Muoni e pioni

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Muoni e pioni

Lezione 13

Due (tre) nuove particelle: µ e π

•  I primi esperimenti con raggi cosmici come diedero evidenza del positrone, così mostrarono l’esistenza di una nuova particella:

–  il muone, µ, m

=105 MeV –  ...con il suo neutrino

–  Particella importante per la comprensione delle interazioni deboli: famiglie ed universalità

•  L’origine dei muoni osservati sulla superficie

terrestre si può far risalire al decadimento di un’altra particella:

–  il pione, π

–  osservazione con emulsioni nucleare in voli su pallone –  particella che interagisce forte: il primo mesone

–  mediatore delle interazioni forti

Raggi cosmici

•  Principalmente nuclei accelerati da sorgenti astrofisiche:

–  Sole per la parte bassa dello spettro (vento solare), include anche elettroni

–  Energie osservate fino a 10^19-20 eV

1013 10¹⁴ 10¹⁵ 10¹⁶ 10¹⁷ 10¹⁸ 10¹⁹ 10²⁰ ]-1 sr-1 s-2 m1.6 [GeVF(E)2.6 E

1 10 102

103

104

Grigorov JACEE MGU Tien-Shan Tibet07 Akeno CASA-MIA HEGRA Fly’s Eye Kascade Kascade Grande IceTop-73 HiRes 1 HiRes 2 Telescope Array Auger

Knee

2nd Knee

Ankle

Raggi cosmici

15 10 5 3 2 1 0

0 200 400 600 800 1000

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

At m osph er ic dept h [g cm^–2] Vertical flux [m–2 s–1 sr–1 ]

Alt it u de (km )

µ⁺ + µ⁻

π⁺ + π⁻ e⁺ + e⁻

p + n ν_µ + ν__µ

Flusso a livello del mare

~180 m^-2s^-1

Decadimento del µ

•  Il muone decade con una vita media di τ_µ=2.2 µs

–  elettrone è l’unica particella carica più leggera

–  le altre particelle sono invisibili: ν –  spettro continuo:

compatibile con decadimento in 3 corpi

–  il muone è un fermione

•  La forma esatta dello spettro di energia dell’elettrone dipende dai dettagli dell’elemento di matrice:

–  effetto importante delle elicità µ⁻ → e⁻ +ν +ν

ν

S ν

S_ν

µ⁻

S

e⁻ ν

S

ν S µ⁻

S_e e⁻

Decadimento del µ

•  La larghezza di decadimento del µ si può calcolare nella teoria di Fermi.

–  al primo ordine:

–  Permette il calcolo della G_F da quantità tutte ben misurate.

•  Calcoliamone il valore e cerchiamo di capire quali sono i contributi degli errori sperimentali alla sua determinazione:

•  Il valore tabulato è: G_F=1.1663787(6)x10^-5 GeV^-2 δG_F/G_F=5x10^-7

Γ

(

)

2m_µ⁵ 192π³

G_F = 192π³ m_µ⁵

! τ_µ

m_µ = 105.6583715 MeV

PDG 2014

τ

µ

δ

G_F = 5 2

δ

m_µ = 5

23.3×10⁻⁸

δ

G_F = 5 ×10⁻⁷ G_F = 1.1638188 ×10⁻⁵GeV⁻²

δ

G_F = 1 2

δτ

τ

1

210⁻⁶

Universalità delle interazioni deboli

•  La costante di Fermi calcolata dal decadimento β

•  e dal decadimento del muone:

•  Due fenomeni molto diversi determinati dalla stessa costante:

Universalità delle interazioni deboli!

•  Spiegheremo in seguito la ragione della piccola differenza tra i due valori.

G

= 1.14962 ± 0.00015 ( ) ^×10

^GeV

G

= 1.1663786 ± 0.0000006 ( ) ^×10

^GeV

Il muone

Identità attesa per simmetria CPT

se ≠0 violazione CP

Numero elettronico e muonico

•  Il decadimento principale del µ è:

•  Altri decadimenti che conservano carica e momento angolare non si osservano:

•  Esiste un numero quantico conservato violato in questi decadimenti.

