Problema di Programmazione lineare con 3 variabili assegnato alla Maturità tecnico-commerciale nella sessione ordinaria del 1981
Una piccola impresa a livello artigianale deve predisporre la produzione settimanale di 30 unità di prodotto che si differenziano per qualità nelle tre categorie seguenti: tipo economico, tipo standard, tipo lusso.
Le quantità e qualità di materia prima impiegata nella produzione sono le stesse per i tre tipi, mentre è diverso il ciclo produttivo, in relazione a speciali tecniche e procedimenti di rifinitura. In particolare si conosce che lo stampaggio ed il montaggio del prodotto sono eseguiti con due tipi di macchinari, disponibili e classificabili rispettivamente di tipo A e tipo B. I tempi di produzione (in ore) del prodotto sono indicati, per ciascuna fase dalla seguente tabella.
economico standard lusso
Stampaggio (macchina A} 2 3,5 0,5
Montaggio (macchina B) 2 4 4
Rifinitura a mano 0 1 3
Sapendo che:
- i giorni lavorativi sono sei settimanali,
- la dotazione di macchine è di due del tipo A e tre del tipo B, per sei ore al giorno,
- un operaio è disponibile per sei ore al giorno ed un secondo operaio è disponibile per quattro ore al giorno,
il candidato calcoli come dovrà essere ripartita la produzione settimanale del prodotto fra le tre categorie sopra menzionate, allo scopo di consentire la realizzazione del massimo utile, tenendo presente che il prezzo unitario di vendita è rispettivamente di 10000£, 25000£, 30000£.
Svolgimento Modello matematico
1 :
x numero prodotti tipo economico – discreta
2 :
x numero prodotti tipo standard – discreta
3 :
x numero prodotti tipo lusso – discreta Obiettivo:
(x1,x2,x3) 10.000x1 25.000x2 30.000x3
U = + +
Vincoli:
Di segno: x1,x2,x3 ≥0
Tecnici:
= + +
≤ +
≤ + +
≤ +
+
=
= + +
⋅ +
⋅
≤ +
⋅
⋅
≤ + +
⋅
⋅
≤ +
+
30 60 3
108 4
4 2
72 5
, 0 5 , 3 2
30 4 6 6 6 3
3 6 6 4 4 2
2 6 6 5 , 0 5 , 3 2
3 2 1
3 2
3 2 1
3 2
1
3 2 1
3 2
3 2 1
3 2
1
x x x
x x
x x x
x x
x
x x x
x x
x x x
x x
x
Svolgimento
Dal vincolo di uguaglianza si elimina la variabile x1:
3 2
1 30 x x
x = − − ; il modello diventa:
(x2,x3)=15.000x2 +20.000x3 +300.000 U
s.a
≥
−
−
≤ +
≤ +
≤
−
=
≥
−
−
≤ +
≤ +
≤
−
0 30
60 3
24 8
0 30
60 3
48 2
2
12 5
, 1 5 , 1
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Nel grafico: x2=x; x3=y
Soluzione:
x1=6 x2=6 x3=18
Cmin=750.000
