Lezione 6 30/10/09
I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
Un sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x1, . . . , xn`e un insieme di m equazioni del tipo:
a11x1 +a12x2 + . . . +a1nxn = b1 a21x1 +a22x2 + . . . +a2nxn = b2 . . . . am1x1 +am2x2 + . . . +amnxn = bm
I numeri reali a11, a12, . . . , amnsono detti coefficienti, mentre b1, . . . , bmsono detti termini noti. Un sistema in cui i termini noti siano tutti nulli si dice sistema omogeneo; un sistema in cui compaia almeno un termine noto bj 6= 0 si dice sistema non omogeneo. Una soluzione del sistema `e una n-pla di numeri reali x1, . . . , xn tale che sostituita ad x1, . . . , xn tutte le equazioni del sistema risultino contemporaneamente soddisfatte. Un sistema si dice compatibile se ammette almeno una soluzione, incompatibile altrimenti. Ad ogni sistema lineare di m equazioni in n incognite associamo le matrici
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . am1 am2 . . . amn
, A0=
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
. . . . am1 am2 . . . amn bm
.
La matrice A `e detta matrice dei coefficienti o matrice incompleta, la matrice A0 `e detta matrice dei coeffcienti e termini noti o matrice completa. Il rango della matrice A di dice rango del sistema.
Un sistema si dice in forma normale se il suo rango `e uguale al numero m delle equazioni, si dice non normale se il suo rango `e minore del numero m delle equazioni.Un sistema pu`o essere scritto in forma matriciale compatta come AX = B, dove X `e il vettore colonna delle incognite e B il vettore colonna dei termini noti. Sistemi che ammettono le stesse soluzioni si dicono equivalenti.
Le operazioni elementari sulle equazioni del sistema danno luogo sistemi tra loro equivalenti. Il teorema di Rouch´e-Capelli dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinch´e un sistema di m equazioni lineari in n incognite ammetta soluzioni `e che la matrice incompleta e la matrice completa abbiano lo stesso rango. I sistemi normali sono sempre compatibili. Il teorema di Cramer fornisce esplicitamente l’unica soluzione di un sistema di n equazioni in n incognite in cui il determinante della matrice incompleta sia diverso da zero. Negli altri casi lo studio dei sistemi non normali compatibili viene sempre ricondotto a quello dei sistemi in forma normale. Un altra tecnica di risoluzione di un sistema lineare `e data dal metodo di eliminazione di Gauss. Possiamo riassumere i principali risultati nel modo seguente. Fissato un sistema di m equazioni lineari in n incognite e detti p e p0 i ranghi rispettivamente della matrice incompleta e della matrice completa del sistema, allora:
• Se p 6= p0 il sistema non `e compatibile,
• Se p = p0, il sistema `e compatibile ed ammette ∞n−psoluzioni (con la convenzione ∞0= 1).
I sistemi lineari omogenei sono sempre compatibili in quanto ammettono sempre almeno la soluzione banale x1= · · · = xn= 0. Le soluzioni diverse da quella banale di un sistema lineare omogeneo si
chiamano autosoluzioni. Affinch`e un sistema lineare omogeneo ammetta autosoluzioni `e necessario e sufficiente che il rango del sistema sia minore del numero delle incognite. Inoltre l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite `e un sottospazio vettoriale di Rn. La dimensione di tale sottospazio `e n − p, dove p `e il rango della matrice del sistema.
Esercizio 1. Stabilire se il sistema
2x −y = 3
−x +4y = 1 17x +2y = 33
sia o meno compatibile e eventualmente determinare le sue soluzioni.
Soluzione dell’esercizio 1. Le matrici associate al sistema sono:
A =
2 −1
−1 4 17 2
, A0 =
2 −1 3
−1 4 1
17 2 33
.
Per il teorema di Rouch´e-Capelli il sistema `e compatibile se e soltanto se `e soddisfatta la condizione rg(A) = rg(A0). Calcoliamo il determinante della matrice completa:
det A0=
2 −1 3
−1 4 1
17 2 33
= 2
4 1 2 33
+
−1 1 17 33
+ 3
−1 4 17 2
= 260 − 50 − 210 = 0.
