1 5.1-Moti relativi

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 1 5.1-MOTI RELATIVI

Parte I

5.1-Moti relativi-cap5

1 5.1-Moti relativi

Teorema delle velocit`a relative

Riprendiamo l’impostazione tracciata nel paragrafo 2.6 (moti relativi 2-D) e consideriamo un sistema fisso O ed uno mobile O’ per il quale anche gli assi possono muoversi

P P

O O

O’

r

P

r

O’

r’

P

abbiamo che ~OP = ~rp= ~OO^′+ ~O^′P = ~r_o′+ ~r ^′_pDimostriamo il teorema che afferma che per le velocit`a si ha:

~

v = ~v ^′+ ~v_O′+ ~ω× ~r ^′ (1) Con ω la velocità angolare con cui ruotano gli assi di O’ rispetto ad O. Il termine che definisce la differenza di velocità tra i due sistemi è detta velocità di trascinamentoed èv~t = ~v− ~v ^′ = ~v_O^′+ ~ω× ~r ^′

Due casi sono fondamentali (gli altri si possono pensare una sovrapposi- zione di questi due:

• il sistema mobile non ruota rispetto a quello fisso ω = 0 In questo caso si parla di moto di trascinamentotraslatorio e ~v_t= ~v_O′

• il sistema mobile ruota ma non trasla v^O^′ = 0 In questo caso si parla di moto di trascinamentorotatorioe avremo che ~v_t= ~ω× ~r^′

Teorema delle accelerazione relative

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2 accelerazioni relative

Teorema delle accelerazioni relative

se ~a `e l’accelerazione del punto P rispetto al sistema fisso, ~a^′ quella del punto rispetto al sistema mobile O’, e ~a_O′ l’accelerazione del sistema mobile rispetto ad O si ha che:

~a= ~a^′+ ~a_O′+ ~ω× (~ω× ~r^′) + 2~ω× ~v^′ (2) Quindi in generale le accelerazioni tra i due sistemi sono diverse e differiscono

~a= ~a^′+ ~a_t+ ~a_c con il termine ~a_t= ~a_O′+ ~ω× (~ω× ~r^′) detta accelerazione di trascinamento e l’ultimo termine della (2) ~a_c = 2~ω × ~v^′ viene detta accelerazione di Coriolis e dipende dal moto del punto relativamente al sistema mobile

3 5.2 Sistemi riferimento inerziali

I sistemi di riferimento inerziali sono quelli per i quali vale rigorosamente la legge d’inerzia. Se consideriamo un altro sistema di riferimento che si muove rispetto ad uno inerziale con moto rettilineo uniforme si ha ~ω = 0

~a_o′ = 0 e otterremo ~a= ~a^′ per cui definito un sistema inerziale, tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto al primo sono anch’essi inerziali

relativit`a galileiana

In conseguenza di questo risultato la legge di newton si esprime nella stessa maniera in tutti i sistemi di riferimento inerziali, che comporta che non è possibile a seguito di misure di meccanica, stabilire se un sistema è in moto o in quiete (non ha senso cioè il concetto di moto assoluto)

Viceversa se la descrizione del moto `e fatta in sistemi non inerziali avremo che la forza vera F~ = m~a 6= m~a^′ anzi se vogliamo specificare come appare la legge della dinamica nel sistema mobile rispetto alla legge nel sistema inerziale si ottiene moltiplicando per m le precedenti equazioni:

m ~a^′= m~a− m~a^t− m~a^c=F~ − m~a^t− m~a^c Che implica che per mante- nere valida la legge della dinamica dobbiamo aggiungere delle forze ap- parenti che sono proporzionali alla massa (per cui vengono anche dette forze inerziali), queste non sono dovute ad interazioni fondamentali ma all’uso di un sistema non inerziale, e NON esistono o NON si devono considerare nei sistemi inerziali

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 6 MOTO RISPETTO ALLA TERRA (CENNI)

4 5.3 Trascinamento traslatorio rettilineo

Supponiamo di avere la situazione più semplice O’ in moto rettilineo rispetto ad O per esempio sull’asse x. Se il moto è rettilineo uniforme allora i due sistemi sono entrambi inerziali e si avrà ~a = ~a^′ ~v = ~v^′ + ~v_O′ ed infine

~r = ~r^′ + ~v_O′t Queste relazioni costituiscono le cosidette trasformazioni galileiane Nel caso in cui O’ sia in moto unif. accelerato si avr`a : ~a =

~a^′+ ~a_O′⇒ ~a^′= ~a− ~a_O′ e ~v^′ = ~v− ~v_O′

5 5.4 Moto di trascinamento rotatorio uniforme (cenni)

Nel caso in cui O’ ruoti rispetto ad O con moto circolare uniforme allora abbiamo ~v_O′ = 0 e ~a_O′ = 0 per cui si ottiene:

~v= ~v^′+ ~ω× ~r

~

a= ~a^′+ ~ω× (~ω× ~r) + 2~ω× ~v^′

Ma abbiamo anche visto che m ~a^′ = m~a− m~a^t− m~a^c = ~F − m~a^t− m~a^c per cui confrontando possiamo riscrivere come m ~a^′ = ~F + ~F_centrif +F_Cor~ conF_centrif~ = −m~ω× (~ω× ~r) e ~F_Cor = −2m~ω× ~v^′

