Rea

(1)

Dalla prospettiva piana alla geometria proiettiva:

approfondimenti e spunti didattici.

di Nadia Ricchetti

relatore: Prof. GiorgioOttaviani

(2)

Pavimentazionirealizzate sotto altri punti di vista

(3)

(4)

La costruzione dellaprima mattonella è ben posta...

(5)

(6)

(7)

Infatti, per ilteorema di Desargues:

(8)

Non solo pavimentazioni con mattonelle quadrate...

(9)

(10)

(11)

Un altrometodo per costruire ilpunto medio

(12)

Costruire un qualsiasi razionale

(13)

Costruiamo il quarto armonico: dati P

1 , P

2 , P

3

, troviamo P

4

(14)

Viceversa: dati P

1 , P

2 , P

4

, troviamo P

3

(15)

P

3

non è cheil punto medio del lato P

1 P

2

del trapezio P

1 P

2 QR e

OP è la linea di orizzonte...

(16)

La costruzione non dipende dalla scelta di O

(17)

Realizzare i numeri binari tra 0 e 1

[

⁰

]

2

=

⁰

, [

¹

]

2

=

¹

,

1

2

=

⁰

.

¹

,

1

4

=

⁰

.

⁰¹

,

1

8

=

⁰

.

⁰⁰¹

. . .

(18)

Approssimazione di 2

I puntitrovatiapprossimano

√

2

=

¹

.

^0110101

...

ûn^po'^dall'alto êûn^po'

(19)

Dal 2D al 3D: rappresentare una scatola rettangolare in prospettiva

(20)

Proposizione

Siano A, B, C, D, S cinque puntiinuna qualsiasiposizionesuunpiano e

siano X

=

^AD

∩

^BS ^e^Y

=

^BD

∩

^AS. ^Prendiamo^un^qualsiasi^punto ^Z ^su

DC esiano R

=

^CX

∩

^AZ, ^Q

=

^CY

∩

^BZ^, ^P

=

^RY

∩

^SZ^. ^Allora^X^, ^P^, ^Q

(21)

(22)

Proiezionegenerata dal foro stenopeico

(23)

Laproiezione di T in T

0

denisceuna funzione continuada

R

³

− π ⁰

ⁱⁿ

π

^,

che siestende ad unafunzione da

RP

³

− {

^E

}

^a

RP

² ⁱⁿ^cui ^il^piano

π

^è

identicato con

R

²

⊂ RP

² ^e ⁱ^punti^di

π ⁰ − {

^E

}

^vengono ^proiettati ^nei

punti all'innitodi

RP

²^.

(24)

Larappresentazionedi una scatolacome quella vistaè realmenteottenuta

dallaproiezione dell'occhiodiunpittoresulla telaoda unforostenopeico

(25)

Metodo geometrico

Teorema

Siano X, Y, Z trepuntisuunpiano

π

^di

R

³^. ^Se^tutti^gli ^angoli^del

triangoloXYZ sono acuti,alloraci sonoesattamente dueposizioniperun

punto E

∈ R

³ ^tali^cheÊX^,ÊY êd ÊZ ^sono perpendicolaritra loro. Se invece unodegli angoli diXYZ nonè acuto,alloranon c'èuna tale

(26)

(27)

Immaginiamo adessodi averelafotograa diuna scatola rettangolare.

scegliamounsistemadi coordinate in

R

³ ^con^x^, ^y^, ^z ^paralleli ^agli

spigolidellascatola econl'origine sulforoE della camera obscura.

Lapellicolasiain uncertopiano

π

ⁱⁿ

R

³^.

Nel piano dellafoto,costruiamo ipuntiX, Y, Z prolungandole

immaginidegli spigoliparalleli nchénonsi incontrano. Questisono

proprio leimmaginidegli assix, y ez.

Peril teorema precedente,laposizionedi E è determinatarispettoalle

posizionidiX, Y, Z su

π

^e,ⁱⁿparticolare,ladistanza trailforostenopeico e lapellicolacoincide conladistanza diE da

π

^.

(28)

Dobbiamo immaginarciqualcosadi simile

(29)

Siano d

,

^a

∈ R

³ ^due ^vertici^adiacenti ^della^scatola^e ^supponiamo^che

D

,

^A

∈ π

^siano ^le ^loro^immagini^nella ^foto. ^Supponiamo ^che^X ^sia^il

punto difuga diDA.

PosizioniamoEXYZ,corrispondente allacamera obscura, inmodotale

cheEX, EY, EZ siano paralleleaicorrispondenti spigolidellascatola

e D si trovisullaretta dE, conE posto fra d e D.

esisteun'unicaposizionedi EXYZ talechelaretta aE passaperA.

