• Non ci sono risultati.

Interazioni Elettrodeboli

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Interazioni Elettrodeboli"

Copied!
24
0
0

Testo completo

(1)

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 8

20.10.2020

Quantizzazione canonica

Teorema di Noether

Tensore energia impulso

Invarianza di gauge globale

(2)

Quantizzazione canonica

y Anche nel caso continuo si può utilizzare il formalismo Hamiltoniano y Dobbiamo trovare il momento coniugato della variabile dinamica

y La variabile dinamica è il campo φ

y La densità Hamiltoniana è

y A questo punto si può procedere come nel caso della quantizzazione dell’oscillatore armonico unidimensionale

y Si trasformano la variabile dinamica φ e il suo momento coniugato π in operatori

y Osserviamo che si tratta di operatori dipendenti dal tempo

y In realtà di famiglie di operatori che dipendono dal "parametro" r

y Si impongono regole canoniche di commutazione fra la variabile dinamica e il momento coniugato corrispondente

Attenzione: t è lo stesso per i due operatori

(3)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 177

Quantizzazione canonica

y Poiché rappresenta una famiglia di operatori occorre fissare anche la regola di commutazione per i due operatori distinti

y Analogamente

y Adesso vogliamo trovare una relazione per trovare a e a

in funzione di φ e π y Richiamiamo la rappresentazione del campo che abbiamo già utilizzato

y Calcoliamo il momento coniugato

y Consideriamo adesso l’espressione

per semplificare

la notazione

(4)

Quantizzazione canonica

y Consideriamo adesso l’integrale ( p = (p

0

, p) )

Notiamo che è

indipendente dal tempo

(5)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 179

Quantizzazione canonica

y Analogamente si dimostra che

y A questo punto possiamo verificare che le relazioni di commutazione sui campi implicano le regole di commutazione sugli operatori di creazione e distruzione

x e x′ hanno lo stesso t

(6)

Quantizzazione canonica

y Analogamente si possono verificare le altre regole di commutazione y Si potrebbe anche verificare la relazione inversa

y Le regole di commutazione sugli operatori di creazione e distruzione implicano le regole di commutazione sui campi

y Concludiamo che i due insiemi di regole sono equivalenti

(7)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 181

Calcolo dell’Hamiltoniana

y Per continuare a fare pratica con gli operatori di campo e le regole di

commutazione possiamo esprimere l’Hamiltoniana in funzione degli operatori

di creazione e distruzione per il campo di Klein-Gordon reale

(8)

Calcolo dell’Hamiltoniana

y Cominciamo con il pezzo più complicato (poco più complicato)

y Per semplicità definiamo

y Con i diversi prodotti compaiono due tipi di δ

y Il termine −kk′ assume valori diversi

(9)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 183

Calcolo dell’Hamiltoniana

y Veniamo al termine contenente il momento coniugato

y Questo integrale è quasi identico a quello precedente

y La differenza risiede nel fatto che il termine −ωω′ ha sempre lo stesso segno

y I termini con compaiono con segno opposto rispetto

al caso precedente (segno negativo)

(10)

Calcolo dell’Hamiltoniana

y Per finire il termine che contiene il quadrato del campo

y Otteniamo un risultato molto simile al primo y Tutti i prodotti hanno segno positivo

y Sommiamo i tre integrali e moltiplichiamo per ½ y I termini con avranno un

coefficiente ( ricordiamo E = ω )

y I termini rimanenti avranno un coefficiente

(11)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 185

Calcolo dell’Hamiltoniana

y Notiamo infine che

y Il risultato che abbiamo trovato è molto simile a quanto avevamo trovato intuitivamente (diapositiva )

y Trasformiamo ulteriormente l’espressione trovata usando le regole di commutazione degli operatori di creazione e distruzione

y L’Hamiltoniana è la somma delle energie dei singoli oscillatori y Il termine ½E

k

è legato all’energia del vuoto nell’oscillatore y Nel caso di un campo porta ad un contributo divergente

y Viene eliminato imponendo che i campi abbiano un ordinamento normale

y In un prodotto normale ( :AB: ) gli operatori di distruzione stanno a destra indipendenti dal tempo

170

1274

(12)

