Nicola GigliettoA.A. 2013/14 1 5.1-MOTI RELATIVI
Parte I
5.1-Moti relativi-cap5
1 5.1-Moti relativi
Teorema delle velocit`a relative
Riprendiamo l’impostazione tracciata nel paragrafo 2.6 (moti relativi 2-D) e consideriamo un sistema fisso O ed uno mobile O’
P P
O O
O’
rP
rO’
r’P
abbiamo che ~OP = ~rp= ~OO′+ ~O′P = ~ro′+ ~r ′pDimostriamo il teorema che afferma che per le velocit`a si ha:
~
v = ~v ′+ ~vO′+ ~ω× ~r ′ (1) Con ω la velocit`a angolare con cui ruotano gli assi di O’ rispetto ad O. Il termine che definisce la differenza di velocit`a tra i due sistemi `e detta velocit`a di trascinamentoed `ev~t = ~v− ~v ′ = ~vO′+ ~ω× ~r ′
Due casi sono fondamentali (gli altri si possono pensare una sovrapposi- zione di questi due:
• il sistema mobile non ruota rispetto a quello fisso ω = 0 In questo caso si parla di moto di trascinamentotraslatorio e ~vt= ~vO′
• il sistema mobile ruota ma non trasla vO′ = 0 In questo caso si parla di moto di trascinamentorotatorioe avremo che ~vt= ~ω× ~r′
Dimostrazione per la rotazione tra i due assi
Nicola GigliettoA.A. 2013/14 2 ACCELERAZIONI RELATIVE
Dimostrazione per la rotazione tra i due assi
Consideriamo il sistema O fisso O’ in rotazione rispetto ad O con velocit`a angolare ω Possiamo indicare i raggi vettori ~r= xˆi+ yˆj+ zˆk e analogamente r~′ = x′iˆ′+ y′jˆ′+ z′kˆ′ con ~r= ~r′ dato che l’origine dei due sistemi e’ comune e quindi il vettore ~OP = ~r= ~r′ Ricordiamo che abbiamo detto che nei moti circolari si ha ~v= ~ω×~r e ~v = d~dtr applichiamo queste due formule ad ognuno dei versori degli assi ottenendo dˆdti′ = ω × ~i′ ecc. Deriviamo i vettori r ed r’:
v = d~dtr e
d~r′
dt = d(x′ˆi′+ y′jˆ′+ z′kˆ′) dt
= dx′
dt iˆ′+ x′dˆi′
dt + . . . = dx′
dt iˆ′+ x′~ω× i′+ . . .
= dx′
dt iˆ′+dy′
dt jˆ′+dz′
dt kˆ′+ ω × (x′iˆ′+ y′jˆ′+ z′kˆ′)
= dx′
dt ˆi′+dy′
dtjˆ′+dz′
dt kˆ′+ ω × ~r′
= ~v′+ ~ω× ~r
Avendo usato la condizione ~r= ~r′ in quanto i due vettori sono identici ma sono gli assi a cambiare
Teorema delle accelerazione relative
2 accelerazioni relative
Teorema delle accelerazioni relative
se ~a `e l’accelerazione del punto P rispetto al sistema fisso, ~a′ quella del punto rispetto al sistema mobile O’, e ~aO′ l’accelerazione del sistema mobile rispetto ad O si ha che:
~a= ~a′+ ~aO′+ ~ω× (~ω× ~r′) + 2~ω× ~v′ (2) Quindi in generale le accelerazioni tra i due sistemi sono diverse e differiscono
~a= ~a′+ ~at+ ~ac con il termine ~at= ~aO′+ ~ω× (~ω× ~r′) detta accelerazione di trascinamento e l’ultimo termine della (2) ~ac = 2~ω × ~v′ viene detta accelerazione di Coriolis e dipende dal moto del punto relativamente al sistema mobile
Nicola GigliettoA.A. 2013/14 2 ACCELERAZIONI RELATIVE
Dim.acc.relative
Dim.acc.relative
La dimostrazione completa la trovate a parte. Comunque partendo da
~v = ~v′ + ~ω × ~r e derivando rispetto al tempo e tenendo conto dei pas- saggi precedenti relativamente alle derivate dei versori si ottiene in pochi passaggi la dimostrazione nel caso di moto relativo rotatorio.