•  Numero muonico

•  Completamente analogo al Numero elettronico

•  Osservazione fatta nelle interazioni di neutrini si conserva il numero

elettronico:

•  Analogamente si osserva che

µ⁻ → e⁻ +ν +ν

µ⁻ → e⁻ +γ µ⁻ → e⁻+ e⁺+ e⁻ µ⁻ → e⁻+γ +γ

µ^−,ν_µ = +1, µ^+,ν_µ = −1

e⁻,ν_e = +1, e⁺,ν_e = −1

ν_e + p → n + e⁺ ν_e + n → p + e⁻

ν_e+³⁷Cl → ³⁷S + e⁺ ν_e +³⁷Cl → ³⁷Ar + e⁻

Osservazione neutrini solari Esperimento di Reines e Cowan

µ⁻ → e⁻ +νe +νµ νµ + N → X +µ⁻ ν_µ + N → X +µ⁺ µ⁺ → e⁺ +νe +νµ νµ + N → X +µ⁻ ν_µ + N → X +µ⁺

I leptoni

•  Il µ, come l’e ha solo interazioni di natura elettromagnetica e debole.

•  I rispettivi ν hanno solo interazioni deboli

•  Vengono chiamati leptoni

•  A parte la massa, la coppia µ-ν

ha le stesse proprietà di e-ν

–  Struttura a famiglie del Modello Standard

–  Il numero di particelle in una data famiglia è una quantità conservata

•  Nel 1975 venne scoperta la terza famiglia:

–  τ-ν

–  m

=1776.82±0.16 MeV

Nobel 1995 M. Perl

Per la scoperta del leptone tau

Osservazione del π

•  Per acquisire maggiori

informazioni sui raggi cosmici voli con palloni in alta atmosfera.

•  Utilizzo di emulsioni nucleari per registrare le interazioni.

•  Powell ricevette il Nobel 1950

–  per la tecnica sperimentale –  e per gli studi sui pioni fatti

con questa tecnica

Osservazione del π

π

µ e

particella veloce:

(dE/dx)_min

pochi grani di ionizzazione

particella lenta:

(dE/dx)∝1/β² densa ionizzazione

e riparte

veloce π si

arresta

Emulsioni nucleari

•  ρ ~ 3.8 g/cm²

•  X₀ ~ 2.9 cm

•  λ_I ~ 35 cm

Il pione

•  La nuova particella carica esiste sia come π⁺, π^- –  m_π = 139.57108 ± 0.00035 MeV

–  τ_π = (2.6033 ± 0.0005) × 10^-8 s –  Il decadimento è in due corpi:

•  il µ ha un momento fisso: 30 MeV/c, compatibile con il rinculo contro una particella di massa nulla:

•  siccome non si vedono interazioni di γ, la particella neutra deve essere un neutrino.

–  Il pione ha spin intero

•  Successivamente è stato anche osservato il π⁰ –  m_π0= 134.9766 ± 0.0006 MeV

–  τ_π0= (8.52 ± 0.18) × 10^-17 s

•  tripletto di spin isotopico: I=1

π⁻ →µ⁻+ν, π⁺ →µ⁺ +ν

π

→ γ + γ

Decadimento debole

Decadimento elettromagnetico

p₁^* = p₂^* =

(

) (

)

2 s

p_µ^* = s − m_µ²

2 s = m_π² − m_µ² 2m_π

m₂=0

⎯⎯⎯→

Proprietà del pione

•  Pioni possono venire prodotti in abbondanza in interazioni forti:

•  con energia di soglia (es.: p+p→p+n+π⁺)

p + p → p + p + π⁰ p + n → p + n + π⁰ p + n → p + p + π⁻ p + n → n + n + π⁺

s ≥ m_p + m_n + m_π s ≥ m

(

)

= m_p² + m_p² + 2m_pE_p = 4m_p² + 2m_pT_p

= m

(

)

(

)

T_p ≥ 2m_π 1+ m_π 4m_p

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ ≈ 290 MeV

p_p1 =

(

)

p_p2 =

(

)

s = p

(

)

•  Ma anche:

•  con energia di soglia (esercizio):

•  Il numero di pioni, diversamente dal numero di nucleoni, non viene conservato.

