Il Problema di Keplero

Il Problema di Keplero

Il problema di Keplero nel campo gravitazionale Introduzione

Con “Problema di Keplero” viene indicato il problema del moto di un corpo in un campo di forze centrali.

Nel caso specifico gravitazionale che tratteremo, abbiamo in particolare che la forza centrale è direttamente proporzionale all’inverso del quadrato della distanza.

Gradi di libertà del problema e invarianti

Ipotizzando che il moto avvenga su un piano, abbiamo due gradi di libertà, e necessitiamo quindi di due grandezze invarianti per risolvere il problema. Queste due grandezze sono l’energia totale del sistema e il momento angolare (rispetto, per esempio, al centro del campo di forze).

Definiamo ora alcune energie:

𝐸𝑛. 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑈(𝑟) = − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑜 𝑈 _{𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟} (𝑟) = 𝐿 ²

2𝑚𝑟 ² 𝐸𝑛. 𝐶𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙𝑒: 𝑇(𝑟) = 1

2 𝑚𝑟̇ ² 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑒: 𝑈 _𝐸𝑓𝑓 (𝑟) = 𝑈(𝑟) + 𝑈 _{𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟} (𝑟) = 𝐿 ²

2𝑚𝑟 ² − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 L’energia totale è quindi:

𝐸 = 𝑈(𝑟) + 𝑈 _{𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟} (𝑟) + 𝑇(𝑟) = 𝐿 ²

2𝑚𝑟 ² − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 +

1 2 𝑚𝑟̇ ²

Il termine potenziale indica l’energia potenziale del sistema, il potenziale centrifugo indica l’energia cinetica dovuta alla componente velocità ortogonale al vettore distanza, l’energia cinetica radiale indica invece l’energia cinetica dovuta all’altra componente della velocità, quella parallela al vettore distanza.

Disegniamo ora il grafico del potenziale efficace in funzione di r:

La funziona ha un asindoto verticale in r=0 e un asindoto orizzontale per r infinito. Se disegnassimo sul grafico anche una retta y=E troveremmo che questa può intersecarsi con la funzione del potenziale efficace in 0, 1 o 2 punti. Ma quale è il significato fisico di queste intersezioni?

Poiché l’energia cinetica radiale è sempre maggiore o uguale a 0, il moto è possibile solo quando la retta y=E sta sopra alla funzione potenziale.

Quindi quando non ci sono intersezioni, vuol dire che la retta y=E sta sotto alla curva del potenziale, e quindi il moto non è possibile.

Se y=E è tangente alla curva nel suo punto di minimo vuol dire che il moto è possibile solo per quel determinato raggio in cui sono tangenti: abbiamo quindi un’orbita a forma circolare.

Se Y=E interseca il potenziale in 2 punti di ascissa a e b abbiamo che il moto è possibile per tutte le distanze comprese fra a e b: abbiamo quindi un’orbita ellittica.

Se Y=E interseca il potenziale in solo punto di ascissa 𝜌 ed è asindoto orizzontale della curva del potenziale, il moto sarà possibile per tutte le distanze maggiori di 𝜌 vedremo che l’orbita sarà di forma parabolica (per essere asindoto E=0).

Se y=E interseca il potenziale in un sol punto di ascissa 𝜌 e non è asindoto orizzontale (E>0), il moto sarà

possibile per tutti le distanze maggiori di 𝜌 e l’orbita avrà forma iperbolica.

Equazioni Polari delle Traiettorie

Le orbite dei corpi possono essere scritte in forma polare nel seguente modo:

𝑟(𝜃) = 𝑙

1 − 𝜀𝐶𝑜𝑠(𝜃) Dove definiamo l:

𝑙 = 𝐿 ² 𝐺𝑀𝑚 ² Ed epsilon (eccentricità dell’orbita):

𝜀 = �1 + 2𝐸𝐿 ² 𝐺 ² 𝑀 ² 𝑚 ³ �

1 2

Orbita Circolare

Raggio dell’orbita Circolare

Il raggio corrisponde all’ascissa del minimo della funzione potenziale:

𝑑�𝑈 _𝐸𝑓𝑓 �

𝑑𝑟 = 𝐺𝑀𝑚

𝑟 _𝑐 ² − 𝐿 ² 𝑚𝑟 _𝑐 ³ = 0

𝑟 _𝑐 = 𝐿 ² 2𝐺𝑀𝑚 ²

Momento angolare dell’oggetto nel moto su orbita Circolare

Si ricava dalla formula precedente:

𝐿 = �2𝐺𝑀𝑚 ² 𝑟 𝑐

Energia del sistema nel moto su orbita Circolare

𝐸 = 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝑟 𝑐 ) = − 𝐺𝑀𝑚

𝑟 _𝑐 + 𝐺𝑀𝑚 ² 𝑟 _𝑐

2𝑚𝑟 _𝑐 ² = − 𝐺𝑀𝑚 2𝑟 _𝑐

Periodo nel moto su orbita Circolare

𝐿 ² = 𝐺𝑀𝑚 ² 𝑟 _𝑐 = (𝑚𝑣𝑟 _𝑐 ) ²

𝑣 = � 𝐺𝑀 𝑟 𝑐

𝑇 = 2𝜋𝑟 _𝑐

𝑣 = 2𝜋 � 𝑟 ^{𝑐 3} 𝐺𝑀

Che non è altro che l’equazione della 3° legge di Keplero scritta per le orbite circolari.

Equazione Polare dell’Orbita Circolare

𝑙 = 𝑟 𝑐

𝜀 = 0 Quindi, come ci aspettavamo:

𝑟(𝜃) = 𝑟 _𝑐

Orbita Ellittica

Perielio, Afelio e Momento angolare dell’oggetto nel moto su orbita Ellittica

Indichiamo con a il perielio e con b l’afelio.

𝐸 = 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝑎) = 𝑈 _𝐸𝑓𝑓 (𝑏)

𝐸 + 𝐺𝑀𝑚 𝑟 −

𝐺𝑀𝑚 ² 𝑟 𝑐

2𝑚𝑟 ² = 0 2𝑚𝐸𝑟 ² + 2𝐺𝑀𝑚 ² 𝑟 − 𝐿 ² = 0

𝑟 = −𝐺𝑀𝑚 ² ± √𝐺 ² M ² m ⁴ + 2mEL ² 2𝑚𝐸

𝑎 = − 𝐺𝑀𝑚

2𝐸 − �𝐺 ² 𝑀 ² 𝑚 ² 4𝐸 ² + 𝐿 ²

2𝑚𝐸

𝑏 = − 𝐺𝑀𝑚

2𝐸 + �𝐺 ² 𝑀 ² 𝑚 ² 4𝐸 ² + 𝐿 ²

2𝑚𝐸

𝑎 + 𝑏 = − 𝐺𝑀𝑚 𝐸 (𝑏 − 𝑎) ² = 4 � 𝐺 ² 𝑀 ² 𝑚 ²

4𝐸 ² + 𝐿 ² 2𝑚𝐸�

𝐿 ² = 1 2

𝐺𝑀𝑚 ²

𝑎 + 𝑏 (𝑏 − 𝑎) ² + 𝐺 ² 𝑀 ² 𝑚 ³

2𝐺𝑀𝑚 (𝑎 + 𝑏) = 𝐺𝑀𝑚 ²

2 �(𝑎 + 𝑏) − (𝑏 − 𝑎) ² (𝑎 + 𝑏) �

𝐿 ² = 𝐺𝑀𝑚 ² 2

4𝑎𝑏

𝑎 + 𝑏 = 2𝐺𝑀𝑚 ²

𝑎𝑏

𝑎 + 𝑏

Potenziale Efficace dell’oggetto nel moto su orbita Ellittica

𝑈 _𝐸𝑓𝑓 (𝑟) = − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 +

𝐺𝑀𝑚 𝑟 ²

𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏

Energia del sistema nel moto su orbita Ellittica

𝐸 = 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝑎) = 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝑏) = − 𝐺𝑀𝑚 𝑎 + 𝑏 = −

2 𝑎 + 𝑏

𝐺𝑀𝑚 2 = −

𝐺𝑀𝑚 2𝑟 _𝑚 Definendo questa quantità

𝑟 _𝑚 = 𝑎 + 𝑏 2 Detta semiasse maggiore dell’ellisse.