Abbiamo quindi rg A0< 3. Osserviamo che il minore di A, A12,12=
2 −1
−1 4
= 7 6= 0.
La condizione rg(A) = rg(A0) = 2 `e soddisfatta, il sistema `e quindi compatibile e ammette una sola soluzione. Il sistema assegnato `e equivalente al sistema:
2x −y = 3
−x +4y = 1.
Possiamo trovare l’unica soluzione del sistema tramite il metodo di Cramer,
x =
3 −1
1 4
7 =13
7 , y =
2 3
−1 1
7 = 5
7. L’unica soluzione del sistema `e la coppia 137,57.
Esercizio 2. Sia assegnato il sistema lineare omogeneo:
x −y +z = 0
2x −3y +z = 0
x −2y = 0
.
Stabilire se il sistema ammetta o meno autosoluzioni e nel caso determinarle.
Soluzione dell’esercizio 2. Il sistema `e omogeno quindi sicuramente compatibile. La matrice associata al sistema `e:
A =
1 −1 1 2 −3 1 1 −2 0
.
Se il rango della matrice A `e 3 allora il sistema ammette un’unica soluzione, necessariamente quella banale. Avremo rg(A) = 3 se e soltanto se det A 6= 0. Dato che:
det A =
1 −1 1 2 −3 1 1 −2 0
=
−1 1
−3 1
+ 2
1 1 2 1
= 2 − 2 = 0.
Quindi rg(A) < 3 ed il sistema ammette autosoluzioni. Il minore:
A23,12=
2 −3 1 −2
= −1 6= 0.
Di conseguenza rg(A) = 2, il sistema assegnato ammette ∞3−2 = ∞1 soluzioni. Il sistema di partenza `e equivalente al sistema
2x −3y +z = 0
x −2y = 0 .
Per determinare le ∞1 soluzioni del sistema possiamo moltiplicare per un parametro reale t ∈ R i minore del secondo ordine, estratti a segni alterni, della matrice:
A0 =2 −3 1 1 −2 0
. Otteniamo le soluzioni:
x = t ·
−3 1
−2 0
= 2t, y = −t ·
2 1 1 0
= t, z = t ·
2 −3 1 −2
= −t.
Le ∞1 soluzioni del sistema sono le terne del tipo (2t, t, −t) = t(2, 1, −1), t ∈ R.
Esercizio 3. Sia assegnato il sistema lineare.
x +hz = 1
2hx +y −z = 5h
−4x +y −7z = −1 .
Studiare al variare del parametro reale h la compatibilit`a del sistema. Quando possibile determinare le soluzioni del sistema.
Soluzione dell’esercizio 3. Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono rispettivamente:
Ah=
1 0 h
2h 1 −1
−4 1 −7
, A0h=
1 0 h 1
2h 1 −1 5h
−4 1 −7 −1
.
Se det Ah6= 0 allora rg(Ah) = rg(A0h) = 3 e il sistema ammette una sola soluzione. Il determinante della matrice Ah vale:
det Ah=
1 0 h
2h 1 −1
−4 1 −7
=
1 −1 1 −7
+ h
2h 1
−4 1
= −6 + 2h2+ 4h = 2h2+ 4h − 6 = p(h).
Dato che:
det Ah= 0 ⇐⇒ h2+ 2h − 3 = 0 ⇐⇒ h = −3, 1.
Per h 6= −3, 1, rg(Ah) = 3 = rg(A0h) e il sistema ammette una sola soluzione che possiamo determinare con il metodo di Cramer.
xh =
1 0 h
5h 1 −1 1 1 −7
2h2+4h−6 = 2h5h22+4h−6−h−6,
yh =
1 1 h
2h 5h −1
−4 1 −7
2h2+4h−6 = 22h2h22−21h+5+4h−6 ,
zh =
1 0 1
2h 1 5h
−4 1 1
2h2+4h−6 = 2h−3h+52+4h−6. Per h 6= −3, 1, l’unica soluzione del sistema `e la terna
5h2−h−6
2h2+4h−6,22h2h22−21h+5+4h−6 ,2h−3h+52+4h−6
. Per h = −3 otteniamo il sistema:
x −3z = 1
−6x +y −z = −15
−4x +y −7z = −1 .
Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono rispettivamente:
B = A−3=
1 0 −3
−6 1 −1
−4 1 −7
, B0= A0−3=
1 0 −3 1
−6 1 −1 −15
−4 1 −7 −1
. Il minore:
B012,12=
1 0
−6 1
= 1 6= 0,
da cui segue 2 ≤ rg(B0) ≤ 3. Per determinare il rango di B0 possiamo applicare il teorema degli orlati e, sapendo gi`a che uno dei due orlati `e nullo, cacolare semplicemente:
B0123,124=
1 0 1
−6 1 −15
−4 1 −1
=
1 −15 1 −1
+
−6 1
−4 1
= 14 − 2 = 12 6= 0.
Ne deduciamo che per h = −3 abbiamo rg(B) = 2 6= 3 = rg(B0) e il sistema `e quindi incompatibile.
Per h = 1 otteniamo il sistema:
x +z = 1
2x +y −z = 5
−4x +y −7z = −1 .
Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono rispettivamente:
C = A1=
1 0 1
2 1 −1
−4 1 −7
, C0 = A01=
1 0 1 1
2 1 −1 5
−4 1 −7 −1
.
Il minore:
C012,12=
1 0 2 1
= 1 6= 0,
da cui segue 2 ≤ rg(C0) ≤ 3. Per determinare il rango di C0 possiamo applicare il teorema degli orlati e, sapendo gi`a che uno dei due orlati `e nullo, cacolare semplicemente:
C0123,124=
1 0 1
2 1 5
−4 1 −1
=
1 5
1 −1
+
2 1
−4 1
= −6 + 6 = 0.
Per h = 1 abbiamo quindi rg(C) = 2 = rg(C0); il sistema `e compatibile e ammette ∞1 soluzioni.
Il sistema `e equivalente al sistema:
x +z = 1
2x +y −z = 5 . Posto ad esempio z = t, t ∈ R, il sistema diviene:
x = 1 − t
2x +y = 5 + t .
Utilizzando il metodo di Cramer a questo sistema parametrico abbiamo:
x =
1 − t 0 5 + t 1
= −t + 1, y =
1 1 − t 2 5 + t
= 3t + 3.
Le ∞1 soluzioni del sistema sono le terne del tipo (−t + 1, 3t + 3, t) = (1, 3, 0) + t(−1, 3, 1), t ∈ R.
Esercizio 4. Determinare la dimensione e una base del sottospazio U delle soluzioni del sistema lineare omogeneo:
x1 −x3 +x4 +x5 = 0
x2 +x3 −x4 = 0
2x1 −x2 +3x4 −2x5 = 0 3x1 −2x2 −2x3 +5x4 −x5 = 0
.
Soluzione dell’esercizio 4. La dimensione dello sottospazio U delle soluzioni di un sistema lineare omogeno `e uguale a n − rg(A), dove n `e il numero delle incognite del sistema e A la matrice associata al sistema. La matrice associata al sistema assegnato `e:
A =
1 0 −1 1 1
0 1 1 −1 0
2 −1 0 3 −2
3 −2 −2 5 −1
.
Riduciamo la matrice a scalini tramite le operazioni elementari sulle righe:
A =
1 0 −1 1 1
0 1 1 −1 0
2 −1 0 3 −2
3 −2 −2 5 −1
r3 7−→ r3− 2r1
r4 7−→ r4− 3r1
−→
1 0 −1 1 1
0 1 1 −1 0
0 −1 2 1 −4
0 −2 1 2 −4
r3 7−→ r3+ r2
r4 7−→ r4+ 2r2
−→
1 0 −1 1 1
0 1 1 −1 0
0 0 3 0 −4
0 0 3 0 −4
r4 7−→ r4− r3
−→
1 0 −1 1 1
0 1 1 −1 0
0 0 3 0 −4
0 0 0 0 0
= A0.
Abbiamo quindi rg(A) = rg(A0) = 3 e il sistema ammette ∞5−3 = ∞2. Il sottospazio U `e quindi un sottospazio di dimensione 2 di R5. Il sistema assegnto `e equivalente al sistema:
x1 −x3 +x4 +x5 = 0
x2 +x3 −x4 = 0
3x3 −4x5 = 0
.
