Muoni e pioni

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Muoni e pioni

Lezione 11

Due nuove particelle: µ e π

•  I primi esperimenti con raggi cosmici come diedero evidenza del positrone, così mostrarono l’esistenza di una nuova particella:

–  il muone, µ, m

=105 MeV –  ...con il suo neutrino

–  Particella importante per la comprensione delle interazioni deboli: famiglie ed universalità

•  L’origine dei muoni osservati sulla superficie

terrestre si può far risalire al decadimento di un’altra particella:

–  il pione, π

–  osservazione con emulsioni nucleare in voli su pallone –  particella che interagisce forte: il primo mesone

–  mediatore delle interazioni forti e spin isotopico

Raggi cosmici

•  Principalmente nuclei accelerati da sorgenti astrofisiche:

–  Sole per la parte bassa dello spettro (vento solare), include anche elettroni

–  Energie osservate fino a 10^19-20 eV

[eV]

E

1013 10¹⁴ 10¹⁵ 10¹⁶ 10¹⁷ 10¹⁸ 10¹⁹ 10²⁰ ]-1 sr-1 s-2 m1.6 [GeVF(E)2.6 E

1 10 102

103

104

Grigorov JACEE MGU Tien-Shan Tibet07 Akeno CASA-MIA HEGRA Fly’s Eye Kascade Kascade Grande IceTop-73 HiRes 1 HiRes 2 Telescope Array Auger

Knee

2nd Knee

Ankle

Sciami adronici

•  Negli sciami adronici, il processo dominante è lo scattering anelastico con i nuclei.

•  Tale processo ha:

–  lunghezza tipica la lunghezza di interazione nucleare λ_I –  molteplicità alta, ≈10

–  il momento trasverso è dell’ordine del momento di Fermi degli adroni in un nucleo,

–  l’energia critica è data dall’energia di soglia per produrre pioni in interazione nucleari. Siccome i nuclei del materiale sono molto più pesanti delle particelle incidenti,

•  Dimensioni dello sciame:

–  Longitudinale –  Trasversale

MeV/c

≈350 pF

mπ

E_c ≈ 2

2 . 3 [GeV]

ln 2 .

0 E +

λI

Raggi cosmici

15 10 5 3 2 1 0

0 200 400 600 800 1000

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

At m osph er ic dept h [g cm^–2] Vertical flux [m–2 s–1 sr–1 ]

Alt it u de (km )

µ⁺ + µ⁻

π⁺ + π⁻ e⁺ + e⁻

p + n ν_µ + ν__µ

Flusso a livello del mare

~180 m^-2s^-1

Scoperta del µ

•  Osservazione in eventi di camera a nebbia, con assorbitore di Pt

•  Selezionate tracce con momento iniziale ~500 MeV:

determinazione perdita di energia nell’assorbitore –  p solo positivi e bassa energia cinetica

–  e^- ed e⁺ perdono molta energia per bremsstrahlung –  si osservano particelle penetranti:

•  perdita di energia compatibile con solo (dE/dx)_coll

•  massa intermedia tra m_e ed m_p

•  presente in entrambi gli stati di carica µ⁺ e µ^- m_µ=105 MeV/c²

Esercizio: la scoperta del µ

•  La scoperta del µ

Calcolare la perdita di energia (e conseguente cambiamento di

momento) per elettroni, muoni e protoni con p=500 MeV in 1 cm di

Pt.

Decadimento del µ

•  Il muone decade con una vita media di 2.2 µs

–  elettrone è l’unica particella carica più leggera

–  le altre particelle sono invisibili: ν –  spettro continuo:

compatibile con decadimento in 3 corpi

–  il muone è un fermione

•  La forma esatta dello spettro di energia dell’elettrone dipende dai dettagli dell’elemento di matrice

µ⁻ → e⁻ +ν +ν

dΓ²

dx d cosθ ^{∝ x}

2 3(1− x) +2ρ

3 (4x − 3)

⎧⎨

⎩

+ 3η(1− x) / x

±P_µξ^cosθ 1− x + 2ρ

3 (4x − 3)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎫⎬

⎭

x = 2E_e

m_µ cosθ = angolo tra direzione di e e spin µ Dai decadimenti β^{, attesi:} ρ⁼³

4, η= 0, ξ = 1

Esercizio: µ al livello del mare

•  µ in atmosfera

Sapendo che lo spessore dell’atmosfera è circa 1000 g/cm2, calcolare l’energia minima di un muone che attraversa l’intera amosfera. A tale energia, quanto spazio percorre prima di decadere?

