lim lim lim lim lim lim lim

Infiniti e Infinitesimi.

Definizione Una funzione

f (x )

si dice infinita per , punto di accumulazione per il dominio di

x

0

x → x

₀

)

(x

f

, (o per

x → ∞

) se

∞

=

→

( )

lim

0

x f

x x

, (oppure

= ∞

∞

→

( )

lim ^{f x}

x

).

Definizione Una funzione

f (x )

si dice infinitesima per , punto di accumulazione per il dominio di

x

0

x → x

₀

)

( x

f

, (o per

x → ∞

) se

0 )

lim (

0

=

→

f x

x x

, (oppure

lim ( ) ⁼ 0

∞

→

f x

x

).

Esempi di infiniti e infinitesimi.

x

x

f ( ) = 3

è un infinito per

x → +∞

infatti

= +∞

,

+∞

→ x x

lim 3 x

x

f ( ) = 3

è un infinitesimo per

x → −∞

infatti

lim 3 ⁼ 0

,

−∞

→ x x

tgx x

f ( ) =

è un infinito per

2

→ π

x

infatti

= ∞

→

tgx

x

lim

_π

2

,

x x

f 1

)

( =

è un infinitesimo per

x → ∞

infatti

1 0

lim ⁼

∞

→

x

x

.

Definizione : Ordine di infinito (o di infinitesimo).

) (x

Siano

f

e

g (x )

infiniti (o infinitesimi) per

x → x

₀ o per

x → ∞

, con

0 ) ( x ≠

g

. Se

∃ α ∈ ℜ

⁺ e

l ∈ ℜ , l ≠ 0

tale che

[ g x ] ^l

x f

x x

=

→ α

) (

)

lim (

0

(o per

x → ∞

),

allora , si dice che per

x → x

₀ o per

x → ∞

,

f (x )

è un infinito ( o infinitesimo) di ordine

α

rispetto all’infinito campione (o infinitesimo campione nel caso degli infinitesimi)

g (x )

.

Esempio

Stabilire l’ordine di infinitesimo di f(x)=tgx rispetto all’infinitesimo campione x

x

g( )= per x→0,

lim

1

0

=

→ α

x tgx

x

se α =1, quindi ord(tgx)=1 rispetto a g(x)= x. Allo stesso modo:

x cos

1− è un infinitesimo di ordine 2, per x→0, rispetto a x ; x

sin è un infinitesimo di ordine 1, per x→0, rispetto a x ;

3 2 x

x + è un infinitesimo di ordine 2, per x →0, rispetto a x;

3 2 x

x + è un infinito di ordine 3, per x→∞, rispetto a x.

Non sempre è possibile determinare l’ordine di infinito (o di infinitesimo) rispetto alla funzione campione usuale.

Per esempio,

lim

^=+∞, ^{∀ >}1, ^>0,

+∞

→

α a α

x a^x

x

cioè per nessun α >0, ha lo stesso ordine di infinito di

ax

xα.

( )

, 0 , , 1

, log 0

lim

^{= ∀ > >}

+∞

→

β

α α

β

x a

a x

x

per nessun α,β > 0

(

log_a x

)

^β ha lo stesso ordine di x . ^α

CONFRONTO TRA INFINITI Siano

f (x )

e

g (x )

infinite per

x → x

₀ si ha

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>

=

∞

±

≠

=

→

ili confrontab non

g ord f

ord

g ord f

ord

g ord f

ord

esiste non

l

x g

x f

x

x ( ) ( )

) ( )

(

) ( )

( 0

0

) (

)

lim

(

0

Stesso risultato se

f (x )

e

g (x )

sono infinite per

x → ∞

.

Esempio.

1 1

sin 1

lim

0 ⁼

→ x

x x

, ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

ord x

ord x 1

sin 1

2 0

lim

^{+ =}

+∞

→ x

x x

x

, infatti ^1=ord

(

^{x +x}

)

^<ord

( )

^{x2 =2}

Nel caso di polinomi, l’ordine di infinito è dato dal grado del polinomio e si ha

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>

=

∞

± + =

+ +

+ + +

−

− +∞

→ h k

k h

k h b

x b x b

a x

a x

a ^b

a

k k

k

h h

h

x se

se

se .... 0

... ⁰

0

1 1 0

1 1

lim

0 ^.