Posto x5= 3h e x4= k otteniamo come soluzioni del sistema:
(hk, −4h + k, 4h, k, 3h) = h · (1, −4, 4, 0, 3) + k · (−1, 1, 0, 1, 0), h, k ∈ R.
Una base per il sottospazio U delle soluzioni del sistema `e:
BU = {(1, −4, 4, 0, 3), (−1, 1, 0, 1, 0)}.
Esercizio 5. Stabilire per quali valori del parametro reale h il seguente sistema lineare omogeneo:
x1 +hx3 = 0
hx2 +x4 = 0
5x2 +2x3 −x4 = 0
x1 −3x2 = 0
,
ammetta soluzioni diverse da quella banale. Per tali valori del parametro determinare tutte le soluzioni del sistema.
Soluzione dell’esercizio 5. La matrice associata al sistema `e:
Ah=
1 0 h 0
0 h 0 1
0 5 2 −1
1 −3 0 0
.
Il sistema ammette soluzioni diverse dalla banale se e soltanto se rg(Ah) <, ovvero se e soltanto se det Ah= 0. Il determinante della matrice vale.
det Ah=
1 0 h 0
0 h 0 1
0 5 2 −1
1 −3 0 0
=
h 0 1
5 2 −1
−3 0 0
−
0 h 0
h 0 1
5 2 −1
= −h2− 5h + 6 = p(h).
Quindi det Ah = 0 se e soltanto se h = −6, 1. Per tali valori del parametro reale h il sistema ammette soluzioni diverse da quella banale.
Per h = −6 il sistema diviene:
x1 −3x3 = 0
−3x2 +x4 = 0
5x2 +2x3 −x4 = 0
x1 −3x2 = 0
.
La matrice associata al sistema `e:
B = A−3=
1 0 −6 0
0 −6 0 1
0 5 2 −1
1 −3 0 0
.
Il suo minore:
B123,123=
1 0 −6
0 −6 0
0 5 2
= −12 6= 0.
Abbiamo quindi rg(B) = 3, il sistema ammette ∞1 soluzioni ed `e equivalente al sistema:
x1 −6x3 = 0
−6x2 +x4 = 0
5x2 +2x3 −x4 = 0 .
Per determinare le soluzioni del sistema possiamo moltiplicare per un parametro reale t i minori di ordine massimo estratti a segni alterni della matrice associata a quest’ultimo sistema. Ricaviamo:
x1 = t ·
0 −6 0
−6 0 1
5 2 −1
= 6t, x2 = −t ·
1 −6 0
0 0 1
0 2 −1
= 2t,
x3 = t ·
1 0 0
0 −6 1
0 5 −1
= t, x4 = −t ·
1 0 −6
0 −6 0
0 5 2
= 12t.
Per h = −6 le ∞1soluzioni del sistema sono tutte le quaterne del tipo (6t, 2t, t, 12t) = t·(6, 2, 1, 12), t ∈ R.
Per h = 1 il sistema diviene:
x1 +x3 = 0
x2 +x4 = 0
5x2 +2x3 −x4 = 0
x1 −3x2 = 0
.
La matrice associata al sistema `e:
C = A−2=
1 0 1 0
0 1 0 1
0 5 2 −1
1 −3 0 0
.
Il suo minore:
C123,123=
1 0 1 0 1 0 0 5 2
= 2 6= 0.
Abbiamo quindi rg(C) = 3, il sistema ammette ∞1 soluzioni ed `e equivalente al sistema:
x1 +x3 = 0
x2 +x4 = 0
5x2 +2x3 −x4 = 0 .
Per determinare le soluzioni del sistema possiamo imporre x4= 1 e ricavare:
x4= 1 =⇒ x1= −3, x2= −1, x3= 3.
Una soluzione del sistema `e data da (−3, −1, 3, 1). Dato che il sistema ammette ∞1 soluzioni, tutte le altre soluzioni del sistema saranno proporzionali a questa. Per h = 1 le ∞1 soluzioni del sistema sono tutte le quaterne del tipo:
t0(−3, −1, 3, 1), t0 ∈ R.
