Oscillatore a ponte di Wien

0.0. 7.3 1

Oscillatore a ponte di Wien

Esempio. Si consideri il seguente oscillatore a ponte di Wien:

Il guadagno dell’amplificatore operazionale `e:

β = 1 + R² R¹

L’elemento non lineare (N.L.) `e una saturazione con tratto centrale a pendenza β:

- 6

X¹ Vp

VM

V⁰

−VM

β X¹ = R¹VM

R¹ + R²

• Rappresentazione schematica del sistema retroazionato:

Vp -

N.L.

β ^{- 6-}

VM

VM

V⁰-

−G(s) ^-



• La funzione di trasferimento G(s) si determina facilmente utilizzando la regola del partitore di tensione:

Z¹ = R + 1

C s Z² = R

1 + R C s, → Vp

V⁰ = Z² Z¹ + Z² Da questa relazione si ottiene che:

G(s) = −Vp

V⁰ = −Z²

Z¹ + Z² = −R C s

R²C²s² + 3 R C s + 1

7.3. FUNZIONE DESCRITTIVA: ESEMPI 7.3 2

• Diagrammi di Nyquist e di Bode della funzione G(s) (R = 1 Ω, C = 0.001 F):

−0.35 −0.3 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

120 150 180 220 270 390 330

470 560 680 820 1000 1200

1500 1800

2200 2700

Diagramma di Nyquist

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

−60

−40

−20 0 20

rad/sec

db

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

−300

−250

−200

−150

−100

−50 0

rad/sec

gradi

Ampiezza

Fase

• L’equazione caratteristica 1 + K G(s) = 0 del sistema retroazionato quando la non linarit`a N.L. viene sostituita da un semplice guadagno K `e la seguente:

R²C²s² + R C (3 − K)s + 1 = 0 →

2 R²C² 1

1 (3 − K)R C

0 1

• Dalla tabella di Routh si ricava che il sistema `e stabile per K < K^∗ = 3. Quindi nel sistema si innesca un’oscillazione solo quando:

β > K^∗ cio`e quando 1 + R²

R¹ > 3 → R² > 2 R¹

• La pulsazione di oscillazione si ricava dall’equazione ausiliaria della tabella di Routh:

R²C²s² + 1 = 0 → ω^∗ = 1

R C

• Il diagramma interseca il semiasse reale negativo in corrispondenza del punto σ^∗ =

−1/K^∗ = −1/3 alla pulsazione ω^∗ = 1/(R C).

Nel caso R = 1 Ω, C = 0.001 F e β = 3.5 si ottengono i seguenti valori:

ω^∗ = 1000, T = 2π

ω^∗ = 6.28 ms L’ampiezza dell’oscillazione

X^∗ = 4.56

si determina dall’andamento della fun- zione descrittiva ´e riportata a fianco.

0 5 10 15 20 25 30 35

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Funzione descrittiva F (X)

7.3. FUNZIONE DESCRITTIVA: ESEMPI 7.3 3

• Simulazione del seguente schema a blocchi (oscillatore wien mdl.mdl):

VR1

IR1 VC

VP

IR2

V0 IC2 To WS5

VP To WS2

t To WS1

Saturation1 s

1 Int3 s

1 Int2

beta

G7

1/C G5 1/R

G4 1/C G3 1/R

G2

Clock

• Parametri di simulazione (oscillatore wien.m):

R=1; % Resistenza

C=0.001; % Capacita’

R1=1000; R2=2500;

beta=1+R2/R1; % Guadagno dell’amplificatore

VM=12; % Tensione massima

V0=0.1; % Condizione iniziale

Q0=C*V0; % Condizione iniziale

wstar=1/(R*C); % Pulsazione dell’oscillazione Tfin=10*2*pi/wstar; % Durata della simulazione

sim(’oscillatore_Wien_mdl’,Tfin) % Simulazione dello schema a blocchi

figure(1) % Apertura della figura nr. 1

plot(t,[VP,V0]) % Graficazione delle tensioni Vp e V3 grid xlabel(’Tempo (s)’) ylabel(’Tensioni VP e V0 (V)’)

title(’Oscillatore a ponte di Wien: VP in blu; V0 in verde’)

• Risultati della simulazione (variabili Vp e V⁰):

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

−15

−10

−5 0 5 10 15

Tempo (s)

Tensioni VP e V0 (V)

Oscillatore a ponte di Wien: VP in blu; V0 in verde

delle