Magnetostatica 3

Magnetostatica 3

12 ottobre 2012

Momento agente su un ago magnetico Forza agente su una spira

Momento di forza agente su una spira Momento magnetico di dipolo

Energia potenziale di una spira Teorema di equivalenza di Ampère Flusso del campo B

Sorgenti del campo B

Momento agente su un ago in un campo B

• Abbiamo visto che un ago magnetico in un campo B è soggetto ad una coppia il cui momento può essere

misurato

• Abbiamo introdotto il momento magnetico m dell’ago

• m è tale che quando l’ago è posto in un campo B, la coppia risultante ha momento meccanico

• E l’energia dell’ago nel campo esterno è, analogamente al caso elettrico,

B m  

  



B m   



E 

Forza agente su una spira in un campo B uniforme

• Spira rettangolare (per semplicità) che

possa ruotare intorno ad un asse (x) perp. a B, disposto lungo z

• Lati perp. all’asse di rotazione:

– Sul lato AD (lunghezza h) agisce la forza – Su BC la stessa forza con segno opposto – Le forze sui due lati sono uguali ed opposte

• Lati paralleli all’asse:

– Sul lato AB (lunghezza b) agisce la forza – Su DC la stessa forza con segno opposto – Le forze sui due lati sono uguali ed opposte

 

IhB

F  sin  2  ˆ  cos ˆ

j IbB F   ˆ

z

y

n 

x X B

B B

x

y

z n

 O D

A

C h b

3

Momento agente su una spira in un campo B uniforme

• Lati perpendicolari all’asse di rotazione

• Possiamo considerare il momento della forza risultante invece che il risultante dei momenti

• Le due forze sui lati AD, BC sono uguali, opposte e hanno la stessa linea d’azione, quindi il momento totale è nullo

B B

z n

 O A

Momento agente su una spira in un campo B uniforme

• Lati paralleli all’asse di rotazione

• Di nuovo possiamo considerare il momento

della forza risultante invece che il risultante dei momenti

• Le due forze risultanti sui lati AB, DC sono uguali, opposte e hanno braccio

• quindi hanno momento

 sin h

 ^{IA n}  ^B

i IAB

i IbBh 













ˆ

sin ˆ

sin  ˆ 



z

y

n



x X B

5

Momento magnetico di una spira

• Definiamo momento magnetico di una spira piana di forma arbitraria (o momento di dipolo

magnetico), il vettore

– A: area della spira – I: corrente circolante

– n: versore normale alla spira

• Il momento meccanico in un campo B può venir espresso nella stessa forma che per un ago

magnetico

n IA m   ˆ

B m  

  



Energia potenziale di una spira

• Scegliamo  come zero dell’energia

• U e` l’opposto del lavoro per andare da a

 2

 



 





U

 



















cos

sin 2

2 2

mB

d mB

d B m

L



















 

U





 2

7

Sorgenti del campo B

• Ampère intui’ che il magnetismo di un magnete altro non e` che l’effetto di

correnti microscopiche all’interno della materia

• Le sorgenti del campo induzione

magnetica non sono quindi le cariche magnetiche, ma le correnti elettriche,

macroscopiche o microscopiche che siano

Teorema di equivalenza di Ampère

• Questa intuizione e` suffragata dal teorema di equivalenza tra un magnete ed una spira

1) le azioni meccaniche esercitate da un campo B su di un magnete o su di una spira di ugual momento magnetico, sono uguali

2) a grande distanza il campo B di dipolo

generato da una spira è uguale a quello di un magnete

9

Teorema di equivalenza di Ampère

• Abbiamo dimostrato la prima parte: le azioni di un campo esterno B su un ago e una spira sono

uguali, purché tra il momento dell’ago, la corrente e l’area della spira valga la relazione

• Procediamo ora con la seconda parte

ago

spira

IA n m

m   ˆ  

Teorema di equivalenza di Ampère

• Calcoliamo il campo B prodotto da una spira (raggio R e corrente i) a grande distanza r₀ mediante la formula di Laplace

11

r₀

r



 ₃

r r l

ki d

B  



R 



r  r ₀  

R

Teorema di equivalenza di Ampère

• Scriviamo le componenti cartesiane dei vettori R, dl, r₀ e r

12

R dl







R 

Rcos Rsin

0





















d

l 

dlsin dlcos

0



















r ₀ 

r₀sincos

r₀sinsin

r₀cos

















r₀







r 

r₀sincos  Rcos r₀sinsin  Rsin

r₀cos

















Teorema di equivalenza di Ampère

• Calcoliamo il prodotto esterno e sviluppiamo r al denominatore al primo ordine in R/r₀

• Posto che l’integrale del campo diviene

13





d

l  r  dl

r₀coscos r₀sincos

r₀sincos   ^{ R}



















1

r³  1

r₀³ 1 3 R

r₀ sincos   



 