•  Numero barionico del π = 0 p + p → p + n + π⁺

p + p → p + n + π⁺ +π⁰ p + p → p + p + π⁺+π⁻

T_p ≥ 4m_π 1+ m_π 2m_p

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ ≈ 600 MeV

Proprietà del pione: spin

•  Lo spin del pione è stato misurato sfruttando l’invarianza per inversione temporale delle interazioni forti,

•  che permette di utilizzare il principio del bilancio dettagliato nelle reazioni:

•  Le probabilità di transizione per unità di tempo sono date dalla regola d’oro di Fermi:

–  l’invarianza per inversione temporale impone la condizione:

–  Ricordiamo il legame tra sezione d’urto σ e λ:

p + p → d + π⁺ π⁺ + d → p + p

λ_{i→ f} = 2π

! M_{i→ f} ²ρ

(

)

! M_{f →i} ²ρ(E_i)

M_{i→ f} ² = M_{f →i} ²

λ_{i→ f} = βic d

1

Vσ(i → f )d

numero di interazione per unità di tempo:

dn/dt Flusso incidente: Densità bersagli: una

Profondità del volume

Densità di stati finali

•  Rispetto a quanto fatto in precedenza dobbiamo tenere conto dello spin negli stati finali:

–  Tenendo conto che E_π+d=E_π+E_d:

–  ed inoltre

(questa relazione vale sia nel caso relativistico che non relativistico)

•  Nel caso dello stato finale p+p, bisogna considerare che, avendo due particelle identiche non bisogna contare gli stati simmetrici:

ρ E

(

)

(

) (

)

2

2π!

( )

dp_π dE_π+d

dp_π

dE_π+d = dp_π dE_π dp_π

dE_π = 1 β_πc

= 2s

(

)

2

2π!

( )

1 β_πc

= 2s

(

)

2

2π!

( )

dp_π dE_π+d

s_d=1

ρ E

(

)

(

) (

)

2

2π!

( )

dp_p

dE_p+p = 1

22 ⋅ 2V 4π p_p² 2π!

( )

1

β_pc = 2V 4π p_p² 2π!

( )

1 β_pc

Proprietà del pione: spin

•  Ricordando la relazione per la sezione d’urto: _{λi→ f =} ^βic

d 1

Vσ(i → f )d σ(i → f ) = V

β_i^cλ_{i→ f =} ^V β_ic

2π

! M_{i→ f} ²ρ(E_f) σ( p + p → π⁺ + d)

σ⁽π⁺ + d → p + p)

= 2π

! M_{pp→π d} ² V

β_p^cρ^(E_{π +d}⁾

= 2π

! M_{π d→pp} ² V

β_π^cρ^(E_{p+ p}⁾

= 2π

! M_{pp→π d} ² V

β_p^c(^{2sπ + 1})^{3V 4πpπ}

2

2π!

( )³

1 β_π^c σ( p + p → π⁺ + d) = 2π

! M_{pp→π d} ² 4πV²

βpβ_π^c2(²π!)³(^{2sπ + 1})^3pπ2

= 2π

! M_{π d→pp} ² V β_π^c2

V 4π^p_p² 2π!

( )³

1 βpc σ⁽π⁺ + d → p + p) = 2π

! M_{π d→pp} ² 4π^V2

β_pβ_πc²(2π!)^{32 pp}

2

σ( p + p → π⁺ + d)

σ⁽π⁺ + d → p + p) = (2s_π + 1)³

2

p_π² p_p²

Proprietà del pione: spin

•  Dal confronto delle sezioni d’urto

misurate si ricava: s

=0

σ( p + p →π⁺ + d)

σ(π⁺ + d → p + p) = (2s_π + 1)³

2

p_π² p²_p

3 2

p_π²

p_p²σ (π⁺+ d → p + p)

Proprietà del pione: parità

•  La parità del π si può determinare da reazioni che lo contengono.