Digressione

y Il calcolo appena fatto, benché concettualmente semplice, è un po’ laborioso

y Una complicazione deriva dagli integrali del tipo y Infatti, a differenza degli integrali con il segno

negativo nell’esponente che contiene k⋅x, questi contribuiscono con fattore un po’ più complicato

y Conviene definire una procedura standard che consenta di semplificare i calcoli y Innanzitutto alcune notazioni

y Inoltre

y Si può verificare che le funzioni u

k

(x) oltre alla relazione standard

y Soddisfano alle seguenti ulteriori regole di ortogonalità generalizzata

(13)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 187

Digressione

y Tramite le funzioni u

k

le espansioni dei campi diventano

y L’inversione delle formule si esprime in modo più semplice

y Come esempio, diventa relativamente facile il calcolo del commutatore

y Sono diversi da zero solo

y Otteniamo pertanto

(14)

Digressione

185

1307

y Anche il calcolo dell’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e distruzione diventa più semplice

y Innanzitutto notiamo che

y Inoltre, per l’equazione di KG

y Pertanto l’Hamiltoniana si semplifica in

y Introducendo le rappresentazioni

y Sopravvivono solo (vedi diapositiva )

Teorema di Gauss

(15)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 189

Teorema di Noether

y Abbiamo già visto che le equazioni di campo si deducono minimizzando l’azione

y Il teorema di Noether

permette derivare leggi di conservazioni dalle proprietà di simmetria dell’Azione (e quindi della Lagrangiana)

y L’azione può essere lasciata invariata da trasformazioni y Di simmetria interna (ad esempio isospin, gauge)

y Di simmetria spazio-temporale (trasformazioni di Lorentz) y Il teorema di Noether asserisce che

y Ad ogni simmetria differenziabile che lascia invariata l’azione corrisponde una corrente conservata e, di conseguenza, una carica conservata

y Dato che l’azione è un integrale su d

4

x la trasformazione di simmetria deve y Lasciare invariata la lagrangiana δL = 0

y Al più variare la lagrangiana di una 4-divergenza (δL = ∂

μ

f

μ

) che per il teorema di Gauss 4-dimensionale non contribuisce all’azione

y Emmy Noether, Invariante Variationsprobleme. Göttingen 1918, pp. 235-257

(16)

Teorema di Noether

y Tipicamente, per le simmetrie interne il termine di 4-divergenza è nullo y La 4-divergenza è non nulla nel caso delle simmetrie dello spazio-tempo

y Trasformazioni del gruppo di Poincaré:Trasformazioni Lorentz e traslazioni y L’applicazione di una trasformazione del gruppo di simmetria provoca una

variazione dei campi φ → φ + δφ

y La variazione dei campi induce una variazione della Lagrangiana L → L + δL y Nel caso delle simmetrie interne δL = 0

y Esiste una corrente j

μ

conservata ∂

μ

j

μ

= 0

y Nel caso delle simmetrie dello spazio tempo δL = ∂

μ

f

μ

y Esiste una corrente j

μ

tale che ∂

μ

j

μ

= ∂

μ

f

μ

→ ∂

μ

(j

μ

− f

μ

) = 0 y La corrente conservata implica l’esistenza di una carica conservata

y Peskin-Schroeder – An Introduction to Quantum Field Theory – cap. 2.2 p. 17

Per campi che vanno a zero

all'infinito rapidamente

(17)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 191

Teorema di Noether

y Una variazione δφ(x) di un campo è una funzione y Infinitesima

y Che si annulla agli estremi

y L’operazione di variazione commuta con la derivazione y L’espressione ∂

μ

φ è una funzione (che dipende da φ)

y Veniamo ora alla dimostrazione del teorema

y Per generalità supponiamo che la lagrangiana dipenda da più campi ( n = 1,N) y Calcoliamo la variazione della Lagrangiana

y Elaboriamo l’espressione

y Commutiamo δ con ∂

μ

nel secondo termine

y Utilizziamo l’equazione di Eulero-Lagrange nel primo

x

a

x

b

(18)

Teorema di Noether

y L’espressione può essere trasformata in una 4-divergenza

y Se la trasformazione di simmetria modifica solo i campi ma lascia invariata la lagrangiana allora la variazione è nulla: δL = 0

y Otteniamo

y Abbiamo inoltre supposto che l’operazione di simmetria sia differenziabile y In generale, la variazione del campo dipende da M parametri arbitrari