Quindi laposizione el'orientazione dellacamera obscura in

R

³ ^risultano

(30)

Metodo algebrico

Denizione

Il birapportodiquattro puntiallineatiF

1 , F

2 ,F

3 , F

4

è dato da

R

(

^F1

,

^F2

,

^F3

,

^F4

) =

^F¹^F³

·

^F⁴^F²

F

3 F

2

·

^F¹^F⁴

(1)

Teorema

Siano P

=

^P

(

^V

)

^e ^P

⁰ =

^P

(

^V

⁰ )

^rette^proiettive ^e^siano ^F¹^, ^F²^, ^F³^, ^F⁴

∈

^P,

G

1 , G

2 , G

3 , G

4

∈

^P

⁰

^, ^con^F¹^, ^F²^, ^F³ ^e ^G¹^, ^G²^, ^G³ ^distinti.

Alloraesisteunisomorsmof

:

^P

→

^P

⁰

^tale^che

f

(

^Pi

) =

^Qi

,

^per ⁱ

=

¹

, ...,

⁴

se e solo seR

(

^F1

,

^F2

,

^F3

,

^F4

) =

^R

(

^G1

,

^G2

,

^G3

,

^G4

)

^.

(31)

Lemma

Siano D, X, Y, A

1 , A

2 , A

3 , B

1 , B

2 , B

3

puntiin

R

² ^(o

RP

²⁾^tali^che^A¹^,

A

2 , A

3

stiano sullaretta DX e B

1 , B

2 , B

3

stianosulla rettaDY. Siano

S

i

=

^Bⁱ^X

∩

^Aⁱ^Y^, ^perⁱ

=

¹

,

²

,

^3.

AlloraS

1 , S

2 , S

3

sonoallineati

⇔

^R

(

^A¹

,

^A²

,

^A³

,

^X

) =

^R

(

^B¹

,

^B²

,

^B³

,

^Y

)

^.

(32)

Proposizione

Siano X, Y, Z, A

1

quattro puntiqualsiasinel piano

R

²^. ^Scegliamo ^dei

punti arbitrari: A

2 suXA

1

, W suXZ, R

1 suA

1

Z, U suXY, S

1 suA

1 Y.

Siano R

2

=

^WR1

∩

^A²^Z^, ^S²

=

^US1

∩

^A²^Y^, ^P¹

=

^R1

Y

∩

^S¹^Z ^e

P

2

=

^R²^Y

∩

^S²^Z^. ^Allora ^P¹^, ^P²^,^V

=

^UZ

∩

^WY ^sono^allineati.

(33)

Lemma

Siano D, X, Y, Z puntiin

R

² ^(o

RP

²^). ^SianoÂ¹^, Â²^, Â³ ^punti^su^DX^,

B

1 , B

2 , B

3

punti suDY e C

1 , C

2 , C

3

puntisuDZ.

Costruisco,peri

=

¹

,

²

,

^3,

S

i

=

^Ai

Y

∩

^Bⁱ^X

,

^Ri

=

^Ai

Z

∩

^Cⁱ^X

,

^Qi

=

^Ci

Y

∩

^Bⁱ^Z

.

Siano P

i

=

^Ri

Y

∩

^Sⁱ^Z^.

Se vale R

(

^A1

,

^A2

,

^A3

,

^X

) =

^R

(

^B1

,

^B2

,

^B3

,

^Y

) =

^R

(

^C1

,

^C2

,

^C3

,

^Z

)

^, ^allora ⁱ

punti P

1 , P

2 , P

3

sonoallineati.

(34)

SiaM una matrice3

×

⁴ ^a^coecienti^reali ^e^sia ^x

= (

^x

,

^y

,

^z

,

^w

)

^t^. ^Poiché

M

(λ

^x

) = λ(

^M^x

) , ∀λ ∈ R

allora,se K

M

= [

^x

,

^y

,

^z

,

^w

] ∈ RP

³

:

^Mx

=

⁰

, sipuòdenireuna funzione

f

M

: RP

³

−

^K^M

−→ RP

²

ponendo f

M

([

^x

,

^y

,

^z

,

^w

]) = (

^Mx

)

^t^.

f

M

rispettagliallineamenti.

Esiste unospazio didimensione11 ditalifunzioni f

M .

Questesono leuniche funzionicontinue f da unsottinsiemedenso di

RP

³ ⁱⁿ

RP

² ^che ^rispettano ^gliallineamenti.