•  Esempio:

•  Non ha una barriera da superare

•  Per p_π→0, avviene in onda s:

–  J=S_d, j=s_d=1

•  Parità del sistema iniziale:

–  dato che η_d=+1 e ℓ=0

•  Dal confronto si ottiene che la parità del π è negativa

•  Parità del sistema finale:

•  Lo stato contiene due particelle di spin 1/2 identiche:

funzione d’onda anti-simmetrica

•  Il momento angolare totale è j=1

•  Se S(n+n)=0:

–  funzione d’onda di spin anti- simmetrica

–  funzione orbitale simmetrica:

ℓ=0, 2, ...

–  j=ℓ, non può essere 1

•  Se S(n+n)=1:

–  funzione d’onda di spin simmetrica –  funzione orbitale anti-simmetrica:

ℓ=1, 3, ...

–  j=1 se ℓ=1

π⁻ + d → n + n

η_πη_d(−1)^{ℓ(π+d )} =η_π

η_nη_n(−1)^ℓ(n+n) = (−1)^ℓ(n+n) = −1

Decadimento del pione ^(carico)

•  Nel sistema del centro di massa:

•  Per valutare cosa succede nel sistema del laboratorio, prendiamo l’asse z lungo la direzione di moto del π

•  L’angolo di decadimento nel sistema del centro di massa rispetto a tale direzione:

•  Se il π si muove con velocità β_π:

•  Da cui segue che

•  Per pioni relativistici:

p^*_µ = p_ν^* = m_π² − m_µ² 2m_π E_ν^* = p_ν^* = m_π² − m_µ²

2m_π

E_µ^* = m_µ² + p_ν^*2 = m_π² + m_µ² 2m_π

θ^*

p_T^* = p^* sinθ^*

p_L^* = p^* cosθ^*

E_ν = p_ν =γ_π

(

)

=γ_πE_ν^*

(

)

=γ_π

(

)

π

= γ_πm_π

2

(

)

π²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1 −β_π

2 1 − m_µ² m_π²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ < E_ν

E_π < 1 +β_π

2 1 − m_µ² m_π²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

0 < E_ν

E_π < 1 − m_µ²

m_π² = 0.428

Decadimento del pione ^(carico)

•  Per calcolare la distribuzione di energie, basta osservare che in un decadimento isotropo:

•  La distribuzione di energia del neutrino è anch'essa uniforme:

•  ricordando

•  si ottiene infine:

•  Se l'energia del π è molto elevata ed è ragionevole approssimare

•  posto

dN

dE_ν = 1 p_π 1 − m_µ²

m_π²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ d cosθ^*

dE_ν = 1 γ_πβ_π ^p*

E_π ≈ p_π β_π ≈ 1

ξ = E_ν E_π

dN dξ ⁼

1 1 − m_µ²

m_π²

dN dξ

ξ 1 − m_µ²

2

otteniamo

cosθ^* = E_ν − p^* γ_π p^* γ_πβ_π dN

dE_ν = dN d cosθ^*

d cosθ^* dE_ν

p^* = m_π² − m_µ² 2m_π dN

d cosθ^{* =} 1 2

Decadimento del pione ^(carico)

•  La distribuzione angolare dei neutrini nel sistema di laboratorio si calcola facilmente

•  Ricordiamo

•  approssimando β_π ≈ 1, otteniamo

•  Vediamo inoltre che esiste una relazione fra l'energia del neutrino e l'angolo di decadimento nel cm