Provare a svolgere l’esercizio anche nel sistema di quiete del muone.

Decadimento del µ

•  La larghezza di decadimento del µ si può calcolare nella teoria di Fermi:

–  Permette il calcolo della G_F a quantità tutte ben misurate.

•  Calcoliamone il valore cerchiamo di capire quali sono i contributi degli errori sperimentali alla sua determinazione:

•  Il valore tabulato è: G

=1.1663787(6)x10

GeV

δ G

/G

=5x10

Γ ( µ

→ e

ν

ν

) ^{= G}

2

m

192 π

G_F = 192π³ m_µ⁵

! τ_µ

m_µ = 105.6583715 MeV

PDG 2014

τ

µ

δ

G_F = 5 2

δ

m_µ = 5

23.3×10⁻⁸

δ

G_F = 5 ×10⁻⁷ G_F = 1.1638188 ×10⁻⁵GeV⁻²

δ

G_F = 1 2

δτ

τ

1

210⁻⁶

Digressione: oltre il primo ordine perturbativo

•  Il decadimento del muone “definisce” la costante di Fermi con un’incertezza sperimentale di 5×10

•  La differenza tra il valore che abbiamo calcolato e quello effettivamente tabulato O(10

) deriva da ordini successi nella teoria delle perturbazioni

–  ed effettivamente se correggiamo per questi fattori otteniamo:

–  il messaggio è che con incertezze di questo ordine si possono verificare sperimentalmente correzioni quantistiche ai fenomeni osservati!

! τ

⁼

G

m

192 π

^{× 1− 8} m

m

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟× 1+ 25

8 − π

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ α

π ^+!

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

Spazio delle fasi:

0.99981295

Radiazione elettromagnetica:

0.99580184

G

= 1.1638188 ×10

×1.00219945 = 1.1663786 ×10

GeV

Universalità delle interazioni deboli

•  La costante di Fermi calcolata dal decadimento β

•  e dal decadimento del muone:

•  Due fenomeni molto diversi determinati dalla stessa costante:

Universalità delle interazioni deboli!

•  Spiegheremo in seguito la ragione della piccola differenza tra i due valori.

G

= 1.14962 ± 0.00015 ( ) ^×10

^GeV

G

= 1.1663786 ± 0.0000006 ( ) ^×10

^GeV

Il muone

Identità attesa per simmetria CPT

se ≠0 violazione CP

Numero elettronico e muonico

•  Il decadimento principale del µ è:

•  Altri decadimenti che conservano carica e momento angolare non si osservano:

•  Esiste un numero quantico conservato violato in questi decadimenti.

•  Numero muonico

•  Numero elettronico

•  Osservazione fatta nel decadimento β

–  e^- prodotto in coppia con anti-ν –  e⁺ prodotto in coppia con ν –  reazioni di fusione

•  Nelle interazioni di neutrini si conserva il numero elettronico:

µ⁻ → e⁻ +ν +ν

µ⁻ → e⁻ +γ µ⁻ → e⁻+ e⁺+ e⁻ µ⁻ → e⁻+γ +γ

Questa ipotesi prevede che esistano due specie di neutrini (e rispettivi anti-neutrini)

•  si possono mettere in evidenza i numeri quantici nelle interazioni

•  per discutere la verifica sperimentale bisogna introdurre una nuova particella:

il pione

µ^−,ν_µ = +1, µ^+,ν_µ = −1

Z

AX → _Z+1^AX + e⁻+ν

e⁻,ν_e = +1, e⁺,ν_e = −1

Z

AX → _Z−1^AX + e⁺+ν

4 p → ₂⁴He + 2e⁺ + 2ν_e

ν_e + p → n + e⁺ ν_e + n → p + e⁻

ν_e+³⁷Cl → ³⁷S + e⁺ ν_e +³⁷Cl → ³⁷Ar + e⁻

Osservazione neutrini solari Esperimento di Reines e Cowan

Osservazione del π

•  Per acquisire maggiori

informazioni sui raggi cosmici voli con palloni in alta atmosfera.