Da notare il fatto che l’energia per l’orbita ellittica ha la stessa formula di quella dell’orbita circolare se definiamo

𝑟 _𝑚 = 𝑟 _𝑐 Nel caso dell’orbita circolare.

Periodo nel moto su orbita Ellittica

𝐸 = − 𝐺𝑀𝑚 𝑎 + 𝑏 = −

𝐺𝑀𝑚 𝑟 +

𝐺𝑀𝑚 𝑟 ²

𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 +

1 2 𝑚𝑟̇ ² 𝑟̇ ² = 2𝐺𝑀 −𝑟 ² + (𝑎 + 𝑏)𝑟 − 𝑎𝑏

𝑟 ² (𝑎 + 𝑏)

𝑟̇ = √2𝐺𝑀� (𝑏 − 𝑟)(𝑟 − 𝑎) 𝑟 ² (𝑎 + 𝑏)

𝑇 = 2 � 𝑑𝑟

𝑟̇ = 2 � 1

√2𝐺𝑀 � 𝑟 ² (𝑎 + 𝑏)

(𝑏 − 𝑟)(𝑟 − 𝑎) 𝑑𝑟 = � 2

𝐺𝑀 � � 𝑟 ² (𝑎 + 𝑏) (𝑏 − 𝑟)(𝑟 − 𝑎) 𝑑𝑟

𝑏 𝑎 𝑏

𝑎 𝑏

𝑎

𝑇 = � 2 𝐺𝑀 � 1

2𝑟 � (𝑎 + 𝑏)𝑟 ²

(𝑏 − 𝑟)(𝑟 − 𝑎) (2 (𝑎 − 𝑟)(𝑏 − 𝑟) − (𝑎 + 𝑏)√𝑏 − 𝑟√𝑟 − 𝑎𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛( 𝑎 + 𝑏 − 2𝑟 2√𝑏 − 𝑟√𝑟 − 𝑎 ))�

𝑎 𝑏

𝑇 = � 2

𝐺𝑀 �lim _𝑟→𝑏 𝐹(𝑥) − lim _𝑟→𝑎 𝐹(𝑥)� = � 2 𝐺𝑀 � 𝜋

4 (𝑎 + 𝑏)

3 2 + 𝜋

4 (𝑎 + 𝑏)

3 2 � = � 𝜋 ²

2𝐺𝑀 (𝑎 + 𝑏)

3 2

E sostituendo ^𝑎+𝑏 ₂ con 𝑟 𝑚 otteniamo:

𝑇 = � 4𝜋 ² 𝐺𝑀 𝑟 ^{𝑚 3} Che è nuovamente la 3° legge di Keplero

Equazione Polare dell’Orbita Ellittica

𝑙 = 2 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏

𝜀 = �1 − 4 𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏) ² �

1 2

= 𝑏 − 𝑎 𝑎 + 𝑏

𝑟(𝜃) = 2𝑎𝑏

(𝑎 + 𝑏) + (𝑎 − 𝑏)𝐶𝑜𝑠(𝜃)

Orbita Parabolica

Perielio e Momento angolare dell’oggetto nel moto su orbita Parabolica

𝐸 = 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝜌) = 0 𝐿 ²

2𝑚𝜌 ² − 𝐺𝑀𝑚 𝜌 = 0 𝜌 = 𝐿 ²

2𝐺𝑀𝑚 ²

Periodo in cui l’oggetto ha distanza <R dal centro del campo di forza nel moto su orbita Parabolica

0 = 𝐸 = − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 +

𝐺𝑀𝑚𝜌 𝑟 ² + 1

2 𝑚𝑟̇ ² 𝑟̇ ² = 2𝐺𝑀 � 1

𝑟 − 𝜌 𝑟 ² �

𝑟̇ = √2𝐺𝑀�� 1 𝑟 −

𝜌 𝑟 ² �

𝑇 = 2 � 𝑑𝑟

𝑟̇ = 2 � 1

√2𝐺𝑀 � 𝑟 ²

(𝑟 − 𝜌) 𝑑𝑟 = � 2

𝐺𝑀 � 𝑟

�𝑟 − 𝜌 𝑑𝑟

𝑅 𝜌 𝑅

𝜌 𝑅

𝜌

Operiamo ora una sostituzione:

𝑥 ² = 𝑟 − 𝜌; 𝑟 = 𝑥 ² + 𝜌; 𝑟 = 𝜌 => 𝑥 = 0; 𝑟 = 𝑅 => 𝑥 = �𝑅 − 𝜌; 𝑑𝑟 = 2𝑥𝑑𝑥

𝑇 = � 2

𝐺𝑀 � ^{�𝑅−𝜌} 2(𝑥 ² + 𝜌)𝑑𝑥 = 2

0 � 2

𝐺𝑀 � (𝑥 ² + 𝜌)𝑑𝑥 = 2� 2 𝐺𝑀

�𝑅−𝜌

0 � 𝑥 ³

3 + 𝜌𝑥 �

0

�𝑅−𝜌

𝑇 = 2� 2 𝐺𝑀 �

1

3 (𝑅 − 𝜌) ^{3 2} + 𝜌(𝑅 − 𝜌) ^{1 2} � = 2� 2 𝐺𝑀 �

1 3 𝑑

3 2 + 𝜌𝑑 ^{1 2} �

Se definiamo d:

𝑑 = 𝑅 − 𝜌

Quindi il tempo che dal punto di minima distanza impiega per allontanarsi dal centro delle forze di una distanza d partendo dal perielio è

𝜏 = � 2 𝐺𝑀 �

1 3 𝑑

3 2 + 𝜌𝑑 ^{1 2} �

Equazione Polare dell’Orbita Parabolica

𝑙 = 2𝜌 𝜀 = 1

𝑟(𝜃) = 2𝜌

1 − 𝐶𝑜𝑠(𝜃)

Orbita Iperbolica

Perielio e Momento angolare dell’oggetto nel moto su orbita Iperbolica

Per le altre orbite abbiamo due parametri con le quali definiamo bene la situazione fisica (Orbita Circolare:

la forma stessa e il raggio dell’orbita; Orbita Ellittica: a e b; Orbita Parabolica: nuovamente la forma stessa e il perielio).

Per l’orbita iperbolica abbiamo un solo parametro di definizione, cioè il perielio 𝜌. Abbiamo quindi bisogno di definire un altro parametro, in quanto c’è più di un’orbita iperbolica con lo stesso perielio. Introduciamo quindi il parametro k che è un numero puro tale che:

𝐸 = 𝑘 𝐺𝑀𝑚 2𝜌 Allora

𝐸 = 𝑘 𝐺𝑀𝑚 2𝜌 = −

𝐺𝑀𝑚 𝜌 +

𝐿 ² 2𝑚𝜌 ²

𝜌 = 𝐿 ²

(𝑘 + 2)𝐺𝑀𝑚 ²

𝐿 ² = (𝑘 + 2)𝐺𝑀𝑚 ² 𝜌

Periodo in cui l’oggetto ha distanza <R dal centro del campo di forza nel moto su orbita Iperbolica

𝐸 = 𝑘 𝐺𝑀𝑚 2𝜌 =

𝐿 ²

2𝑚𝑟 ² − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 +

1

2 𝑚𝑟̇ ² = − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 +

(𝑘 + 2)𝐺𝑀𝑚𝜌 2𝑟 ² + 1

2 𝑚𝑟̇ ² 𝑟̇ ² = 𝐺𝑀 � 𝑘

𝜌 + 2 𝑟 −

(𝑘 + 2)𝜌 𝑟 ² �

𝑟̇ = √𝐺𝑀�� 𝑘 𝜌 +

2 𝑟 −

(𝑘 + 2)𝜌 𝑟 ² �

𝑇 = 2 � 𝑑𝑟

𝑟̇ = 2 � � 𝜌

𝐺𝑀 � 𝑟 ²

𝑘𝑟 ² + 2𝜌𝑟 − (𝑘 + 2)𝜌 ² 𝑑𝑟 = 2� 𝜌

𝐺𝑀 � 𝑟

�𝑘𝑟 ² + 2𝜌𝑟 − (𝑘 + 2)𝜌 ² 𝑑𝑟

𝑅 𝜌 𝑅

𝜌 𝑅

𝜌

Stavolta la funzione da integrare è molto più complessa dell’altra volta, dopo molti passaggi algebrici otteniamo:

𝑇 = � 𝜌 𝐺𝑀 � 𝑥

𝑘 −

(1 + 𝑘) 𝑘 ^{3 2}

𝜌 ²

√𝑘𝑥 − 𝜌 + 2𝜌

𝑘 ^{3 2} 𝐿𝑛�𝜌 − √𝑘𝑥��

𝑥

𝑥

Dove

𝑥 ₁ = −√𝑘𝜌

𝑥 2 = �𝑘𝑅 ² + 2𝜌𝑅 − (𝑘 + 2)𝜌 ² − √𝑘𝑅 Definendo

𝜎 = √𝑘�𝑘𝑅 ² + 2𝜌𝑅 − (𝑘 + 2)𝜌 ² Allora il risultato è

𝑇 = � 𝜌

𝑘 ³ 𝐺𝑀 �𝜎 − 𝑘𝑅 + (1 + 𝑘) 𝜌 ²

𝜎 − 𝑘𝑅 − 𝜌 + 2𝜌𝐿𝑛 (𝜌 + 𝑘𝑅 − 𝜎) + 𝜌 �𝑘 − 1 − 2𝐿𝑛�(𝑘 + 1)𝜌���

Equazione Polare dell’Orbita Iperbolica

𝑙 = (𝑘 + 2)𝜌

𝜀 = (1 + 2𝑘 + 𝑘 ² ) ^{1 2} = 𝑘 + 1 𝑟(𝜃) = (𝑘 + 2)𝜌

1 − (𝑘 + 1)𝐶𝑜𝑠(𝜃)

Asindoti dell’Orbita Iperbolica

Li possiamo trovare usando la forma polare e ponendo 𝑟(𝜃) = (𝑘 + 2)𝜌

1 − (𝑘 + 1)𝐶𝑜𝑠(𝜃) ≥ 0 1 − (𝑘 + 1)𝐶𝑜𝑠(𝜃) ≥ 0

𝐶𝑜𝑠(𝜃) = 1 𝑘 + 1 𝜃 = ±𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 � 1

𝑘 + 1�

Il problema di Keplero in altri tipi di campi di forze

Possiamo ora passare a esaminare il problema di Keplero in due tipi di campi di forze centrali più generali:

𝐹 _𝐴 = 𝑘 𝑟 ^𝛼 𝐹 _𝑅 = − 𝑘

𝑟 ^𝛽

(nella trattazione del problema indicheremo con k una costante generica, in quanto è ininfluente il valore di questa costante per lo svolgimento, basta sapere che è positiva).

Vogliamo vedere in quali di questi campi di forze è possibile un moto periodico senza il pericolo che l’oggetto cada sul centro delle forze o vada all’infinito.

CASO 1

Definiamo nuovamente tutte le energie: [𝛼 ≠ 1]

𝐸𝑛. 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑈(𝑟) = 𝑘 (1 − 𝛼)𝑟 ^𝛼−1

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑜 𝑈 _{𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟} (𝑟) = 𝑘 𝐿 ² 𝑟 ² 𝐸𝑛. 𝐶𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙𝑒: 𝑇(𝑟) = 𝑘𝑟̇ ²

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑒: 𝑈 _𝐸𝑓𝑓 (𝑟) = 𝑈(𝑟) + 𝑈 _{𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟} (𝑟) = 𝑘 𝐿 ²

𝑟 ² + 𝑘

(1 − 𝛼)𝑟 ^𝛼−1 Perché l’oggetto non cada nel centro delle forze è necessario che

𝑟→0 lim 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝑟) > 𝐸 Quindi se vogliamo che non accada mai

lim 𝑟→0 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝑟) = +∞

lim 𝑟→0 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝑟) = lim

𝑟→0 𝑘 𝐿 ²

𝑟 ² + 𝑘

(1 − 𝛼)𝑟 ^𝛼−1 = 𝑘 lim _𝑟→0 𝐿 ²

𝑟 ² + 1

(1 − 𝛼)𝑟 ^𝛼−1

Tale limite tende a +∞ per

𝛼 < 3 E a −∞ per

𝛼 > 3

Mentre nel caso 𝛼 = 3 se l’oggetto può cadere sul centro dipende dal valore delle costanti e dall’energia dell’oggetto.