•  approssimando β_π ≈ 1 ancora si ha p_T = p^* sinθ^*

p_L = E_ν^*γ_πβ_π + p^* cosθ^*γ_π

= p^* γ_πβ_π + p^* cosθ^*γ_π

tanθ = p^* sinθ^*

p^* γ_πβ_π + p^* cosθ^*γ_π

= 1 γ_π

sinθ^* 1+ cosθ^*

= 1 γ_π

2sinθ^*

2 cosθ^* 2 2 cos²θ^*

2 tanθ = 1

γ_π tanθ^* 2

E_ν = p^* γ_π + p^* γ_πβ_π ^cosθ^*

p_ν = E_ν =γ_π ^p* (1 + cosθ^*)

E_ν =γ_π p^* 2 cos²θ^* 2

=γ_π ^{p* 2} 1+ tan²θ^*

2

=γ_π ^{p* 2} 1+γ_π^{2 tan2}θ

E_ν = E_π 1− m_µ² m_π²

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 1+γ_π^2tan2θ

p^* =m_π² − m_µ² 2m_π

Il decadimento π → e+ν

•  Data l’esistenza del decadimento π

→ µ

+ν

•  ci si aspetta anche l’analogo π

→ e

+ν

•  Che effettivamente si osserva ma con un rapporto di decadimento molto minore:

•  Questa differenza è giustificabile dalla combinazione di:

–  spazio delle fasi

–  conservazione del momento angolare –  polarizzazione nelle interazioni deboli

Il decadimento π → e+ν

•  Spazio delle fasi:

–  ℓ=e, µ: il termine favorisce il positrone

•  Conservazione del momento angolare:

–  siccome il π ha spin 0, –  elicità di ℓ e ν sono uguali

•  Polarizzazione nelle interazioni deboli

–  nei decadimenti β, e^- e ν sono polarizzati con ⟨h⟩=–β –  mentre e⁺ e anti-ν sono polarizzati con ⟨h⟩=+β

–  Questo vuol dire che il leptone è in uno stato misto:

–  Solo la componente con elicità negativa può contribuire al decadimento:

ρ E

( )

2

2 s

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= m_π² − m_µ² 2m_π

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= m_π²

4 1 − m_ℓ² m_π²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

ψ_ℓ = aψ_h=+1+ bψ_h=−1 a² =1+ β

2 , b² =1− β 2

M_π→ℓν ² ∝ b² =1− β

2 =1− p_ℓ / E_ℓ

2 =

1− (m_π² − m_ℓ²) / 2m_π (m_π² + m_ℓ²) / 2m_π

2 = m_ℓ²

m_π² + m_ℓ²

ν h_ν=-1 e

h_e=-1

Soppressione dei decadimento in e:

(m_e/m_µ)²~2.5×10^-5

Risonanze e spin isotopico

•  Dopo la scoperta del pione si osservano numerose risonanze nelle interazioni N-π e π-π.

–  Abbiamo viso che L’indipendenza dalla carica delle interazioni forti osservata nelle interazioni nucleone-nucleone

•  ed il fatto che abbiamo particelle che compaiono in multipletti quasi degeneri:

–  doppietto p-n, tripletto π⁺-π⁰-π^-

•  Porta alla formulazione di dell’ipotesi di una simmetria delle interazioni per rotazioni in uno spazio interno delle particelle.

•  Queste risonanze possono venire analizzate a partire dalla simmetria di isospin delle interazioni forti

•  La simmetria non è esatta globalmente: viene violata da interazioni elettromagnetiche e deboli

–  differenze principali spiegabili ad effetti elettromagnetici:

–  (m_n-m_p)/m_p = 0.14%

–  (m_π±-m_π0)/m_π± = 3.3%

•  In base a questa simmetria è possibile classificare gli stati osservati

•  e apre la strada al modello a quark degli adroni

Ripasso: risonanze

•  La sezione d’urto

è massima per sfasamento δ_l=±π/2

•  Sviluppando cotδ_l

•  e definendo

•  in prossimità di tale valore dello sfasamento:

cotδ_l(E) = cotδ_l^(E_R) + (E − E_R)∂cotδ_l

∂E + ...