•  Utilizzo di emulsioni nucleari per registrare le interazioni.

•  Powell ricevette il Nobel 1950

–  per la tecnica sperimentale –  e per gli studi sui pioni fatti

con questa tecnica

Osservazione del π

π

µ e

particella veloce:

(dE/dx)_min

pochi grani di ionizzazione

particella lenta:

(dE/dx)∝1/β² densa ionizzazione

e riparte

veloce π si

arresta

Emulsioni nucleari

•  ρ ~ 3.8 g/cm²

•  X₀ ~ 2.9 cm

•  λ_I ~ 35 cm

Il pione

•  La nuova particella carica esiste sia come π

, π

–  m

= 139.57108 ± 0.00035 MeV

–  τ

= (2.6033 ± 0.0005) × 10

s –  Il decadimento è in due corpi:

•  il µ ha un momento fisso: 30 MeV/c, compatibile con il rinculo contro una particella di massa nulla:

•  siccome non si vedono interazioni di γ, la particella neutra deve essere un neutrino.

–  Il pione ha spin intero

•  Successivamente è stato anche osservato il π

–  m

= 134.9766 ± 0.0006 MeV

–  τ

= (8.52 ± 0.18) × 10

s

π

→ µ

+ ν , π

→ µ

+ ν

π

→ γ + γ

Decadimento debole

Decadimento elettromagnetico

p₁^* = p₂^* =

(

) (

)

2 s

p_µ^* = s − m_µ²

2 s = m_π² − m_µ² 2m_π

m₂=0

⎯⎯⎯→

Proprietà del pione

•  Pioni possono venire prodotti in abbondanza in interazioni forti:

•  con energia di soglia (es.: p+p→p+n+π⁺)

p + p → p + p + π⁰ p + n → p + n + π⁰ p + n → p + p + π⁻ p + n → n + n + π⁺

s ≥ m_p + m_n + m_π s ≥ m

(

)

= m_p² + m_p² + 2m_pE_p = 4m_p² + 2m_pT_p

= m

(

)

(

)

T_p ≥ 2m_π 1+ m_π 4m_p

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ ≈ 290 MeV

p_p1 =

(

)

p_p2 =

(

)

s = p

(

)

•  Ma anche:

•  con energia di soglia (esercizio):

•  Il numero di pioni, diversamente dal numero di nucleoni, non viene conservato.

•  Numero barionico del π = 0 p + p → p + n + π⁺

p + p → p + n + π⁺ +π⁰ p + p → p + p + π⁺+π⁻

T_p ≥ 4m_π 1+ m_π 2m_p

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ ≈ 600 MeV

Proprietà del pione: spin

•  Lo spin del pione è stato misurato sfruttando l’invarianza per inversione temporale delle interazioni forti,

•  che permette di utilizzare il principio del bilancio dettagliato nelle reazioni:

•  Le probabilità di transizione per unità di tempo sono date dalla regola d’oro di Fermi:

–  l’invarianza per inversione temporale impone la condizione:

–  Ricordiamo il legame tra sezione d’urto σ e λ:

p + p → d + π⁺ π⁺ + d → p + p

λ_{i→ f} = 2π

! M_{i→ f} ²ρ

(

)

! M_{f →i} ²ρ(E_i)

M_{i→ f} ² = M_{f →i} ²

λ_{i→ f} = βic d

1

Vσ(i → f )d

numero di interazione per unità di tempo:

dn/dt Flusso incidente:

v/d Densità bersagli: una particella nel volume

Profondità del volume

Densità di stati finali

•  Rispetto a quanto fatto in precedenza dobbiamo tenere conto dello spin negli stati finali:

–  Tenendo conto che E_π+d=E_π+E_d:

–  ed inoltre

(questa relazione vale sia nel caso relativistico che non relativistico: verificare)

•  Nel caso dello stato finale p+p, bisogna considerare che, avendo due particelle identiche non bisogna contare gli stati simmetrici:

ρ E

(

)

(

) (

)

2

2π!

