1) Un oscillatore armonico di frequenza propria è inizialmente posto in uno stato in cui una misura di energia fornisce i soli due valori / 2ed 3 / 2 con probabilità eguale.
- Determinare tutti gli stati compatibili con le informazioni date.
- Determinarne l’evoluzione temporale
- Determinare l’evoluzione temporale di x t( ) e p t( ) su questi stati.
2) Una particella di massa m è vincolata su di un segmento di lunghezza L si trova inizialmente nello stato descritto dalle funzione d’onda reale riportata in figura.
- Noto determinare h
- Determinare con quale probabilità trovo in una misura di energia il valore 2 2/ 2mL2dopo un certo tempo t
- Determinare x t( ) e p t( ) .
Problema 1
Oscillatore armonico (con ovvio significato dei simboli):
( ) ( )
ˆ ˆ ˆ 1
H a a 2 ˆa n n n 1 ˆx 2m a aˆ ˆ
1 a nˆ n 1 n 1 1 m
ˆH n n n pˆ a aˆ ˆ
2 i 2
+ +
+ +
= + = = +
= + +
= + =
E’ evidente che gli stati richiesti devono essere una combinazione lineare dei soli due stati 0 e 1
ed i loro coefficienti devono avere moduli eguali e pari a 1/ 2:
i i
e 0 e 1
= 2 +
Qui il fattore di fase globale ei è del tutto inessenziale mentre essenziale è lo sfasamento tra i due stati. Dunque gli stati compatibili con le informazioni fornite sono:
1 i
0 e 1
= 2 +
L’evoluzione temporale di ciascuno di questi stati è data da:
( )t =e iˆHt 12 0 +ei 1 = 12 e i2t 0 +e i3 t2 ei 1
Per determinare l’evoluzione temporale dei valori medi di posizione ed impulso utilizzo le equazioni di Ehrenfest:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
2
d ˆx 1 pˆ d pˆ d xˆ p tˆ p 0 c osˆ t Asin t
dtd pˆ mm xˆ dt m dt pˆ ˆx t m1 d pdtˆ mA cos t ˆp 0m sin t
dt
= +
=
= =
= = +
=
Calcolando la seconda in t 0= si capisce che: A= m x 0ˆ( ) così che la soluzione generale delle equazioni di Ehrenfest è:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆp 0
x t x 0 cos t sin t
m
ˆ ˆ ˆ
p t m x 0 sin t p 0 cos t
= +
= +
E’ dunque sufficiente determinare posizione ed impulso iniziali degli stati considerati nel punto 1.
Dunque:
( ) i ( ) i i i ( )
i i
1 ˆ ˆ 1
ˆ ˆ
x 0 x 0 e 1 a a 0 e 1 0 e 1 1 e 0 2 2
2m 8m
2 2
e e cos
8m 2m
= = + + + + = + + + =
= + =
i i
m 1 e e m sin
2 2i 2
= =
Sostituendo queste espressioni della posizione e dell’impulso iniziale nella soluzione delle equazioni di Ehrenfest si ottiene immediatamente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆp 0
x t x 0 cos t sin t cos t cos sin t sin cos t
m 2m 2m
m m
ˆ ˆ ˆ
p t m x 0 sin t p 0 cos t sin t cos cos t sin sin t
2 2
= + = + =
= + = + =
Problema 2
Lo stato deve essere del tipo:
( )
( )
( ) ( )
( )
0 x 1 L
2
1 1
x,0 h L x L
2 2
0 x 1 L
2
<
= < < +
> +
Dalla condizione di normalizzazione della funzione d’onda:
( )2 2 1
1 dx x,0 h h
+
= ! = =
Gli stati stazionari e gli autovalori dell’energia della particella vincolata sul segmento sono:
( )
n
2 2 2
n 2
2 n x
x sin
L L
E n
2mL
=
=
Si vede che allora la probabilità richiesta è quella di osservare l’energia dello stato fondamentale.
L’ampiezza di probabilità è:
( )
( )
( )
( )
( )
1 L 1
L 2 L
1 21 2
1 2L
0 L
2
2 x 2 x 2 L x 1 2L 8L
dx sin x,0 dx sin cos cos cos sin
L L L L L L 2 2L 2 2L 2L
+ +
=! = ! = = + =
La probabilità richiesta è dunque, a tutti i tempi:
2 2
1 1 2
P 8L sin
= = 2L
Per determinare l’evoluzione temporale del valor medio della posizione e dell’impulso utilizzo il teorema di Ehrenfest:
d 1
ˆx pˆ
dt m
d ˆp dV
dt dxˆ
=
=
Visto che il potenziale è nullo nella buca ed infinito fuori, la “forza” è evidentemente nulla nella buca è infinita sui bordi. Sono questi infiniti che in generale fanno invertire il moto della particella al bordo. Nel nostro caso però:
( )
ˆp t 0= =0
( )
ˆp t =0
A tutti i tempi. Ora:
( ) L
ˆx 0 = 2
e questo valor medio della posizione rimane nullo a tutti i tempi.