(35)

Teorema

Siano d, a , s, b, c, r, p, q ivertici di uncubo in

R

³ ^e ^sia^z ^il^punto

all'innito dellaretta dc. SianoD, A, S, B,C puntiqualsiasidi

RP

² ^e ^sia

Z unpuntoarbitrariosuDC. Allora esisteun'unicafunzione continuaf da

un sottoinsiemedenso di

RP

³ ⁱⁿ

RP

² ^tale^che ^f ^rispetta^gli allineamentie

f

(

^d

) =

^D

,

^f

(

^a

) =

^A

,

^f

(

^s

) =

^S

,

^f

(

^b

) =

^B

,

^f

(

^c

) =

^C

,

^f

(

^z

) =

^Z

.

(36)

Formulaper le posizioni relative dellascatola, del foro stenopeicoE

della camera obscura e del piano

π

^della ^pellicola ⁱⁿ

R

³^.

Scegliamo unsistemadi coordinate di

R

³ ^con^l'origineⁱⁿ Ê ê ^gliâssi

paralleliaglispigolidellascatola.

Sian

1 x

+

ⁿ2

y

+

ⁿ3

z

=

^b l'equazionedel piano

π

^, ^doveⁿ

= (

ⁿ1

,

ⁿ2

,

ⁿ3

)

è ilversorenormale a

π

^. Îl^punto ^più^vicinoâd Ê ^su

π

^è

O

= (

ⁿ¹^b

,

ⁿ²^b

,

ⁿ³^b

)

^.

SiaT

= (

^x

,

^y

,

^z

) ∈ R

³ ^tale^che^T

∈ π / ⁰

^, ^dove

π ⁰

^è ^il^piano ^parallelo ^a

π

^passante ^per Ê. Âllora îl^punto ^diintersezionedi ET con

π

^è ^dato

da

(

^x

⁰ ,

^y

⁰ ,

^z

⁰ ) = (λ

^x

, λ

^y

, λ

^z

)

^, ^con

λ =

^b

n

1 x

+

n

2 y

+

n

3 z

.

Scegliamo unsistemadi coordinate

(

^u

,

^v

)

^sul^piano

π

^, ⁱⁿ ^cui^O ^sia

l'origine,l'asseu siadato dalladirezione

(

ⁿ2

, −

ⁿ¹

,

⁰

)

^e ^l'asse^v ^abbia

direzionedatadal prodottovettoriale

(

ⁿ1

,

ⁿ2

,

ⁿ3

) × (

ⁿ²

, −

ⁿ¹

,

⁰

)

^.

(37)

Troviamole coordinate

(

^u

,

^v

)

^del ^punto

(

^x

⁰ ,

^y

⁰ ,

^z

⁰ )

^:

u

= (

^x

⁰ −

ⁿ¹^b

,

^y

⁰ −

ⁿ²^b

,

^z

⁰ −

ⁿ³^b

) · p

¹

n

1 2

+

ⁿ2

2

(

ⁿ2

, −

ⁿ¹

,

⁰

) =

= p

¹

1

−

ⁿ³²

(

ⁿ2 x

0 −

ⁿ¹^y

⁰ )

v

= (

^x

⁰ −

ⁿ¹^b

,

^y

⁰ −

ⁿ²^b

,

^z

⁰ −

ⁿ³^b

) · p

¹

n

1

2

+

ⁿ²²

(

ⁿ1 n

3

,

ⁿ2 n

3

,

ⁿ3

2

−

¹

) =

= p

¹

1

−

ⁿ³²

(

ⁿ¹ⁿ³^x

⁰ +

ⁿ²ⁿ³^y

⁰ + (

ⁿ³²

−

¹

)

^z

⁰ )

(38)

In linguaggiomatricialeabbiamoperciò che,in coordinate omogenee,

[

^u

,

^v

,

¹

]

^T rappresenta lo stessopunto diM

[

^x

,

^y

,

^z

,

¹

]

^T^, ^dove^M ^è ^la

matrice3

×

⁴

M

=





bn

2

−

^bn¹ ⁰ ⁰

bn

1 n

3 bn

2 n

3

−

^bk² ⁰

n

1

k n

2

k n

3

k 0





e k

= (

¹

−

ⁿ³²

)

¹²^. ^Inparticolare troviamolecoordinate

(

^u

,

^v

)

^dei ^punti^X^,

Y e Z dove rispettivamentegli assix, y, z tagliano

π

^:

u

X

=

^bn²

n

1 k

,

^v^X

=

^bn³

k

(2)

u

Y

= −

^bn¹

n

2 k

,

^vY

=

^bn³

k

(3)

u

Z

=

⁰

,

^vZ

= −

^bk

n

(4)