5.2 Sistemi riferimento inerziali
5.2 Sistemi riferimento inerziali
I sistemi di riferimento inerziali sono quelli per i quali vale rigorosamente la legge d’inerzia. Se consideriamo un altro sistema di riferimento che si muove rispetto ad uno inerziale con moto rettilineo uniforme si ha ~ω = 0
~ao′ = 0 e otterremo ~a= ~a′ per cui definito un sistema inerziale, tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto al primo sono anch’essi inerziali
relativit`a galileiana
In conseguenza di questo risultato la legge di newton si esprime nella stessa maniera in tutti i sistemi di riferimento inerziali, che comporta che non `e possibile a seguito di misure di meccanica, stabilire se un sistema `e in moto o in quiete (non ha senso cio`e il concetto di moto assoluto)
Viceversa se la descrizione del moto `e fatta in sistemi non inerziali avre- mo che la forza vera F~ = m~a 6= m~a′ anzi se vogliamo specificare co- me appare la legge della dinamica nel sistema mobile rispetto alla legge nel sistema inerziale si ottiene moltiplicando per m le precedenti equazioni:
m ~a′= m~a− m~at− m~ac=F~ − m~at− m~ac Che implica che per mante- nere valida la legge della dinamica dobbiamo aggiungere delle forze ap- parenti che sono proporzionali alla massa (per cui vengono anche dette forze inerziali), queste non sono dovute ad interazioni fondamen- tali ma all’uso di un sistema non inerziale, e NON esistono o NON si devono considerare nei sistemi inerziali
5.3 Trascinamento traslatorio rettilineo
Nicola GigliettoA.A. 2013/14 3 MOTO RISPETTO ALLA TERRA
5.3 Trascinamento traslatorio rettilineo
Supponiamo di avere la situazione pi`u semplice O’ in moto rettilineo rispetto ad O per esempio sull’asse x. Se il moto `e rettilineo uniforme allora i due sistemi sono entrambi inerziali e si avr`a ~a = ~a′ ~v = ~v′ + ~vO′ ed infine
~r = ~r′ + ~vO′t Queste relazioni costituiscono le cosidette trasformazioni galileiane Nel caso in cui O’ sia in moto unif. accelerato si avr`a : ~a =
~a′+ ~aO′ ⇒ ~a′ = ~a− ~aO′ e ~v′ = ~v− ~vO′ ed infine ~r′ = ~r− ~OO′che proiettate sugli assi cartesiani (nel caso in cui ao′ `e diretta lungo x) diventano: xo′ = vint + 12att2, vo′ = vin+ att
x′ = x − vint + 1
2att2 y′ = y z′ = z vx′ = vx− vin− att vy′ = vy vz′ = vz
a′x= ax− at a′y = ay a′z = az
5.4 Moto di trascinamento rotatorio uniforme
5.4 Moto di trascinamento rotatorio uniforme
Nel caso in cui O’ ruoti rispetto ad O con moto circolare uniforme allora abbiamo ~vO′ = 0 e ~aO′ = 0 per cui si ottiene:
~v= ~v′+ ~ω× ~r
~
a= ~a′+ ~ω× (~ω× ~r) + 2~ω× ~v′
Ma abbiamo anche visto che m ~a′ = m~a− m~at− m~ac = ~F − m~at− m~ac
per cui confrontando possiamo riscrivere come m ~a′ = ~F + ~Fcentrif +FCor~ conFcentrif~ = −m~ω× (~ω× ~r) e ~FCor = −2m~ω× ~v′
3 Moto rispetto alla Terra
Moto rispetto alla Terra
Un sistema di riferimento che si possa considerare inerziale `e con origine nel centro di massa del sistema solare e con assi orientati verso le stelle lontane che si possono ragionevolmente ritenere fisse. Di norma per`o tutte le descrizione dei moti vengono date rispetto la Terra, che non `e un riferimento
Nicola GigliettoA.A. 2013/14 3 MOTO RISPETTO ALLA TERRA
inerziale. Vediamo cosa comporta la scelta di un sistema solidale alla Terra nella descrizione dei moti. Consideriamo la Terra che ruota intorno al proprio asse con T = 24h = 86400s da cui ω = 2πT = 7.29 · 10−5rad/s.
