimangano dei dubbi sul fatto che la differenza possa essere significativa.
3. Dobbiamo calcolare sX− ¯¯ Y = q
s2X¯+ s2Y¯ = 1.80. Il numero di gradi di libert`a `e ν = 22, e quindi il quantile da usare `e t1−α/2(ν) = t0.975(22) = 2.073. Allora l’intervallo di confidenza ha estremi X − ¯¯ Y ± sX− ¯¯ Yt1−α/2(ν) = −4.31 ± 1.80 · 2.073 e risulta uguale a [−8.041; −0.578].
Esercizio 3.
1. Usando la formula ricorsiva, calcoliamo
P{X = 0} = e−λ= 0.122, P{X = 1} = P{X = 0}
λ
1 = 0.257, P{X = 2} = P{X = 1}λ
2 = 0.270, P{X = 3} = P{X = 2}λ
3 = 0.189, P{X = 4} = P{X = 3}
λ
4 = 0.099, P{X = 5} = P{X = 4}
λ
5 = 0.041 2.
Esercizio 4. Partiamo calcolando le quantit`a:
X¯ = 1 n
n
X
i=1
Xi= 1.517682 (0.5 punti), Y =¯ 1 n
n
X
i=1
Yi= 2.491056 (0.5 punti),
s2X = 1 n − 1
n
X
i=1
Xi2− n ¯X2
!
= 0.000010 (0.5 punti),
s2Y = 1 n − 1
n
X
i=1
Yi2− n ¯Y2
!
= 0.000203 (0.5 punti),
sXY = 1
n − 1
n
X
i=1
XiYi− n ¯X ¯Y
!
= 0.000042 (0.5 punti)
1. Calcoliamo i coefficienti della retta di regressione:
b1 = sXY
s2X = 4.443213 b0 = Y − b¯ 1X = −4.252328¯ La retta di regressione `e quindi y = 4.443213x − 4.252328.
2. La media che ci attendiamo per un indice di rifrazione di 1.52 `e y = b1x + b0= 2.501356.
3. Per trovare l’errore standard della stima della y, bisogna prima calcolare
sY |X=r n − 1
n − 2(s2Y − b21s2X) = 0.003971
Allora l’errore standard della stima della y (che `e la densit`a di un singolo frammento di vetro) `e
s := sY |X s
1 + 1
n+ (x − ¯X)2
(n − 1)s2x = 0.004144
e t0.975(16) = 2.119, quindi l’intervallo di confidenza cercato ha estremi y ± t1−α/2(ν)s = 2.501356 ± 2.119 · 0.004144, ed `e quindi [2.492575; 2.510137]
Esame di Statistica del 2 luglio 2007 (Corso di Laurea in Biotecnologie, Universit´a degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)
Hanno superato la prova:
Destro Daniele 19.5 Massarotto Luca 20.5 + 3−
Visione compiti corretti, registrazione voto e/o orali: gioved`ı 5 luglio ore 15.00 nel mio studio.
Verr`a data precedenza alla registrazione voti a chi accetta il voto dello scritto e ha il bonus di + 3.
