L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della
RIPASSO
Le leggi di Keplero
Giovanni Keplero (1571-1630) ricavò le sue leggi del moto dei pianeti (la I e II furono pubblicate nel 1609, la III nel 1619) compendiando le innumerevoli osservazioni sulle loro posizioni apparenti (in particolare di Marte) fatte da molti astronomi, tra cui in particolare Tycho Brahe1 (1546-1601). Si tratta dunque di leggi empiriche puramente descrittive. Sono relazioni che permettono di prevedere con buona approssimazione le posizioni future dei pianeti. Ma non spiegano perché il moto sia
proprio quello.
Ciò nonostante, di tratta di enunciati estremamente importanti perché qualsiasi teoria deve essere in grado di riprodurli. Per dare giustificazione teorica alle tre leggi di Keplero bisogna aspettare Isacco Newton: dalle sue leggi (legge di gravitazione universale e seconda legge del moto) deriva direttamente il fatto che le orbite dei pianeti sono effettivamente delle ellissi. La legge di Newton sulla gravitazione universale è una legge dinamica; dimostrare le leggi di Keplero a partire dalla legge di gravitazione e dai principi della dinamica non è un compito facile, sono necessarie conoscenze di matematica di livello universitario.
Legge delle orbite
Keplero aveva studiato astronomia molto prima di incontrare Tycho: era a favore della teoria copernicana ed era in corrispondenza epistolare con Galileo.
1 Tycho era un nobile danese interessato di astronomia. Nel 1572 apparve nel cielo una “nuova stella” (in linguaggio moderno una “nova”), non molto lontana dalla Polare, più luminosa di tutte le altre. Tycho misurò accuratamente la sua posizione, quindi la misurò di nuovo dopo 12 ore, quando la rotazione terrestre aveva spostato il punto di osservazione sull’altro lato della Terra. Era già noto che un tale spostamento faceva variare la posizione della Luna nel cielo, e aveva aiutato gli astronomi a valutare la sua distanza. Però la posizione della “nuova stella” non era variata, suggerendo quindi che si trattava di un oggetto molto più distante della Luna. Il giovane Tycho fu così impressionato da questo evento che decise di dedicare la sua vita all’astronomia. Il Re di Danimarca lo incoraggiò e gli donò l’isola di Hven per costruirci un osservatorio, e le tasse riscosse sull’isola servirono a finanziare questa struttura. Il telescopio non era stato ancora inventato, e tutte le misure venivano compiute ad occhio, con l’aiuto di mire ottiche (simili ai mirini dei fucili) che potevano scorrere lungo dei cerchi graduati. Tycho portò tali metodi al massimo delle loro possibilità, cioè alla risoluzione dell’occhio umano, e le sue mappe stellari erano molto più accurate di qualunque altra mappa realizzata fino allora. Egli misurò, e ne tenne conto, perfino i piccolissimi spostamenti della posizione delle stelle vicino all’orizzonte, dovuti alla rifrazione della luce nell’atmosfera terrestre, simile a quella che avviene nel vetro o nell’acqua. Le sue osservazioni dei pianeti divennero la prova più schiacciante della teoria copernicana, contro quella tolemaica.
Per quanto riguarda quelle teorie, Tycho credeva che tutti i pianeti ruotassero attorno al Sole, ma che il Sole ruotasse attorno alla Terra. Questa visione era in accordo con quella della Chiesa Protestante danese, poiché Martin Lutero, iniziatore della Riforma Protestante, aveva rifiutato la teoria di Copernico (che era suo contemporaneo). Tuttavia l’atteggiamento di Tycho era arrogante, e i residenti di Hven si lagnarono, così che dopo la morte del Re, che era stato il suo protettore, Tycho fu costretto a lasciare la Danimarca.
Nel 1599 si stabilì a Praga, ora capitale della Repubblica Ceca e allora sede della corte dell’Imperatore tedesco Rodolfo, e lì divenne astronomo di corte. E fu proprio a Praga dove un astronomo tedesco, di nome Giovanni Keplero, fu assunto da Tycho per svolgere i suoi calcoli. Quando nel 1601 Tycho morì improvvisamente, fu Keplero (ottimo matematico) a continuare il suo lavoro.
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
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Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Le osservazioni di Tycho comprendevano anche alcune misure molto accurate della posizione del pianeta Marte, e tali misure non andavano d’accordo né con la teoria di Tolomeo, né con quella di Copernico.
Quando Tycho morì (1601), Keplero si mise a studiare quelle osservazioni cercando di interpretarle. Nel 1609, lo stesso magico anno in cui Galileo per primo puntò il telescopio verso il cielo, Keplero ebbe l’intuizione di quella che poteva essere la risposta al problema, e pubblicò le sue prime due leggi sui moti planetari.
L’Universo di Keplero è eliocentrico, cioè considera il Sole immobile e i pianeti che ruotano intorno ad esso, ma la posizione del Sole non è più centrale e le orbite dei pianeti non sono perfettamente circolari.
La prima legge riguarda la forma dell’orbita descritta dai pianeti intorno al Sole: i pianeti si muovono attorno al Sole su un’orbita ellittica; il Sole si trova in uno dei fuochi dell’ellisse.