Controlliamo ora cosa succede a +∞ per i soli casi 𝛼 < 3:

𝑟→+∞ lim 𝑈 _𝐸𝑓𝑓 (𝑟) = lim

𝑟→+∞ 𝑘 𝐿 ²

𝑟 ² + 𝑘

(1 − 𝛼)𝑟 ^𝛼−1 = 𝑘 lim

𝑟→+∞

𝐿 ²

𝑟 ² + 1

(1 − 𝛼)𝑟 ^𝛼−1 = 𝑘 lim

𝑟→+∞

1 (1 − 𝛼)𝑟 ^𝛼−1 Che tende a 0 se 𝛼 > 1.

Quindi i campi di forze in cui avremo moti “simili” a quelli nel campo gravitazionale sono quelli con 1 < 𝛼 < 3

Mentre quelli con

𝛼 < 1

Avranno anche senza una distanza massima e gli oggetti no potranno mai andare all’infinito.

CASO 2

Possiamo fare un ragionamento analogo a prima, ma ora le energie vengono definite così: [𝛽 ≠ 1]

𝐸𝑛. 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑈(𝑟) = 𝑘 (𝛽 − 1)𝑟 ^𝛽−1

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑜 𝑈 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟 (𝑟) = 𝑘 𝐿 ² 𝑟 ² 𝐸𝑛. 𝐶𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙𝑒: 𝑇(𝑟) = 𝑘𝑟̇ ²

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑒: 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝑟) = 𝑈(𝑟) + 𝑈 _{𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟} (𝑟) = 𝑘 𝐿 ²

𝑟 ² + 𝑘

(𝛽 − 1)𝑟 ^𝛽−1 Perché l’oggetto non cada nel centro delle forze è necessario che

𝑟→0 lim 𝑈 _𝐸𝑓𝑓 (𝑟) > 𝐸

Quindi se vogliamo che non accada mai

lim 𝑟→0 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝑟) = +∞

𝑟→0 lim 𝑈 _𝐸𝑓𝑓 (𝑟) = lim

𝑟→0 𝑘 𝐿 ²

𝑟 ² + 𝑘

(𝛽 − 1)𝑟 ^𝛽−1 = 𝑘 lim

𝑟→0

𝐿 ²

𝑟 ² + 1

(𝛽 − 1)𝑟 ^𝛽−1 Tale limite tende a +∞ per

𝛽 > 1 ∪ 𝛽 < 3 = ∀𝛽

Quindi se la forza è repulsiva l’oggetto non cade mai sul centro, come potevamo aspettarci.

Controlliamo ora cosa succede a +∞:

𝑟→+∞ lim 𝑈 𝐸𝑓𝑓 (𝑟) = lim _𝑟→+∞ 𝑘 𝐿 ²

𝑟 ² + 𝑘

(𝛽 − 1)𝑟 ^𝛽−1 = 𝑘 lim _𝑟→+∞ 𝐿 ²

𝑟 ² + 𝑘

(𝛽 − 1)𝑟 ^𝛽−1 = 𝑘 lim _𝑟→+∞ 𝑘 (𝛽 − 1)𝑟 ^𝛽−1 Che tende a −∞ se 𝛽 < 1 𝑒 𝑎 0 𝑠𝑒 𝛽 > 1

Quindi in nessuno di questi campi di forze avremo dei moti periodici, e tutti gli oggetti andranno all’infinito in quanto:

𝑑�𝑈 𝐸𝑓𝑓 �

𝑑𝑟 = 𝑑

𝑑𝑟 �𝑘 𝐿 ²

𝑟 ² + 𝑘

(𝛽 − 1)𝑟 ^𝛽−1 � = − 𝑘 𝑟 −

𝑘

𝑟 ^𝛽 = −𝑘 � 1 𝑟 +

1

𝑟 ^𝛽 � < 0 ∀𝑟, 𝛽