 O2

R r₀



 





dl  Rd

Teorema di equivalenza di Ampère

•



B  ki 1

r₀³ 1 3 R

r₀ sincos   



 



r₀coscos r₀sincos

r₀ sincos   ^{ R}















Rd

0 2



 ki R

r₀² 1 3 R

r₀ sincos   



 



coscos sincos

sincos   ^{ R r}₀















d

0 2



Teorema di equivalenza di Ampère

• Componente x:

• Similmente per la componente y:

 15

B_x  ki R

r₀² 1 3 R

r₀ sincos   



 

coscosd

0 2



 ki R

r₀² cos cosd

0 2



0

sincos cos   ^cosd

0 2





 



 ki R

r₀² 3 R

r₀ sincos coscos   sinsin^cosd

0 2



 3ki R²

r₀³ sincoscos cos² d

0 2



0

3 sincoscos



B_y  3ki R²

r₀³ sincossin

Teorema di equivalenza di Ampère

• Componente z:

16

B_z  ki R

r₀² 1 3 R

r₀ sincos   



 

 sincos   ^{ R}

r₀



 

d

0 2



 ki R

r₀² sincos   ^{ R}

r₀



 

d

0 2



0

sin² cos² d

0 2











 ki R

r₀² sin cos   ^d 

0 2



0

d

0 2



0

sin² cos²  ^d

0 2











 ki R²

r₀³ 2  3sin²  cos² d

0 2









 ki R²

r₀³





 ki R²

r₀³





Teorema di equivalenza di Ampère

• Posto m=iR², momento magnetico della spira, in coordinate cartesiane il campo risulta

• In coordinate cilindriche

17





B  k m r₀³

3sincoscos

3sincossin

3cos² 1





















B  k m r₀³

3sincos

0

3cos² 1















 ₀ 4

m r₀³

3sincos

0

3cos²  1

















Teorema di equivalenza di Ampère

• In coordinate sferiche, infine

• Che è esattamente uguale al campo induzione magnetica di un magnete, e che è a sua volta uguale al campo elettrico di un dipolo elettrico a grandi distanze























0 sin

cos 2

4 ₀³

0

r B m









2cos 1 p



Flusso del campo B

• Per il principio di sovrapposizione il campo B si può pensare come somma dei campi dovuti ai singoli portatori

• Il flusso sarà

• Basta quindi considerare il flusso di un singolo portatore, il cui campo è

3 0

4 r

r v b  q 







 ^N

j

bj

B

1

 

  _{  }  

















 ^N

j

j N

j S

j S

S b A

d b A

d B S

B

1 1

|

|     



19

Flusso del campo B

• Per quanto detto sulla legge di Gauss, possiamo limitarci a calcolare il flusso

attraverso una sfera con centro nella carica in moto

• Le linee di b sono tangenti alla superficie

sferica, quindi il flusso di b, e di conseguenza quello del campo totale B sono nulli

• Cioè abbiamo la 3° equazione dell’em

 

_

_



S S

A r d

r v

A q d b S

b     

3 0

| 4





Sorgenti del campo B

• Se confrontiamo questo risultato con il caso elettrico possiamo affermare che

l’annullamento del flusso di B stabilisce la non esistenza di cariche magnetiche

0 int

)

|

( ^tot

S Q

E 

  0

)

|

( 

 B S

21

Forma differenziale della legge di assenza di carica magnetica

• L’annullamento del flusso e della divergenza sono due aspetti della stessa cosa

• Applichiamo il teorema della divergenza all’integrale del flusso

• Ne segue che l’integrando nell’ultimo membro dev’essere nullo ovunque







V S

dV B a

d

B    0

Potenziale magnetico

• Abbiamo visto che ad un campo E si puo`

associare un potenziale scalare V

• E` possibile fare una cosa analoga per il campo B?

• La risposta e` no

• E` invece possibile associare un potenziale vettore A

23

Potenziali e.m.

• Questo deriva formalmente dalle diverse proprieta` dei campi

• Per il campo E e` sempre verificato

• Per cui si puo` scrivere

• In quanto la rotazione di un gradiente e` identicamente nulla

• Per il campo B abbiamo invece

• Non si puo` esprimere B come gradiente di un campo scalare, in quanto la divergenza di un gradiente non e`

necessariamente nulla

• E` pero` possibile esprimere B come rotazione di un campo vettoriale:

 0



 E  V

E  

 0



 B 

A B  







Potenziali e.m.

• Verifichiamo questa affermazione

 0













  B    A 

0

2 2 2

2 2

2 





 





 





 





 





 





 

 



 







 







 



 







 







 



 







 







 



 



 





y z

A x

z A x

y A z

y A z

x A y

x A

y A x

A z

x A z

A y

z A y

A x

z B y

B x

B

y x z

y x z

y x x z

z y y z

x

25