Keplero è stato il primo a parlare di orbite ellittiche. Prima di lui non ci si era mai allontanati dal concetto di traiettoria circolare. La perfezione del moto dei corpi celesti era infatti simboleggiata dal cerchio.
La prima legge di Keplero è dimostrabile, come le altre tre, a partire dalla legge di gravitazione universale:
questa prevede, matematicamente, che la traiettoria di un corpo sottoposto ad una forza centrale inversamente proporzionale al quadrato della distanza sia una conica e l’ellisse è una conica.
Legge delle aree
La seconda legge di Keplero tratta della velocità con cui i pianeti percorrono l’orbita: il raggio vettore che collega un pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali.
Questa legge dice che il moto del pianeta non è uniforme: la velocità del pianeta varia con la distanza dal Sole: essa aumenta quando il pianeta si avvicina al Sole e diminuisce quando se ne allontana. La II legge di Keplero esprime, con altre parole, un’altra legge di conservazione, quella del momento angolare2. Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L G = × r G p G = × r G mv G
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della
2 Nella meccanica newtoniana il momento angolare LG
rispetto a un polo Ω di un punto materiale è definito come il prodotto vettoriale del vettore posizione (con origine in Ω) e del vettore quantità di moto. Omettendo la dipendenza dal polo:
LG = rG× pG = rG×mvG .
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della distanza media R del pianeta dal Sole3 (pari alla semisomma della distanza minima e della distanza massima).
T2 / R3 = costante=k
Il problema iniziale si risolve applicando la III legge di Keplero e considerando che sia la Terra, sia Marte ruotano intorno al Sole:
Tt2 / Rt3 = Tm2 / Rm3 quindi Tm2 = Tt2 (Rm / Rt)3
Sostituendo i dati, si ha: Tm = 1 anno (1,52 UA / 1 UA)3/2 = 1,87 anni
La legge di gravitazione universale di Newton ha dato in seguito un supporto teorico alle leggi empiriche di Keplero. Diamo una dimostrazione della terza legge nel caso particolare di orbita perfettamente circolare (la circonferenza può essere considerata un caso particolare di ellisse con eccentricità 0).
Sia m la massa di un pianeta che orbita intorno al Sole (di massa M). Se l’orbita è circolare, sono costanti sia R (distanza del pianeta dal Sole), sia il modulo v della velocità del pianeta, inoltre la forza gravitazionale fornisce esattamente la forza centripeta necessaria a fare una curva di raggio R.
G M m / R2 = m v2 / R
Dividendo tutto per m e sapendo che v = 2 π R / T, si ottiene:
G M / R2 = 4 π2 R / T2 e quindi T2 / R3 = G M / 4 π2 = costante
Come si vede la costante di proporzionalità dipende dalla massa M del corpo centrale che nel nostro caso è il Sole. La stessa legge, con diverso valore della costante di proporzionalità, si applica anche ad altri sistemi gravitazionali, come i satelliti che ruotano intorno ad un pianeta.
Non solo le leggi di Keplero furono confermate e spiegate da scienziati successivi, ma esse valgono per ogni sistema orbitale di due corpi, anche per i satelliti artificiali in orbita attorno alla Terra. La costante k per i satelliti artificiali è diversa da quella k ottenuta per i pianeti (però è la stessa per tutti i satelliti artificiali della Terra). Dalla formula di Keplero possiamo infine ricavare T = √(k a3).
I successivi anni della vita di Keplero non furono troppo sereni. Il suo protettore, l’Imperatore Rodolfo, era morto nel 1612, e anche se Keplero mantenne il suo incarico di matematico di corte e continuò a produrre importanti lavori, la sua vita fu sempre più rovinata dalla guerra. Si trattava della Guerra dei Trent’anni, un’aspra contesa religiosa che oppose Protestanti e Cattolici. La guerra iniziò a Praga nel 1618 e coinvolse tutta la regione dell’Europa di Keplero.
I gruppo di esercizi (Leggi di Keplero-legge di gravitazione universale)
Nota: G = (6.67259±0.00085) ·10-11 Nm2/kg2 ≈ 6.67 ·10-11 Nm2/kg2
Il valore della costante di gravitazione universale, è il più difficile da misurare di tutte le costanti della natura; esso infatti si può calcolare soltanto studiando attentamente le interazioni gravitazionali tra due oggetti, ma il problema è che la forza di gravità è di gran lunga la più debole delle forze della natura, con la conseguenza che servono masse enormi per notare un qualche effetto, oppure si devono utilizzare tecnologie sofisticate. Non a caso, il valore di G fu sconosciuto fino al famoso esperimento di Cavendish, effettuato nel 1798, più di 100 anni dopo la formulazione della legge di gravitazione universale.
