prof. Francesco Ragusa Università di Milano
Interazioni Elettrodeboli
anno accademico 2020-2021
Lezione n. 8
20.10.2020
Quantizzazione canonica
Teorema di Noether
Tensore energia impulso
Invarianza di gauge globale
Quantizzazione canonica
y Anche nel caso continuo si può utilizzare il formalismo Hamiltoniano y Dobbiamo trovare il momento coniugato della variabile dinamica
y La variabile dinamica è il campo φ
y La densità Hamiltoniana è
y A questo punto si può procedere come nel caso della quantizzazione dell’oscillatore armonico unidimensionale
y Si trasformano la variabile dinamica φ e il suo momento coniugato π in operatori
y Osserviamo che si tratta di operatori dipendenti dal tempo
y In realtà di famiglie di operatori che dipendono dal "parametro" r
y Si impongono regole canoniche di commutazione fra la variabile dinamica e il momento coniugato corrispondente
Attenzione: t è lo stesso per i due operatori
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 177
Quantizzazione canonica
y Poiché rappresenta una famiglia di operatori occorre fissare anche la regola di commutazione per i due operatori distinti
y Analogamente
y Adesso vogliamo trovare una relazione per trovare a e a
†in funzione di φ e π y Richiamiamo la rappresentazione del campo che abbiamo già utilizzato
y Calcoliamo il momento coniugato
y Consideriamo adesso l’espressione
per semplificare
la notazione
Quantizzazione canonica
y Consideriamo adesso l’integrale ( p = (p
0, p) )
Notiamo che è
indipendente dal tempo
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 179
Quantizzazione canonica
y Analogamente si dimostra che
y A questo punto possiamo verificare che le relazioni di commutazione sui campi implicano le regole di commutazione sugli operatori di creazione e distruzione
x e x′ hanno lo stesso t
Quantizzazione canonica
y Analogamente si possono verificare le altre regole di commutazione y Si potrebbe anche verificare la relazione inversa
y Le regole di commutazione sugli operatori di creazione e distruzione implicano le regole di commutazione sui campi
y Concludiamo che i due insiemi di regole sono equivalenti
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 181
Calcolo dell’Hamiltoniana
y Per continuare a fare pratica con gli operatori di campo e le regole di
commutazione possiamo esprimere l’Hamiltoniana in funzione degli operatori
di creazione e distruzione per il campo di Klein-Gordon reale
Calcolo dell’Hamiltoniana
y Cominciamo con il pezzo più complicato (poco più complicato)
y Per semplicità definiamo
y Con i diversi prodotti compaiono due tipi di δ
y Il termine −kk′ assume valori diversi
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 183
Calcolo dell’Hamiltoniana
y Veniamo al termine contenente il momento coniugato
y Questo integrale è quasi identico a quello precedente
y La differenza risiede nel fatto che il termine −ωω′ ha sempre lo stesso segno
y I termini con compaiono con segno opposto rispetto
al caso precedente (segno negativo)
Calcolo dell’Hamiltoniana
y Per finire il termine che contiene il quadrato del campo
y Otteniamo un risultato molto simile al primo y Tutti i prodotti hanno segno positivo
y Sommiamo i tre integrali e moltiplichiamo per ½ y I termini con avranno un
coefficiente ( ricordiamo E = ω )
y I termini rimanenti avranno un coefficiente
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 185
Calcolo dell’Hamiltoniana
y Notiamo infine che
y Il risultato che abbiamo trovato è molto simile a quanto avevamo trovato intuitivamente (diapositiva )
y Trasformiamo ulteriormente l’espressione trovata usando le regole di commutazione degli operatori di creazione e distruzione
y L’Hamiltoniana è la somma delle energie dei singoli oscillatori y Il termine ½E
kè legato all’energia del vuoto nell’oscillatore y Nel caso di un campo porta ad un contributo divergente
y Viene eliminato imponendo che i campi abbiano un ordinamento normale
y In un prodotto normale ( :AB: ) gli operatori di distruzione stanno a destra indipendenti dal tempo
170
1274Digressione
y Il calcolo appena fatto, benché concettualmente semplice, è un po’ laborioso
y Una complicazione deriva dagli integrali del tipo y Infatti, a differenza degli integrali con il segno
negativo nell’esponente che contiene k⋅x, questi contribuiscono con fattore un po’ più complicato
y Conviene definire una procedura standard che consenta di semplificare i calcoli y Innanzitutto alcune notazioni
y Inoltre
y Si può verificare che le funzioni u
k(x) oltre alla relazione standard
y Soddisfano alle seguenti ulteriori regole di ortogonalità generalizzata
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 187
Digressione
y Tramite le funzioni u
kle espansioni dei campi diventano
y L’inversione delle formule si esprime in modo più semplice
y Come esempio, diventa relativamente facile il calcolo del commutatore
y Sono diversi da zero solo
y Otteniamo pertanto
Digressione
185
1307y Anche il calcolo dell’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e distruzione diventa più semplice
y Innanzitutto notiamo che
y Inoltre, per l’equazione di KG
y Pertanto l’Hamiltoniana si semplifica in
y Introducendo le rappresentazioni