6 Moto rispetto alla Terra (cenni)

Moto rispetto alla Terra

Un sistema di riferimento che si possa considerare inerziale è con origine nel centro di massa del sistema solare e con assi orientati verso le stelle lontane che si possono ragionevolmente ritenere fisse. Di norma però tutte le descrizione dei moti vengono date rispetto la Terra, che non è un riferimento inerziale. Vediamo cosa comporta la scelta di un sistema solidale alla Terra nella descrizione dei moti. Consideriamo la Terra che ruota intorno al proprio asse con T = 24h = 86400s da cui ω = ^2π_T = 7.29 · 10⁻⁵rad/s.

Trascuriamo il moto della Terra intorno al Sole che ha una ω pi`u piccola.

L’accelerazione di un corpo vicino la Terra utilizzando le trasformazioni relative diventa ~g₀ = ~g^′+ ~ω× (~ω× ~r) + 2~ω× ~v^′ con ~g₀ l’accelerazione di gravit`a nel sistema inerziale Per cui l’accelerazione riscontrata sulla Terra

`e ~g^′ = ~g₀− ~ω× (~ω× ~r) − 2~ω× ~v^′ il cui effetto `e una diminuzione di g con la latitudine dovuto al termine centrifugo e uno scostamento dalla verticale (dell’ordine di 0.1^◦)

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Vediamo in dettaglio:

N

θL

centrif F

y

x

nel caso v^′ = 0 vogliamo determinare la direzione di g’ rispetto alla verticale e facciamo il prodotto vettoriale dell’accelerazione centrifuga indicando la latitudine θL

l’angolo tra equatore e zenith: ~ω× ~r = ωr cos(θ^L) ed `e uscente rispetto al piano e di conseguenza ~ω× (~ω× ~r) = ω²RT cos θL= 0.024m/s² diretta centrifuga cioe’ a est della figura (il valore calcolato per θ_L= 45^◦) scomponiamo rispetto ad un sistema di coordinare polari (y radiale x tangenziale):

g_x^′ = +ω²R_Tcos θ_Lsin θ_L g_y^′ = −g⁰+ ω²RT cos²θL

tan φ = g_x^′

g_y^′ = −ω²RTsin θLcos θL

g0− ω²R_T cos²θ_L ⇒ φ = 0.099^◦ Esempi accelerazione Coriolis

L’effetto dell’accelerazione di Coriolis~a_c = −~ω∧~v^′`e evidente nei moti in at- mosfera ad esempio nell’emisfero Nord la situazione `e la seguente (l’opposto avviene nell’emisfero Sud):

L’effetto risultante `e un moto rotatorio antiorario per un ciclone.

Problema 5.7

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 6 MOTO RISPETTO ALLA TERRA (CENNI)

Un corpo puntiforme di massa m_A = 2kg è posto su un carrello che scor- re su un piano orizzontale. Inizialmente il corpo è fermo ed è ad una di- stanza di d=1 m dal bordo del carrello, la cui massa è mB = 8 kg. Tra carrello e corpo il coefficiente di attrito dinamico è µ_d = 0.2. Il carrello viene mosso da una forza F=30 N e anche il corpo A inizia a scivo- lare sul carrello. Quanto tempo occorre ad A per raggiungere il bordo?

A B F

Fatt

R

Il diagramma delle forze lo ricostruiamo pensando a come avviene il moto: l’attrito tra A e B si tramette in B e lo valutiamo col principio di azione e reazione Scriveremo allora:

B : −F + R = M^BaB

A : −µ^dN = −µ^dmAg = mAaA

e |R| = µdN

da cui si ottiene che −F +µdm_Ag = m_Ba_B⇒ aB= −^{F −µ}_m^dB^m^A^g = −3.26m/s² e aA= −µ^dg = −1.96m/s²

Per i moti relativi si a_t = a − aO = a_A− aB = −1.96 − (−3.26) = +1.3m/s² Dalla cinematica abbiamo che d = ¹₂at² ⇒ t²= ^2d_a ⇒ t = 1.24s Problema 5.8 Mazzoldi

Un pendolo semplice di lunghezza l=0.4 m `e appeso ad un supporto che avanza con accelerazione a=5 m/s²(orizzontale). Calcolare l’angolo di equilibrio rispetto la verticale e il periodo delle piccole oscillazioni rispetto la posizione di equilibrio.

Le forze agenti sono T della fune, P e nel sistema modile la forze appa- rente Fa orizzontale.

x : −F^ap+ T cos θ = 0 y : T sin θ − Mg = 0 e Fap = M a ⇒

M\a = T cos θ = M\g^cossinθ^θ ⇒ cotgθ = a

g ⇒ θ = 27^◦

Periodo di oscillazioni: nel sistema in moto appare come una diversa accelerazione di gravità : ~g^′ = ~g+ ~a il modulo |~g^′| = pg²+ a² perchè sono tra loro perpendicolari il cui valore è a = √

9.8²+ 5² = 11m/s² e poich`e T = 2πq

L

g^′ si ottiene T=1.25 s