( )

dp_π dE_π+d

dp_π

dE_π+d = dp_π dE_π dp_π

dE_π = 1 β_πc

= 2s

(

)

2

2π!

( )

1 β_πc

= 2s

(

)

2

2π!

( )

dp_π dE_π+d

s_d=1

ρ E

(

)

(

) (

)

2

2π!

( )

dp_p

dE_p+p = 1

22 ⋅ 2V 4π p_p² 2π!

( )

1

β_pc = 2V 4π p_p² 2π!

( )

1 β_pc

Proprietà del pione: spin

•  Ricordando la relazione per la sezione d’urto: _{λi→ f =} ^βic

d 1

Vσ(i → f )d σ(i → f ) = V

β_i^cλ_{i→ f =} ^V β_ic

2π

! M_{i→ f} ²ρ(E_f) σ( p + p → π⁺ + d)

σ⁽π⁺ + d → p + p)

= 2π

! M_{pp→π d} ² V

β_p^cρ^(E_{π +d}⁾

= 2π

! M_{π d→pp} ² V

β_π^cρ^(E_{p+ p}⁾

= 2π

! M_{pp→π d} ² V

β_p^c(^{2sπ + 1})^{3V 4πpπ}

2

2π!

( )³

1 β_π^c

σ( p + p → π⁺ + d) = 2π

! M_{pp→π d} ² 4πV²

βpβ_π^c2(²π!)³(^{2sπ + 1})^3pπ2

= 2π

! M_{π d→pp} ² V β_π^c2

V 4π^p_p² 2π!

( )³

1 βpc

σ⁽π⁺ + d → p + p) = 2π

! M_{π d→pp} ² 4π^V2

β_pβ_πc²(2π!)^{32 pp}

2

σ( p + p → π⁺ + d)

σ⁽π⁺ + d → p + p) = (2s_π + 1)³

2

p_π² p_p²

Proprietà del pione: spin

•  Dal confronto delle sezioni d’urto

misurate si ricava: s

=0

σ( p + p →π⁺ + d)

σ(π⁺ + d → p + p) = (2s_π + 1)³

2

p_π² p²_p

3 2

p_π²

p_p²σ (π⁺+ d → p + p)

Proprietà del pione: parità

•  La parità del π si può determinare da reazioni che lo contengono.

•  Esempio:

•  Non ha una barriera da superare

•  Per p_π→0, avviene in onda s:

–  J=S_d, j=s_d=1

•  Parità del sistema iniziale:

–  dato che η_d=+1 e ℓ=0

•  Dal confronto si ottiene che la parità del π è negativa

•  Parità del sistema finale:

•  Lo stato contiene due particelle di spin 1/2 identiche:

funzione d’onda anti-simmetrica

•  Il momento angolare totale è j=1

•  Se S(n+n)=0:

–  funzione d’onda di spin anti- simmetrica

–  funzione orbitale simmetrica:

ℓ=0, 2, ...

–  j=ℓ, non può essere 1

•  Se S(n+n)=1:

–  funzione d’onda di spin simmetrica –  funzione orbitale anti-simmetrica:

ℓ=1, 3, ...

–  j=1 se ℓ=1

π⁻ + d → n + n

η_πη_d(−1)^{ℓ(π+d )} =η_π

η_nη_n(−1)^ℓ(n+n) = (−1)^ℓ(n+n) = −1

Decadimento del pione ^(carico)

•  Nel sistema del centro di massa:

•  Per valutare cosa succede nel sistema del laboratorio, prendiamo l’asse z lungo la direzione di moto del π

•  L’angolo di decadimento nel sistema del centro di massa rispetto a tale direzione:

•  Se il π si muove con velocità β_π:

•  Da cui segue che

•  Per pioni relativistici:

p^*_µ = p_ν^* = m_π² − m_µ² 2m_π E_ν^* = p_ν^* = m_π² − m_µ²

2m_π

E_µ^* = m_µ² + p_ν^*2 = m_π² + m_µ² 2m_π

θ^*

p_T^* = p^* sinθ^*

p_L^* = p^* cosθ^*

E_ν = p_ν =γ_π

(

)

=γ_πE_ν^*

(

)

=γ_π

(

)

π

= γ_πm_π

2

(

)

