Part II
Topologia Generale
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Chapter 2
Motivazioni e spazi metrici
2.1 Motivazioni e Storia
La prima definizione informale di topologia (topos+logos= studio dei luoghi) `e stata data da Walther von Dyck (1866–1934) nel 1888 nell’articolo Beitr¨age zur Analysis situs, Ein- und zweidimensionale Mannigfaltigkeiten (Math. Ann. 32 (1888), no. 4, 457–512).
Topologia
La topologia (o analysis situs) `e lo studio delle propriet`a degli oggetti matematici che sono invarianti attraverso funzioni continue con inverse continue.
Walther von Dyck (1866--1934)
Tuttavia la topologia era stata utilizzata in precedenza da Leonardo Eulero (1707–1783) per risolvere nel 1736 il Problema dei sette ponti di Konisgberg. Il problema `e il seguente:
nella citt`a di Konigsberg ci sono sette ponti che collegano le quattro parti della citt`a come si vede in Figura 1. Ci si domanda se esiste una passeggiata che faccia attraversare tutti e sette ponti percorrendoli una e una sola volta.
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Figura 1
Eulero, osservando che il problema non dipende dalla n`e distanza tra i ponti n`e dalla planimetria della citt`a, trasforma la piantina della citt`a in un grafo vedi figura 2.
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Figura 2
Definizione 2.1.1. Un grafo `e un insieme non vuoto di V punti nello spazio euclideo detti vertici o nodi alcuni dei quali sono uniti a coppie da S segmenti detti spigoli o lati. Inoltre lati diversi si possono incontrare solo nei vertici del grafo.
A questo punto `e facile definire un cammino di lunghezza p in un grafo come una successione v0, . . . vp
di vertici e una successione l1, . . . lp di spigoli. Un grafo si dice connesso se comunque dati due vertici u e v esiste un cammino di lunghezza p che li unisce. Infine chiameremo grado di un vertice u 2 il numero di spigoli che dipartono da u. Prendendo spunto dal problema dei sette ponti diremo che.
Definizione 2.1.2. Un grafo connesso si euleriano se esiste un cammino che passa per tutti gli spigoli una e una sola volta, in particolare la lunghezza del cammino `e uguale al numero di spigoli del grafo.
Teorema 2.1.3. Un grafo connesso `e euleriano se e solo se ha al pi`u due vertici di grado dispari.
Proof. L’idea della dimostrazione `e molto semplice: a parte i vertici di partenza e di arrivo del cammino tutti gli altri vertici devono essere raggiunti da uno spigolo e lasciati da un altro. Quindi deve essere pari il numero di spigoli per tutti i vertici tranne che per il vertice di partenza e quello fi arrivo.
Scegliamo una successione di vertici v0, . . . , vne una di lati l1, . . . , lnche formino un cammino passante per tutti i lati una e una sola volta. Ogni vertice u diverso da v0 e vn ha grado uguale al doppio del numero di indici i tali che u = vi.
Corollaro 2.1.4. Il problema dei sette ponti di Konisgberg ha risposta negativa.
Proof. Osserviamo che il grafo in Figura 2 ha tutti e quattro i vertici di grado dispari, quindi per il Teorema 2.1.3 il grafo non `e euleriano.
Una seconda proposizione topologica dimostrata da Eulero riguarda la relazione tra facce, spigoli e vertici di un poliedro che si riassume nella famosa formula di Eulero scoperta nel 1752 che riportiamo nel seguente teorema.
Formula di Eulero
Teorema 2.1.5. Per ogni poliedro convesso il numero di vertici V , spigoli S e facce F sono in relazione secondo la seguente formula:
V S + F = 2.
Vedremo pi`u avanti nel corso una semplice dimostrazione di questa formula.
Dodecaedro
Per esempio possiamo considerare un dodecaedro e osservando che esso ha 20 vertici, 30 lati e 12 facce si ha
20 30 + 12 = 2.
Sempre prima della definizione di von Dyck la topologia ha avuto un grande sviluppo dovuto a B.
Riemann (1826–1866). Riemann ha introdotto il concetto di connessioni per quelle che oggi portano il suo nome: superfici di Riemann. In questo corso vedremo una prima classificazione, topologica di questi oggetti.
Bernhard Riemann 1826--1866
Infine va ricordato che la nascita della topologia moderna si deve a Henri Poincar´e (1854–1912) che introdusse per esempio il gruppo fondamentale, i rivestimenti universali e l’omologia singolare. Inoltre egli formul`o nel 1904 la famosa congettura che porta il suo nome.
Concettura di Poincar´e
Una variet`a topologica di dimensione tre con gruppo fondamentale banale `e necessariamente omeo- morfa alla sfera S3.
La congettura `e stata dimostrata definitivamente nel 2003 da Grigori Pereleman. Durante il corso impareremo tutte le nozioni che ci permettranno di capire (non dimostrare!) la congettura.
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Henri Poincare’ (1854--1912)