In generale, nel calcolo

2 1

2

lim

1

0 g g

f f

x

x +

+

→

, ( infiniti per ) si possono trascurare gli infiniti di ordine inferiore, infatti se per esempio e

si ha

2 1 2 1, f ,g ,g

f x→x₀

) ( )

(f₁ ord f₂ ord >

) ( )

(g₁ ord g₂ ord >

1 1 1

1 2

1 2

1

lim lim

lim

1 0 2 1 2

0

0 1

1

g f g

f g

g f f

x g x

g f f

x x x

x→ → →

+ =

= + +

+ , (in quanto 0, 0

1 2 1

2 → →

g g f

f ).

CONFRONTO TRA INFINITESIMI Siano

f (x )

e

g (x )

infinitesime per

x → x

₀ si ha

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<

=

∞

±

≠

=

→

ili confrontab non

g ord f

ord

g ord f

ord

g ord f

ord

esiste non

l

x g

x f

x

x ( ) ( )

) ( )

(

) ( )

( 0

0

) (

)

lim

(

0

Stesso risultato se

f (x )

e

g (x )

sono infinitesime per

x → ∞

.

Esempio.

( )

^{+− ++ =+∞}

→ + e x

tgx x

x

x x 1² sin

3

0

lim

infatti ^{( )}

( )

^{1 sin 1}

2

1 ₃ ²

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ − +

<

+ +

=ord x x tgx ord e^x x

Nel caso di polinomi, l’ordine di infinitesimo è dato dal grado più piccolo del monomio che lo compone.

Per esempio il polinomio P(x)= x² +x³ +x⁵ per x→0, è un infinitesimo di ordine 2.

In generale, nel calcolo

2 1

2

lim

1

0 g g

f f

x

x +

+

→

, ( infinitesime per ) si

possono trascurare gli infinitesimi di ordine superiore, infatti se per esempio

e si ha

2 1 2 1, f ,g ,g

f x→x₀

) ( )

(f₁ ord f₂

ord > ord(g₁)>ord(g₂)

2 2 2

2 2

1 2

1

lim lim

lim

2 0 1 2 1

0

0 1

1

g f g

f g

g f f

x g x

g f f

x x x

x→ → →

+ =

= + +

+ , (in quanto 0, 0

2 1 2

1 → →

g g f

f ).

Nell’esempio precedente l’ordine di infinitesimo (per x →0) del numeratore tgx

x

x+ ³ + è 2

1 , in quanto ord(x)=1, ord(x³)=3, ord( tgx)= ¹₂,

l’ordine di infinitesimo (per x→0) del denominatore ^⎡_⎢⎣

( )

^{ex −12 +sinx}_⎥⎦^{⎤ è 1,}

in quanto ^ord_⎢⎣^⎡

( )

^{ex −12⎤}_⎥⎦ ⁼², ^ord(sinx)=1. Si ha:

( )

^{+− ++ = + =+∞}

+ →

→ x

tgx x

e

tgx x

x

x x

x 1 sin

lim

sin

lim

0 2

3

0

.

REGOLE ARITMETICHE

Siano f(x)=o(x^α) (si legge o piccolo dix^α) cioè un infinitesimo di ordine superiore ad α per x→0,

) ( )

(x o x^β

g = cioè un infinitesimo di ordine superiore a β per x→0, allora

,

) ( )

(x =o x ∀c∈ℜ

cf ^α

) (

)

( ^{λ α}

λ f x = xo +

x

) (

) ( )

(x g x = xo ^{α +β} f

{ }

α β

γ γ

, min

), ( ) ( )

(x +g x =o x =

f

Se invece

f (x )

e

g (x )

sono infinite di ordine rispettivamente α e β, allora

(

f(x)+g(x)

)

=max

{ }

α,β

ord .

Esempi.

2

cos 1

1− x infinitesimo per x→∞, di ordine 4, rispetto a x 1.,

2 5

2 3x x

x + + infinitesimo per x→0⁺, di ordine ₂¹, rispetto a x, x

x² + infinito per x→∞, di ordine 1, rispetto a x,

2 5

2 3x x

x + + infinito perx →+∞, di ordine ⁵₂, rispetto a x,