π²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1 −β_π

2 1 − m_µ² m_π²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ < E_ν

E_π < 1 +β_π

2 1 − m_µ² m_π²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

0 < E_ν

E_π < 1 − m_µ²

m_π² = 0.428

Decadimento del pione ^(carico)

•  Per calcolare la distribuzione di energie, basta osservare che in un decadimento isotropo:

•  La distribuzione di energia del neutrino è anch'essa uniforme:

•  ricordando

•  si ottiene infine:

•  Se l'energia del π è molto elevata ed è ragionevole approssimare

•  posto

dN

dE_ν = 1 p_π 1 − m_µ²

m_π²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ d cosθ^*

dE_ν = 1 γ_πβ_π ^p*

E_π ≈ p_π β_π ≈ 1

ξ = E_ν E_π

dN dξ ⁼

1 1 − m_µ²

m_π²

dN dξ

ξ 1 − m_µ²

m_π²

otteniamo

cosθ^* = E_ν − p^* γ_π p^* γ_πβ_π dN

dE_ν = dN d cosθ^*

d cosθ^* dE_ν

p^* = m_π² − m_µ² 2m_π dN

d cosθ^{* =} 1 2

Decadimento del pione ^(carico)

•  La distribuzione angolare dei neutrini nel sistema di laboratorio si calcola facilmente

•  Ricordiamo

•  approssimando β_π ≈ 1, otteniamo

•  Vediamo inoltre che esiste una relazione fra l'energia del neutrino e l'angolo di decadimento nel cm

•  approssimando β_π ≈ 1 ancora si ha p_T = p^* sinθ^*

p_L = E_ν^*γ_πβ_π + p^* cosθ^*γ_π

= p^* γ_πβ_π + p^* cosθ^*γ_π

tanθ = p^* sinθ^*

p^* γ_πβ_π + p^* cosθ^*γ_π

= 1 γ_π

sinθ^* 1+ cosθ^*

= 1 γ_π

2sinθ^*

2 cosθ^* 2 2 cos²θ^*

2 tanθ = 1

γ_π tanθ^* 2

E_ν = p^* γ_π + p^* γ_πβ_π ^cosθ^*

p_ν = E_ν =γ_π ^p* (1 + cosθ^*)

E_ν =γ_π p^* 2 cos²θ^* 2

=γ_π ^{p* 2} 1+ tan²θ^*

2

=γ_π ^{p* 2} 1+γ_π^{2 tan2}θ

E_ν = E_π 1− m_µ² m_π²

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 1+γ_π^2tan2θ

p^* =m_π² − m_µ² 2m_π

Osservazione di ν

•  Siccome la sezione d’urto è molto piccola:

–  Apparato di grandi dimensioni –  Schermatura “totale”

•  Devo distinguere elettroni da muoni

Zona di decadimento 21 m

Assorbitore Acciaio 13.5 m

Rivelatore Al 10 t bersaglio

Be

ν+A→e+altro: sciami elettromagnetici ν+A→µ+altro: particelle penetranti

ν_e≠ν_µ

Numero muonico ed elettronico conservati separatamente p da 15 GeV

sincrotrone di Brookhaven

Esercizio

Cinematica dell’esperimento

1.  Calcolare l’energia di soglia della reazione:

2.  E la soglia per avere un µ con momento di 300 MeV/c

3.  Che energia dovrebbe avere un π per dare uno spettro in momento

rettangolare come quello sovrapposto alla figura

4.  Quanto spazio percorre prima di decadere?

5.  Quanto acciaio serve per assorbire i muoni del decadimento?

ν + n → µ

+ p

BeV=GeV Particella simile a π, ma massa 493.7 MeV

I leptoni

•  Il µ, come l’e ha solo interazioni di natura elettromagnetica e debole.