(39)

Esplicitiamocome trovare n

1

,

ⁿ2

,

ⁿ3

,

^b ^dalla^fotograa:

X, Y, Z possono esseretrovatisulpianodella fotograapoichésonoi

puntidi fugadegli spigoliparallelidella scatola.

poichév

X

=

^vY e u

Z

=

^0,^l'asse^v ^passa ^per^Z ^ed ^è perpendicolare alla retta XY. Nonsiamo,invece,ancora ingrado didire dovesi trovi

(40)

misuriamosullafoto ledistanze diZ da XY e quellediX eY

dall'assev:

v

X

−

^v^Z

=

^bn³

k

+

^bk

n

3

=

^bn³

2

+

^bk²

kn

3

=

^b

kn

3

(5)

u

X

=

^bn²

n

1 k

,

^uY

= −

^bn¹

n

2 k

(6)

Combinando le (5)e(6), abbiamo che

n

2

n

1

²

= −

^u^X

u

Y

,

ⁿ²ⁿ³

n

1

=

^u^X

v

X

−

^v^Z ⁽⁷⁾

utilizzandotalirelazioni,insiemealfattoche n

1 2

+

ⁿ2

2

+

ⁿ3 2

=

^1,

troviamole componentidel versorenormale n

1 , n

2 , n

3

in funzione di

u

X , u

Y

,

(

^vX

−

^v^Z

)

^.

(41)

Noti n

1 , n

2 ,n

3

, possiamotrovareancheb, usando adesempio

u

X

=

^bn²

n

1 k

.

Siamoingradodi disegnareilsistema

(

^u

,

^v

)

^sul^piano

π

^della^pellicola.

Trovando lecoordinate

(

^x

,

^y

,

^z

)

^di^un^vertice ^della ^scatola, ^diciamo^d^,

possiamocollocarelacamera obscura nellascena. Lecoordinate

(

^x

,

^y

,

^z

)

^, ^x

(

^u

,

^v

)

^di ^un^generico^punto

(

^u

,

^v

) ∈ π

^sono^date ^da

x

(

^u

,

^v

) = (

^bn¹

,

^bn²

,

^bn³

) +

^ui

+

^v^j

dove ie jsonoi versorilungogliassiu e v.

Troviamodallafoto lecoordinate

(

^u

,

^v

)

^,

(

^uA

,

^vA

)

^e

(

^uD

,

^vD

)

^, ^di^A ^e^D

(proiezioni su

π

^degli ^spigoliâê ^d ^della ^scatola)ê ^calcoliamo^le

coordinatex

(

^uA

,

^vA

)

^e ^x

(

^uD

,

^vD

)

ⁱⁿ

R

³^.

(42)

Le coordinatedei puntia e d, saranno

λ

1

x

(

^uA

,

^vA

)

^e

λ

2

x

(

^uD

,

^vD

)

rispettivamente,perqualche

λ

1 ,

λ

2

costanti. Scegliendo a ed come

vertici diunostesso spigolo,essiavranno coordinate y (o z) ugualie

questo cipermettedi scrivere (diciamo)

λ

1

interminidi

λ

2 .

Supponiamonota lalunghezzadello spigoload. Allora ènoto

ad

= kλ

¹^x

(

^uA

,

^vA

) − λ

²^x

(

^uD

,

^vD

)k

e possiamodunque dedurre ilvalore di

λ

2 .

Abbiamo individuatola posizione delvertice d rispetto alsistemaxyz.

Le coordinate

(

^x

,

^y

,

^z

)

^di ^d ^ci ^permettono ^di posizionare ilforostenopeico della camera obscura esattamentesull'originedel sistema diriferimento,

mentre l'inclinazione esattadellafotocamera sarà individuatadall'allinearsi

degli spigolidellascatola conirispettivipuntidi fugaX, Y, Z su

π

^.

Rea

[

]

=

, [

]

=

,

=

.

,

=

.

,

=

.

. . .

√

=

.

...

=

∩

=

∩

=

∩

=

∩

=

∩

0

R

− π 0

π

RP

− {

}

RP

π

R

⊂ RP

π 0 − {

}

RP

π

R

∈ R

R

π

R

π

π

,

∈ R

,

∈ π

R

(

,

,

,

) =

·

·

=

(

)

0 =

(

0 )

∈

∈

0

:

→

0

(

) =

,

− π ⁰

π ⁰ − {

⁰ =

⁰ )

⁰

⁰