y Sopravvivono solo (vedi diapositiva )
Teorema di Gauss
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 189
Teorema di Noether
y Abbiamo già visto che le equazioni di campo si deducono minimizzando l’azione
y Il teorema di Noether
†permette derivare leggi di conservazioni dalle proprietà di simmetria dell’Azione (e quindi della Lagrangiana)
y L’azione può essere lasciata invariata da trasformazioni y Di simmetria interna (ad esempio isospin, gauge)
y Di simmetria spazio-temporale (trasformazioni di Lorentz) y Il teorema di Noether asserisce che
y Ad ogni simmetria differenziabile che lascia invariata l’azione corrisponde una corrente conservata e, di conseguenza, una carica conservata
y Dato che l’azione è un integrale su d
4x la trasformazione di simmetria deve y Lasciare invariata la lagrangiana δL = 0
y Al più variare la lagrangiana di una 4-divergenza (δL = ∂
μf
μ) che per il teorema di Gauss 4-dimensionale non contribuisce all’azione
y †Emmy Noether, Invariante Variationsprobleme. Göttingen 1918, pp. 235-257
Teorema di Noether
y Tipicamente, per le simmetrie interne il termine di 4-divergenza è nullo y La 4-divergenza è non nulla nel caso delle simmetrie dello spazio-tempo
†y Trasformazioni del gruppo di Poincaré:Trasformazioni Lorentz e traslazioni y L’applicazione di una trasformazione del gruppo di simmetria provoca una
variazione dei campi φ → φ + δφ
y La variazione dei campi induce una variazione della Lagrangiana L → L + δL y Nel caso delle simmetrie interne δL = 0
y Esiste una corrente j
μconservata ∂
μj
μ= 0
y Nel caso delle simmetrie dello spazio tempo δL = ∂
μf
μy Esiste una corrente j
μtale che ∂
μj
μ= ∂
μf
μ→ ∂
μ(j
μ− f
μ) = 0 y La corrente conservata implica l’esistenza di una carica conservata
y †Peskin-Schroeder – An Introduction to Quantum Field Theory – cap. 2.2 p. 17
Per campi che vanno a zero
all'infinito rapidamente
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 191
Teorema di Noether
y Una variazione δφ(x) di un campo è una funzione y Infinitesima
y Che si annulla agli estremi
y L’operazione di variazione commuta con la derivazione y L’espressione ∂
μφ è una funzione (che dipende da φ)
y Veniamo ora alla dimostrazione del teorema
y Per generalità supponiamo che la lagrangiana dipenda da più campi ( n = 1,N) y Calcoliamo la variazione della Lagrangiana
y Elaboriamo l’espressione
y Commutiamo δ con ∂
μnel secondo termine
y Utilizziamo l’equazione di Eulero-Lagrange nel primo
x
ax
bTeorema di Noether
y L’espressione può essere trasformata in una 4-divergenza
y Se la trasformazione di simmetria modifica solo i campi ma lascia invariata la lagrangiana allora la variazione è nulla: δL = 0
y Otteniamo
y Abbiamo inoltre supposto che l’operazione di simmetria sia differenziabile y In generale, la variazione del campo dipende da M parametri arbitrari
(ad esempio, una rotazione dipende da 3 parametri)
y Poiché la variazione dei campi è arbitraria possiamo variare gli M parametri
indipendentemente (uno a uno) e otteniamo M espressioni
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 193
Teorema di Noether
y Possiamo pertanto definire le M correnti conservate
y La natura dell’indice k dipende dal tipo di trasformazione y Può essere un indice di Lorentz
y In questo caso la corrente è un tensore
y Può essere un indice che individua un grado di libertà interno y Un esempio è l’isospin
y Illustriamo i concedetti introdotti con due esempi y Un esempio di simmetria dello spazio tempo
y Le traslazioni
y Un esempio di simmetria interna
y Una trasformazione di gauge
Tensore energia impulso
y Come prima applicazione del teorema di Noether consideriamo l’invarianza della Lagrangiana per traslazioni nello spazio tempo per il campo di Klein-Gordon
y Le traslazioni sono elementi del gruppo di Poincarè y Si tratta di trasformazioni dello spazio tempo
y Una traslazione e definita come
y Trasformazioni differenziabili y Dipendono dai 4 parametri a
νy Per una traslazione infinitesima (a
νpiccoli) i campi hanno una variazione
y La corrente di Noether è pertanto
y La relativa variazione della Lagrangiana è y Attenzione! Non è nulla !
per le componenti
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 195
Tensore energia impulso
y Infatti la lagrangiana è implicitamente una funzione della posizione y La variazione indotta dalla traslazione è
y Uguagliando con l’analoga espressione trovata per la variazione dei campi
y Definiamo il tensore Energia-Impulso per il campo di Klein Gordon
y La conservazione della corrente è y Le “cariche” conservate sono le
componenti del 4-momento
y In particolare l’Hamiltoniana
Tensore energia impulso
y Analizziamo anche le altre componenti del 4-momento
y Anche nel caso di P, come per H, alla fine avremo bisogno di eliminare un contributo infinito
y Oppure adottiamo l’ordinamento normale y Sviluppiamo l’espressione
y Osserviamo che y Inoltre
y Ovviamente le due espressioni conducono a risultati uguali solo se si scartano i termini che conducono a infiniti da eliminare
y A questo punto si sostituiscono le rappresentazioni del campo e si trova,
come per l’Hamiltoniana
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