2. Un tetraedro ed un ottaedro regolari hanno gli spigoli della stessa lunghezza l. Si dimostri che il volume dell’ottaedro è il quadruplo di quello del tetraedro

ESERCIZI DI MATEMATICA

1. E’ dato un triangolo rettangolo isoscele ABC in cui AC = AB = 6a. Disegna la retta r perpendicolare in A al piano del triangolo e indica con P il punto di r tale che AP = 8a. Calcola l’angolo che ciascuno dei segmenti PC e PB forma con il piano di base.

2. Un tetraedro ed un ottaedro regolari hanno gli spigoli della stessa lunghezza l. Si dimostri che il volume dell’ottaedro è il quadruplo di quello del tetraedro

3. Considera su un piano α un parallelogramma ABCD. Sia E un punto non appartenente al piano α. Indica con M il punto medio di BE, con N il punto medio di EC, con P un punto interno al parallelogramma e con Q un punto interno al lato AB.

(a) qual è la posizione reciproca delle rette QN e AB?

(b) qual è la posizione reciproca delle rette MP e AB?

(c) qual è la posizione reciproca delle rette MN e AD?

(d) qual è la posizione reciproca delle rette EQ e MN?

4. Il rettangolo ABCD è tale che la retta che congiunge i punti medi dei suoi lati più lunghi, AB e CD, lo divide in due rettangoli simili a quello dato. Tali lati hanno lunghezza assegnata a.

(a) determinare la lunghezza dei lati minori del rettangolo.

(b) sulla retta condotta perpendicolarmente al piano del rettangolo nel punto medio del lato AD prendere un punto V in modo che il piano dei punti V, B,C formi col piano del rettangolo dato un angolo di coseno

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. Calcolare il volume della piramide di vertice V e base ABCD.

(c) condotto il piano π parallelo al piano della faccia VAD della piramide, ad una distanza x da questo, in modo però che a sechi la piramide stessa, esprimere in funzione di x l’area del poligono sezione.

(d) calcolare infine i volumi delle due parti in cui il piano π divide la piramide nel caso in cui x =

.

5. Una semiretta r interseca in O un piano α e forma un angolo di 45° con esso. Tracciare la semiretta s, proiezione di r su α, e una semiretta t di origine O che forma un angolo di 45° con s. Indicato con P il punto di r tale che OP = 2 √

2a , siano: H la

proiezione di P su α, A il punto di t tale che OA = OH . Calcolare l’ampiezza dell’angolo P b OA .