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Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione
1. Dominio ∀x∈ℜ:x+1≠0 ⇒ x≠−1
2. Intersezioni assi
=
→ =
=
= +
−
0 0
1 1
x e y x
e
y x
x
= ℜ
∈
→ ∀/
=
= +
−
0 0
1 1
y x y
e
y x
x
3. Segno
( )
> ⇒ + > ⇒ ∀ ∈ℜ−
x e
x
f x
x
0
0 1
1
4. Limiti
e e
e x
x
x x
x
x =+∞ + =
−
∞
→ +
−
−
→
1 1 1
1
1 ; lim
lim
5. Asintoti
−1
x= Asintoto verticale , y =e Asintoto orizzontale , ∃/ Asintoti obliqui
( )
= x+−11x
e x f
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6. Derivata 1^
Dalla definizione di valore assoluto si ha:
( )
<
<
−
≥
−
= <
+
− +
−
1 1
1 ,
1
1 1
1 1
x se
e
x x
se x e
f
x x x x
Per
( ) ( ) ( )
21 1 1
1
2 1
2 1
1 ' 1
= + +
+
−
= + +
− +
−
x e e
x x x x
f
x x x
x
Segno derivata 1^ : f'
( )
x >0 ⇒ ∀x∈ℜ: x<−1 , x>17. Derivata 2^
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
41 1
4
1 1 2
2 1 1
1 4 1
1 4 1 1
4
'' +
= − +
+
− + + ⋅
= +
+ − + −
−
x xe x
e x x
x e x
f
x x x
x x x
1 ,
1 ≥
−
< x
x
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Segno derivata 2^ : f ''
( )
x >0 ⇒ −x>0 ⇒ x<0Per
( ) ( )
21 1
1 ' 2
− +
= +
−
x x e
f
x x
Segno derivata 1^ : f'
( )
x >0 ⇒ ∀/x∈ℜ: −1<x<1 11< <
− x
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7. Derivata 2^
( ) ( )
41 1
1 '' 4
= + +
−
x x xe f
x x
Segno derivata 2^ : f ''
( )
x >0 ⇒ x>0Il grafico :