•  I rispettivi ν hanno solo interazioni deboli

•  Vengono chiamati leptoni

•  A parte la massa, la coppia µ-ν

ha le stesse proprietà di e-ν

–  Struttura a famiglie del Modello Standard

–  Il numero di particelle in una data famiglia è una quantità conservata

•  Nel 1975 venne scoperta la terza famiglia:

–  τ-ν

–  m

=1776.82±0.16 GeV

Il decadimento π → e+ν

•  Data l’esistenza del decadimento π

→ µ

+ν

•  ci si aspetta anche l’analogo π

→ e

+ν

•  Che effettivamente si osserva ma con un rapporto di decadimento molto minore:

•  Questa differenza è giustificabile dalla combinazione di:

–  spazio delle fasi

–  conservazione del momento angolare –  polarizzazione nelle interazioni deboli

Il decadimento π → e+ν

•  Spazio delle fasi:

–  ℓ=e, µ: il termine favorisce il positrone

•  Conservazione del momento angolare:

–  siccome il π ha spin 0, –  elicità di ℓ e ν sono uguali

•  Polarizzazione nelle interazioni deboli

–  nei decadimenti β, e^- e ν sono polarizzati con ⟨h⟩=–β –  mentre e⁺ e anti-ν sono polarizzati con ⟨h⟩=+β

–  Questo vuol dire che il leptone è in uno stato misto:

–  Solo la componente con elicità negativa può contribuire al decadimento:

ρ E

( )

2

2 s

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= m_π² − m_µ² 2m_π

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= m_π²

4 1 − m_ℓ² m_π²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

ψ_ℓ = aψ_h=+1+ bψ_h=−1 a² =1+ β

2 , b² =1− β 2

M_π→ℓν ² ∝ b² =1− β

2 =1− p_ℓ / E_ℓ

2 =

1− (m_π² − m_ℓ²) / 2m_π (m_π² + m_ℓ²) / 2m_π

2 = m_ℓ²

m_π² + m_ℓ²

ν h_ν=-1 e

h_e=-1

Soppressione dei decadimento in e:

(m_e/m_µ)²~2.5×10^-5

EQUAZIONE DI KLEIN-GORDON

Interludio

Equazione di Klein-Gordon

•  Prima di continuare con lo studio delle proprietà delle interazioni forti, diamo una breve occhiata ad una

generalizzazione relativistica dell’equazione di Schrödinger.

•  Equazione di Klein-Gordon

–  Dalla trattazione relativistica compare un’equazione di continuità analoga a quella classica

–  Che permette di intuire la necessità di introdurre anti- particelle

–  Mostra come il pione possa essere considerato la sorgente di

un potenziale a breve range.

Equazione di Klein-Gordon

•  L’equazione di Schrödinger per una particella libera è palesemente non relativisticamente invariante:

•  è stata ricavata dala relazione:

•  Effettuando la sostituzione operatoriale:

•  Per trovare una generalizzazione relativistica, possiamo utilizzare delle relazioni relativistiche:

–  tetra-vettore energia impulso:

–  con l’identità operatoriale

–  e la relazione energia momento:

− !²

2m∇²ψ = i! ∂

∂tψ E = p²

2m

E = i! ∂

∂t, p = −i! ∇

( E pc )

p_ν ⇒ i!c∂_ν = i!c ∂

∂x^ν

p² = p^ν p_ν = E² − p²c² = m²c⁴

Equazione di Klein-Gordon

•  Nel seguito, per semplicità, assumeremo unità naturali: ħ = c = 1

–  Energie, momenti, masse misurati in GeV –  Lunghezze, tempi misurati in GeV^-1

–  Sezioni d’urto in GeV^-2

•  Sostituendo gli operatori nelle relazione energia-impulso, otteniamo l’equazione di Klein-Gordon:

–  Cerchiamo soluzione nella forma di onde piane:

•  N è un coefficiente di normalizzazione

–  La condizione che deve soddisfare il tetravettore p è:

–  Per un dato valore del momento, esistono due soluzioni:

•  soluzioni con energia positiva:

•  soluzioni con energia negativa:

∂²

∂t² φ − ∇²φ + m²φ = 0

φ = Ne^−ip⋅x

−E²² + p² + m²

( )

E = ± p² + m² = ±E_p

E_p definita come sempre positiva

φ₊ = Ne^{−iEpt+ip⋅x} φ₋ = Ne^+iEpt+ip⋅x

Corrente di probabilità (Schrödinger)

•  Consideriamo l’equazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata:

•  Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per ψ* e ψ:

•  Sottraendo le due equazioni:

•  Da cui si ricava:

•  Che si identifica come un’equazione di continuità:

