e = 1lim xf = 0)(lim xf )(lim +∞=

1) Si consideri la funzione ¹

1

2 ) (x = ^x−

f e si verifichi che = +∞

→+ ( ) lim1 f x

x e che

0 ) ( lim1 =

→− f x

x .

2) Calcolare i seguenti limiti:

a) ^=−∞

+ + +

−∞

→ 3

2 5

1 4

3 lim 2

x x x

x

b) lim

[

]

+∞

→ x x

x

c) lim ²⁻¹ =1

−∞

→ x

x

x e

d)

4 2 5 2

3 1 3

x

lim x x

→−∞

− = −

−

e) lim( 9 ² −1− 9 ² +1)=0

+∞

→ x x

x

f) ^{+ + + =}

−∞

→ ( 2 4 )

lim x² x x

x –1

g)

3 1

1 1 1 3

x

lim x x

→

− =

− h)

2 3 2

2 5 3 7

6 5

x

x x

lim x x

→−

+ −

= + −

i) ^{) ln6}

3 6 (ln 3

lim3 =

− +

−

→ x

x

x

j) 2

1 log

2 log

1 lim log ₂

2

0

=

− +

→ + x x

x

x

k) lim

[

]

+∞

→ e^x x

x

l) ^{lim 1}

1 2

=

−

−∞

→ x

e x

x ^x

x

m) lim 1

1 2

−

=

−

−∞

→ x

e x

x ^x

x

n)

2 2

2 2

2

2

4 4

x a

x ax a

lim^→ x ax a

− −

= ∞

− +

o)

3 2

3 2

1

1 0 1

x

x x x

lim^→ x x x

− − +

= + − − p)

3

4 2

1

0

3 2

x

x x lim ln

x x

→

 − 

 =

 

− +

 

q)

2

1

1 3

x

x x

lim x

→

− =

−

r)

( )

2 3 3

lim ² + − =

+∞

→ x x x

x

s) ^=+∞

+

−

− +

+

→ 4 4 1

5 9 lim2 ₂

2

2

1 x x

x x

x

t) ³

1 2 lim 3

2 =−

−

−

−

−∞

→ x x

x

x

3) Calcolare i seguenti limiti notevoli a) ¹

x k h x

lim k e

hx

→+∞

 

+ =

 

 

b)

x

h k x

x h

lim e

x k

+

→+∞

 + 

  =

 − 

c) ¹ 1

x x

x x

lim e log e e

→+∞

 − 

 = −

 

 

d)

2 6

3

x

x

lim x e

x

−

→−∞

 

  =

 + 

e)

2

1 4

3

x

x

lim x e

x

+

−

→±∞

 − 

  =

 + 

f) ( )

1

0 1 ^x

xlim senx e

→

+ =

g)

0

3 1 3

2 1 2

x x x

lim log

log

→

− =

−

h)

1 1 2

1 1 1 2

x

x

lime x

−

→

− =

−

i)

x x

x 0

e e

lim 1

2x

−

→

− =

j) x 0

tgx 1 lim^→ 7x = 7

k) 2

3 2 lim 3

0 =

→ sen x x sen

x

l) ₃

1

1 1

2 2 6

x

sen( x ) lim

x

→

− =

− m) ^{limlog(1 ) 0}

0

+ =

→ x

x

x

n) h

k hx

kx

x + =

→

) 1 limlog(

0

o) 2 3 1

) 3 1 limlog(₂

0 =

− +

→ x

x e

x

p)

1

3 log x 1 x

lim 1 e

x

+ −

→+∞

  =

  

q)

(

)

xlim 1 x0 1

→ +

− =

r) ( )^{l og x 1(1 )}

xlim x 2 ⁺ e

→+∞

+ =

s)

1 x 1 x 1lim x e

+

−

→

=

4) Stabilire l’ordine di infinitesimo delle seguenti funzioni a) ^{f x}( )^=x2−1 per x→ ^{1 [1°]}

b) ^{f x}( )^{=sin x} per x→ ^{0 [1°]}

c) ( ) ₂ ¹

3 1 f x = x x

+ − per x→ ∞ ^[2°]

d) ^{f x}( )^{=3 x−2} per x→ ^{2 [1/3]}

e) ^{f x}( )^=xtgx per x→ ^{0 [2°]}

f) ( )

1 cos x2

f x sin x cos x

= − per x→ ^{0 [1°]}

g) ( )

2

2 1 f x

x

=

+

per x→ ^–∞ ^[1°]

5) Stabilire l’ordine di infinito delle seguenti funzioni a) ^{f x}( )^=x3−x2+1 per x→ ∞ ^[3°]

b) ( )

3x2 4

f x x

= − per x→ ∞ ^[1°]

c) ( )

(

)

5 3 2 f x x

x x

=

− +

per x→^{1 [2°]}

d) ( ) ₃

1 f x x

x

=

+ per x→ ∞ ^[2/3]

e) ^{f x}( ) ¹

= xtgx per x→ ∞ ^[2°]

f) ( )

2 3

1 cos x f x x sin x

= − per x→ ^{0 [2°]}