Γ

2 = ∂cotδ_l

∂E

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−1

cotδ_l(E) = E − ER

Γ / 2 sin²δ_l = 1

1 + cot²δ_l ⁼

1

1 + (E − E_R)² Γ² / 4

= Γ² / 4

Γ² / 4 + (E − E_R)²

•  Si ottiene la sezione d’urto risonante:

σ = π

k² (2l +1) Γ²

Γ² / 4 + (E − ER)² σ = π

k² (2l +1)sin²δ_l (k = p / !)

Γ≪E se lo sfasamento cambia velocemente

Esempio: barriera di potenziale

•  Nello studio del decadimento α, avevamo analizzato la barriera di potenziale.

•  Nel caso di stati con l=0, le funzioni d’onda radiali sono della forma:

•  È interessante valutare la connessione tra:

–  |A|²/|F|²: probabilità relativa di trovare la particella α all’interno della barriera, rispetto a quella di trovarla fuori

–  δ : sfasamento e quindi sezione d’urto e variazioni della stessa

a b

u r ( ) ^{= Asin(kr) r < a}

u r ( ) ^{= Ce}

^{+ De}

^{a ≤ r ≤ b}

u r ( ) = F sin(kr + δ

) x > b

k = 2m

E

!

k

= 2m

(V

− E)

!

Esempio: barriera di potenziale

[MeV]

Qα

0 1 2 3 4 5 6 7 8

outρ/ inρ

−2

10

−1

10 1 10

[MeV]

Qα

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Sezione d'urto [b]

0.5 1 1.5

2 2.5 3

a = 4 fm

b = 5.5 fm

V

= 8 MeV

Sezione d’urto π

p

σ inelastica σ totale

s = m_p² + m_π² + 2m_p

(

)

s = 1232 MeV

Sezione d’urto π

p

σ totale

σ cambio carica π^-p→π⁰n

σ elastica π^-p→π^-p

s = 1.4 −1.6GeV

Risonanze N-π

•  In termini di spin isotopico I, uno stato ha molteplicità 2I+1 –  p-n: I=1/2, |p⟩=|I=1/2,I₃=1/2⟩ |n⟩=|I=1/2,I₃=-1/2⟩

–  π⁺-π⁰-π^-: I=1, |π⁺⟩=|I=1,I₃=1⟩ |π⁰⟩=|I=1,I₃=0⟩ |π^-⟩=|I=1,I₃=-1⟩

•  Vale (in una delle sue forme) la formula di Gell-Mann-Nishijima:

–  Q = carica (in unità di e) –  B = numero barionico

•  Lo stato π⁺p è uno stato puro I=3/2: risonanze Δ (4 stati di carica)

•  Lo stato π^-p è uno stato misto

–  possibili sia risonanze Δ(I=3/2) che N(I=1/2)

•  Stesse considerazioni valgono per i decadimenti

–  si possono predire approssimativamente rapporti di decadimento e reazioni di scambio carica.

Q = B 2 + I₃

Coefficienti di Clebsch-Gordan π⁻p = ¹₃ I = ₂³, I₃ = −₂¹ − ²₃ I = ¹₂, I₃ = −¹₂

I = ³₂, I₃ = −¹₂ = ²₃ π⁰n + ¹₃ π⁻p I = ¹₂, I₃ = −¹₂ = ¹₃ π⁰n − ²₃ π⁻p

La risonanza ρ

Massa invariante

•  La massa invariante di un sistema di due particelle a+b è l’energia nel loro sistema del centro di massa.

•  Si ottiene dal quadrato della somma dei rispettivi tetravettori

•  Nel caso si possa trascurare la massa a riposo delle particelle, si ha la relazione semplificata:

•  Lo stesso principio si applica ad un sistema multi-particelle.