(ad esempio, una rotazione dipende da 3 parametri)

y Poiché la variazione dei campi è arbitraria possiamo variare gli M parametri

indipendentemente (uno a uno) e otteniamo M espressioni

(19)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 193

Teorema di Noether

y Possiamo pertanto definire le M correnti conservate

y La natura dell’indice k dipende dal tipo di trasformazione y Può essere un indice di Lorentz

y In questo caso la corrente è un tensore

y Può essere un indice che individua un grado di libertà interno y Un esempio è l’isospin

y Illustriamo i concedetti introdotti con due esempi y Un esempio di simmetria dello spazio tempo

y Le traslazioni

y Un esempio di simmetria interna

y Una trasformazione di gauge

(20)

Tensore energia impulso

y Come prima applicazione del teorema di Noether consideriamo l’invarianza della Lagrangiana per traslazioni nello spazio tempo per il campo di Klein-Gordon

y Le traslazioni sono elementi del gruppo di Poincarè y Si tratta di trasformazioni dello spazio tempo

y Una traslazione e definita come

y Trasformazioni differenziabili y Dipendono dai 4 parametri a

ν

y Per una traslazione infinitesima (a

ν

piccoli) i campi hanno una variazione

y La corrente di Noether è pertanto

y La relativa variazione della Lagrangiana è y Attenzione! Non è nulla !

per le componenti

(21)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 195

Tensore energia impulso

y Infatti la lagrangiana è implicitamente una funzione della posizione y La variazione indotta dalla traslazione è

y Uguagliando con l’analoga espressione trovata per la variazione dei campi

y Definiamo il tensore Energia-Impulso per il campo di Klein Gordon

y La conservazione della corrente è y Le “cariche” conservate sono le

componenti del 4-momento

y In particolare l’Hamiltoniana

(22)

Tensore energia impulso

y Analizziamo anche le altre componenti del 4-momento

y Anche nel caso di P, come per H, alla fine avremo bisogno di eliminare un contributo infinito

y Oppure adottiamo l’ordinamento normale y Sviluppiamo l’espressione

y Osserviamo che y Inoltre

y Ovviamente le due espressioni conducono a risultati uguali solo se si scartano i termini che conducono a infiniti da eliminare

y A questo punto si sostituiscono le rappresentazioni del campo e si trova,

come per l’Hamiltoniana

(23)

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 197

Il campo scalare complesso

y Il campo di Klein-Gordon che abbiamo fino ad ora studiato ha un solo grado di libertà

y Ci renderemo conto che serve per descrivere bosoni neutri y Particelle che coincidono con la propria antiparticella

y Per descrivere particelle cariche abbiamo bisogno di un campo complesso y La carica va intesa in senso ampio

y È un numero quantico che distingue particelle e antiparticelle y Non è necessariamente la carica elettrica

y Consideriamo due particelle di Klein-Gordon con la stessa massa y La Lagrangiana di questo sistema è

y I campi φ

1

e φ

2

sono due gradi di libertà di un sistema che ha bisogno di due componenti in uno spazio astratto y Studiamo gli effetti dell’invarianza rispetto a rotazioni

in questo spazio

y Le trasformazioni dipendono da un parametro ( gruppo SO[2] )

φ

1

φ

2

α φ

φ'

(24)

Il campo scalare complesso

y Consideriamo una rotazione infinitesima: α → δα y La trasformazione dei campi diventa

y Pertanto le variazioni dei due campi sono

y Si tratta di una simmetria interna con un solo parametro y La corrente di Noether è

y La carica conservata è confrontare con la

corrente dell’equazione di

Klein-Gordon

Riferimenti

Documenti correlati

[r]

Riassumiamo in un grafico lo studio

[r]

• Nella commutazione di messaggio viene stabilita una connessione logica tra trasmettitore e ricevitore, mentre il collegamento fisico ( il percorso seguito) può variare a

Calcolare le derivate parziali e scrivere l’equazione del piano tangente al grafico delle seguenti

[r]

Talvolta accade che una misura di un campione abbia una differenza vistosamente più grande dalla media rispetto alle altre misure.. Si ricalcola media e deviazione

Anche tenendo presente i riferimenti che sono stati fatti ai problemi di decisione, possiamo osservare come in un problema di ricerca del punto di massimo per una funzione, ci` o