Attualmente il valore di G non è conosciuto con la stessa precisione delle altre costanti della natura,
Esercizio n. 1 (Leggi di Keplero)
Alcune comete si comportano come i pianeti, nel senso che descrivono orbite ellittiche. Una di queste è la cometa di Halley. Calcolare il suo periodo di rivoluzione sapendo che la sua distanza media dal Sole è 17,9 UA (UA è il simbolo per l’unità astronomica; 1 UA = 1,50·1011 m è la distanza media della Terra dal Sole). Sapendo che la distanza di massimo avvicinamento della cometa al Sole è 0,570 UA, qual è la sua distanza di massimo allontanamento?
(76 anni; 35,2 UA]
3 La distanza media della Terra dal Sole si chiama unità astronomica (simbolo UA).
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della
Esercizio n. 2 (Leggi di Keplero)
Giove ha un periodo di TG=11,86 anni. Calcolare la sua distanza media dal Sole, conoscendo il periodo (TS=29,46 anni) e la distanza media di Saturno dal Sole (1,43·1012 m). Non utilizzare altri dati.
[7,80·1011 m]
Esercizio n. 3 (Leggi di Keplero)
Consideriamo un punto P, che si muove di moto rettilineo uniforme su una retta r, e un punto qualsiasi C detto “centro” (non appartenente a r). Dimostrare che il raggio vettore che va dal “centro” C al punto P spazza aree uguali in tempi uguali (velocità areolare costante durante il moto di P).
Esercizio n. 4 (Leggi di Keplero)
Trovare il periodo di rivoluzione attorno al Sole di un asteroide che si muove su un’orbita circolare, compresa fra l’orbita di Marte e quella di Giove, di raggio pari a 4,20·1011 m.
[T = 4,69 anni]
Esercizio n. 5 (Gravitazione universale)
Calcolare la forza di attrazione gravitazionale tra due ragazzi di massa 60.0 kg, posti a 1,00 m di distanza l’uno dall’altro.
[2,4·10-7 N]
Esercizio n. 6 (Gravitazione universale)
Calcolare l’accelerazione di gravità su Marte, sul Sole e sulla Luna.
[3,6 m/s²; 2,7.10² m/s²; 1,6 m/s²]
Esercizio n. 7 (Gravitazione universale)
Calcolare, utilizzando anche la tabella riassuntiva, il peso di un astronauta di massa 70,0 kg sulla Terra e sulla Luna.
[686 N; 113 N]
Esercizio n. 8 (Leggi di Keplero)
Determinare la distanza Terra-Luna (la luna si muove su un’orbita quasi circolare) attorno alla Terra. Il periodo è T = 27,3 g. La massa della terra è 5,98·1024 kg.
[R = 3,83·105 km]
Esercizio n. 9 (Gravitazione universale)
Determinare la massa del pianeta Mercurio, sapendo che una sonda artificiale descrive attorno ad esso un’orbita circolare avente R=7000 km in un tempo T=6h 53min.
[3,30·1023 kg]
Nota: Mercurio è il più piccolo dei pianeti “terrestri” che comprendono anche Venere, Terra e Marte. Il diametro del pianeta è circa un terzo quella della Terra mentre la quantità di luce ricevuta dal Sole è, data la minore distanza, 6.67 volte maggiore di quella della Terra. La massa non può essere determinata da Terra poiché il pianeta non possiede satelliti. Solo nel 1974 ne è stata possibile la misura attraverso la deflessione della traiettoria della sonda Mariner 10, causata dell’azione gravitazionale del pianeta. La densità media risulta circa uguale a quella terrestre il che ha fatto supporre l’esistenza, nel suo interno, di un esteso nucleo di ferro e nichel.
Nei calcoli utilizzare almeno tre cifre significative.
Attenzione: le soluzioni non sono state ricontrollate, si prega di segnalare eventuali inesattezze.
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole:
L=r×p=r×mv .. .. .. .. ..
La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.
Legge dei periodi
Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all’astrologia che alla struttura del Sistema Solare.
Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, nel 1619, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali: per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della
Corpo Massa (kg) Raggio (m)
Periodo di rotazione
intorno all’asse
Eccentricità orbitale
Raggio medio dell’orbita
(m)
Periodo di rivoluzione
(a=anno, g=giorno)
SOLE 1.98·1030 6.96·108 2.14·106 - - -
MERCURIO 0.33·1024 2.57·106 7.60·106 0.2056 5.79·108 87.97 g VENERE 4.83·1024 6.31·106 2.6·106 0.0068 1.08·1011 224.70 g
TERRA 5.98·1024 6.38·106 8.61·104 0.0167 1.50·1011 365.25 g MARTE 6.37·1023 3.43·106 8.85·104 0.0934 2.28·1011 686.98 g
GIOVE 1.90.1027 7.18·107 3.54·104 0.0483 7.78·1011 11.86 a
SALURNO 5.67·1026 6.03·107 3.60·104 0.0560 1.43·1012 29.46 a
URANO 8.80.1025 2.67·107 3.88·104 0.0461 2.87·1012 84.02 a
NETTUNO 1.03·1026 2.48·107 5.69·104 0.0100 4.50·1012 164.79 a
PLUTONE 1.37·1022 1.17·106 5.7·104 0.2484 5.9·1012 247.70 a
LUNA 7.34·1022 1.74·106 2.36·106 0.055 3.84·108 27.3 g