•  Se identifichiamo la densità: ρ=|ψ|²

•  e la densità di corrente: J=(-i/2m)[ψ*∇ψ-ψ∇ψ*]

i ∂

∂tψ + 1

2m ∇²ψ = 0 −i ∂

∂tψ^* + 1

2m∇²ψ^* = 0

iψ^* ∂

∂tψ + 1

2mψ^*∇²ψ = 0 −iψ ∂

∂tψ^* + 1

2mψ∇²ψ^* = 0 iψ^* ∂

∂tψ + iψ ∂

∂tψ^*+ 1

2mψ^*∇²ψ − 1

2mψ∇²ψ^* = 0 i ∂

∂t

(

)

(

)

∂

∂t ψ ² − i

2m ∇

(

)

∂

∂t ρ + ∇ ⋅ J = 0

Corrente di probabilità (Schrödinger)

•  Nel caso particolare di onde piane:

•  La densità:

•  La corrente:

•  Ovvero:

ρ = ψ ² = N ²

J = − i

2m

(

)

ψ = Ne⁻ⁱ

p² 2mt+ip⋅x

= − i

2m

(

)

= p

2m

(

)

J = vρ = N ²v

Corrente di probabilità (Klein-Gordon)

•  Ripetiamo lo stesso procedimento con l’equazione di Klein-Gordon:

•  Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per 𝜙* e 𝜙:

•  Sottraendo le due equazioni:

•  Da cui si ricava:

•  Che si identifica anch’essa come un’equazione di continuità:

•  e si può esprimere in maniera covariante

∂

∂t ρ + ∇ ⋅ J = 0

∂²

∂t² φ − ∇²φ + m²φ = 0 ∂²

∂t² φ^*− ∇²φ^*+ m²φ^* = 0

φ^* ∂²

∂t² φ − φ^*∇²φ + φ^*m²φ = 0 φ ∂²

∂t² φ^* −φ∇²φ^*+φm²φ^* = 0 φ^* ∂²

∂t² φ − φ ∂²

∂t² φ^*−φ^*∇²φ + φ∇²φ^* = 0

∂

∂t φ^* ∂

∂tφ − φ ∂

∂tφ^*

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − ∇ φ

(

)

ρ = i φ^* ∂

∂tφ − φ ∂

∂tφ^*

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ J = −i φ

(

)

J_ν = −i

(

)

Corrente di probabilità (Klein-Gordon)

•  Nel caso particolare di onde piane:

•  La densità:

•  Le soluzioni con energia positiva hanno densità:

•  Le soluzioni con energia negativa hanno densità:

•  Nella densità compare anche un termine proporzionale a γ

•  La corrente:

•  Le soluzioni con energia positiva:

•  Le soluzioni con energia negativa:

φ = Ne^{−iEt+ip⋅x}

ρ = i φ^* ∂

∂tφ − φ ∂

∂tφ^*

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = i φ

(

)

(

)

ρ = 2 N ²E

ρ = 2 N ² E_p > 0 ρ = −2 N ² E_p < 0

J = −i φ

(

)

(

)

(

)

J = 2p N ²

J = 2pρ / 2E_p = βρ

J = −2pρ / 2E_p = −βρ β = p / E_p

Particelle ed anti-particelle

•  Nell’equazione di Klein-Gordon le soluzioni ad energia negativa sorgono perché l’equazione è del secondo ordine nelle derivate temporali.

•  Dirac scrisse un’equazione relativisticamente invariante al primo ordine:

–  descrive i fermioni – particelle con spin 1/2

–  anche in tal caso si trovano soluzioni con energie negative

•  In una formulazione relativistica della meccanica quantistica, queste soluzioni sono identificabili con le anti-particelle:

–  la carica conservata

–  è la differenza tra numero di particelle ed antiparticelle

•  L’esistenza di anti-particelle entra a forza nella meccanica quantistica non relativistica.

•  Esempio: processo di scambio carica: non è possibile distinguere i due processi

p

-p p+Δp Δp

-p-Δp -Δp

p

-p p+Δp Δp

-p-Δp -Δp

p emette un π⁺ che viene assorbito dal n n emette un π^- che viene assorbito dal p Q = dV

∫