Trascuriamo il moto della Terra intorno al Sole che ha una ω pi`u piccola.
L’accelerazione di un corpo vicino la Terra utilizzando le trasformazioni relative diventa ~g0 = ~g′+ ~ω× (~ω× ~r) + 2~ω× ~v′ con ~g0 l’accelerazione di gravit`a nel sistema inerziale Per cui l’accelerazione riscontrata sulla Terra
`e ~g′ = ~g0− ~ω× (~ω× ~r) − 2~ω× ~v′ il cui effetto `e una diminuzione di g con la latitudine dovuto al termine centrifugo e uno scostamento dalla verticale (dell’ordine di 0.1◦)
Vediamo in dettaglio:
N
θL
centrif F
y
x
nel caso v′ = 0 vo- gliamo determinare la direzione di g’ rispetto alla verticale e facciamo il prodotto vettoriale dell’accelerazione centrifuga indicando la latitudine θL l’angolo tra equatore e zenith: ~ω× ~r = ωr cos(θL) ed `e uscente rispetto al piano e di conseguenza ~ω× (~ω× ~r) = ω2RT cos θL= 0.024m/s2 diretta cen- trifuga cioe’ a est della figura (il valore calcolato per θL= 45◦) scomponiamo rispetto ad un sistema di coordinare polari (y radiale x tangenziale):
gx′ = +ω2RTcos θLsin θL gy′ = −g0+ ω2RT cos2θL tan φ = gx′
gy′ = −ω2RTsin θLcos θL g0− ω2RT cos2θL ⇒
φ = 0.099◦ Problema 5.7
Un corpo puntiforme di massa mA= 2kg `e posto su un carrello che scorre su un piano orizzontale. Inizialmente il corpo `e fermo ed `e ad una distanza di d=1 m dal bordo del carrello, la cui massa `e mB = 8 kg. Tra carrello e corpo il coefficiente di attrito dinamico `e µd= 0.2. Il carrello viene mosso da una forza F=30 N e anche il corpo A inizia a scivolare sul carrello. Quanto tempo occorre ad A per raggiungere il bordo?
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A B F
Fatt
R
Il diagramma delle forze lo ricostruiamo pensando a come avviene il moto: l’attrito tra A e B si tramette in B e lo valutiamo col principio di azione e reazione Scriveremo allora:
B : −F + R = MBaB A : −µdN = −µdmAg = mAaA
e |R| = µdN
da cui si ottiene che −F +µdmAg = mBaB ⇒ aB= −F −µmdBmAg = −3.26m/s2 e aA= −µdg = −1.96m/s2
Per i moti relativi si at = a − aO = aA− aB = −1.96 − (−3.26) = +1.3m/s2 Dalla cinematica abbiamo che d = 12at2 ⇒ t2= 2da ⇒ t = 1.24s Problema 5.8 Mazzoldi
Un pendolo semplice di lunghezza l=0.4 m `e appeso ad un supporto che avanza con accelerazione a=5 m/s2(orizzontale). Calcolare l’angolo di equi- librio rispetto la verticale e il periodo delle piccole oscillazioni rispetto la posizione di equilibrio.
Le forze agenti sono T della fune, P e nel sistema modile la forze appa- rente Fa orizzontale.
x : −Fap+ T cos θ = 0 y : T sin θ − Mg = 0 e Fap = M a ⇒
M\a = T cos θ = M\gcossinθθ ⇒ cotgθ = a
g ⇒ θ = 27◦
Periodo di oscillazioni: nel sistema in moto appare come una diversa ac- celerazione di gravit`a : ~g′ = ~g+ ~a il modulo |~g′| = pg2+ a2 perch`e sono tra loro perpendicolari il cui valore `e a = √
9.82+ 52 = 11m/s2 e poich`e T = 2πq
L
g′ si ottiene T=1.25 s