•  Se le due particelle provengono dal

decadimento di una particella madre: C→a+b

•  Con questo metodo si può mettere in evidenza la produzione di una nuova particella:

–  un picco nella distribuzione di massa invariante –  centrato a m_C

–  con una larghezza dipendente dalla risoluzione sperimentale e dalla larghezza di decadimento Γ_C (~150 MeV per decadimenti forti)

m² = p

(

)

(

)

m² = 2E_aE_b

(

)

p_a + p_b

( )

( )

e

e

→ π

π

•  Risonanza ρ

–  m_ρ = 775.26±0.25 MeV –  Γ_ρ = 149.1±0.8 MeV –  Tripletto di isospin:

ρ⁺, ρ⁰, ρ^- –  J^PC=1^--

•  Osservata nella

distribuzione di massa invariante dei due pioni

•  ρ^±→π^±π⁰, ρ⁰→π⁺π^-

–  altro effetto della simmetria di isospin:

Le risonanze η e ω

•  Le risonanze η e ω si os- servano nella massa inva- riante di 3π

•  Sono stati singoli di spin isotopico: I=I₃=0

•  η: J^PC=0^-+

–  m_η = 547.863±0.018 MeV –  Γ_η = 1.31±0.05 keV

•  ω: J^PC=1^--

–  m_ω = 782.65±0.12 MeV –  Γ_ω = 8.49±0.08 MeV

•  La η non può decadere in 2π per conservazione della parità. Decadimento in 3π soppresso dallo spazio delle fasi disponibile Q-value = 133 MeV

•  Per la ω, il decadimento in 2π è soppresso dalla conservazione di C:

–  Per lo stato di isospin 0: I = 0, I₃ = 0 = ¹₃ π⁺π⁻ + ¹₃ π⁰π⁰ + ¹₃ π⁻π⁺

− + 0 0 + −

Il modello a quark

•  Lo spettro ed i numeri quantici delle risonanze si possono spiegare

assumendo che siano stati legati di costituenti più elementari:

–  i quark

•  Esistono due quark in un doppietto di spin isotopico:

–  S=1/2, B=1/3 –  up (u), I₃=+1/2 –  down (d), I₃=-1/2

•  I barioni

–  costituiti da 3 quark –  spin semintero

–  spin isotopico:

•  3/2: risonanze Δ

•  1/2: nucleoni e risonanze N

•  I mesoni

–  costituiti da una coppia quark- antiquark

–  spin intero

•  nello stato fondamentale il momento angolare orbitale è nullo

•  spin del mesone = somma degli spin dei due quark:

J^PC=0^-+, 1^-- –  spin isotopico:

•  I=1

•  π (0^-+), ρ (1^--)

•  I=0

•  η (0^-+), ω (1^--) Q=B/2+I₃=+2/3

Q=B/2+I₃=-1/3

uuu, uud, udd, ddd uud, udd

ud, 1 / 2 uu − dd

( )

1 / 2 uu + dd

( )

ESERCIZI

Esercizi 13.1, 13.2 e 13.3

1.  La temperatura attuale dell’universo è 2.7 K.

Calcolare l’energia tipica di fotoni a questa temperatura.

Calcolare l’energia di soglia che deve avere un protone per indurre la reazione p+γ → Δ+ per collisione con questi fotoni.

La presenza della risonanza Δ, con la sua grande sezione d’urto, introduce un limite massimo all’energia dei raggi cosmici

provenienti da sorgenti lontane (il cosiddetto Greisen-Zatsepin- Kuzmin cut-off).

2.  Usando l’invarianza per spin isotopico, stimare:

3.  Dimostrare che i decadimenti

sono proibiti dalla simmetria di isospin.

In effetti il decadimento della η è un processo elettromagnetico, come si può intuire dal fatto che Γ

=1.31 keV e

BR(Δ

→ π

ⁿ⁾ BR(Δ

→ π

^{p) ,}

BR(Δ

→ π

ⁿ⁾ BR(Δ

→ π

^{p) ,}

BR(N

→ π

ⁿ⁾ BR(N

→ π

^{p) ,}

BR(N

→ π

ⁿ⁾ BR(N

→ π

^{p) ,} η → π

π

π

, η → π

π

π

Γ ( η → γγ ) ^{~ Γ} ( ^{η → π}

^π

^π

) ^{~ Γ} ( ^{η → π}

^π

^π

)