Equazione di Keplero (eqz. nonlineari).

Equazione di Keplero (eqz. nonlineari).

Risolvere col metodo di Newton, col metodo di bisezione e di punto fisso l’equazione di Keplero:

E = M + e · sin (E )

dove e `e l’eccentricit`a del pianeta, M l’anomalia media del pianeta ad un dato istante e E l’anomalia eccentrica.

Equazione di Keplero (eqz. nonlineari). Note.

◮ L’equazione `e in radianti, ma i dati sono in gradi.

◮ La funzione dipende dai parametri M, e. Se si usa inline, si

osservi che possono essere descritti subito:

>>% f ( x )=A∗ x+s i n (B∗ x ) con A=2, B=3. >> f=inline (’ 2∗ x+s i n (3∗ x ) ’)

f = Inline f u n c t i o n: f( x ) = 2∗ x+s i n( 3 ∗ x ) >>

Se si usa una function g.m:

f u n c t i o n y=g ( x ) M= . . . ; e= . . . ; y = . . . ;

◮ Se usiamo bisezione per calcolare gli zeri di g descritta in

g.m

Sulla distanza Marte/Terra (interpolazione).

Consideriamo la distanza di Marte dalla Terra dal 4 all’8 agosto 1969 a 0h _{TD. I valori sono dati in unit`a astronomiche.}

4 agosto 0.659441 5 agosto 0.664531 6 agosto 0.669651 7 agosto 0.674800 8 agosto 0.679978

Sulle macchie solari.

Consideriamo la tabella proposta dalla rivista belga Heelal del settembre 1978, che per ognuno dei venti massimi di macchie solari avvenuti tra il 1761 ed il 1969, propone intervallo di tempo x e la media mensile pi`u alta y :

x 73 38 35 42 78 68 74 42 52 54

y 90.4 125.3 161.8 143.4 52.5 50.8 71.5 152.8 131.3 98.5

x 39 61 42 49 50 62 44 39 43 54

y 144.8 78.1 89.5 63.9 112.1 82.0 119.8 161.2 208.4 111.6

Dalla tavola e dalla retta di miglior approssimazione y = a + b · x dedurre se `e vero che pi`u lunga `e la durata dell’aumento da un minimo al prossimo massimo di attivit`a solare, minore `e , in generale, tale massimo. Eseguire grafico dei dati e della retta di miglior approssimazione.

Su un’orbita ellittica.

Nel file ellipse data.m sono salvati dei vettori di ascisse e ordinate che rappresentano un’ellisse (del piano cartesiano xy ) centrata nell’origine, ma con piccole perturbazioni sui dati. Per ottenere un simile file, basta eseguire il codice

f u n c t i o n [ x , y]= ellipse_data theta_{= 0 : 0 . 1 : 2 ∗}p i;

a=3; b =5;

x=a∗c o s( theta ’ ) +10ˆ(−2)∗r a n d(l e n g t h( theta ) , 1 ) ; y=b∗s i n( theta ’ ) +10ˆ(−2)∗r a n d(l e n g t h( theta ) , 1 ) ;

od aprire un file precedentemente salvato

f u n c t i o n [ x , y]= ellipse_data

data= [ 3 . 0 0 5 2 1 1 3 5 8 3 0 8 0 4 0 0 . 0 0 4 5 3 7 9 7 7 0 8 7 2 6 9 . . . .

Su un’orbita ellittica.

Ricordato che l’ellisse ha equazione

Ax2+ By2 = 1

ed equazione parametrica

(x, y ) = (a · cos (t), b · sin (t))

calcolare con il metodo dei minimi quadrati A, B e di conseguenza a, b (qual’e’ il legame tra A e a, B e b?). Di seguito eseguire il grafico dei dati e dell’ellisse ottenuta con il metodo dei minimi quadrati.

Suggerimento: nel grafico, usare punti test in [0,2π] e la rappresentazione parametrica.

Facoltativo: Su un’orbita ellittica.

Dopo la prima parte del problema si sono ottenuti dei valori a, b cosicch`e l’ellisse ha eqz. parametriche

(x, y ) = (a cos (t), b sin (t)), t ∈ [0, 2π].

Siano tk = (k − 1)h con h = 2π/20 e k = 1, . . . , 21. Si calcolino le

splines lineari e cubiche sx, sy interpolanti risp. {(tk, u(tk))}k,

{(tk, v (tk))}k, con u, v le funzioni



u(t) = a · cos (t) v(t) = b · sin (t)

Usare non solo splines not-a-knot ma anche splines vincolate (scegliere il vincolo!). Quindi, utilizzando 1000 nodi test

equispaziati in [0, 2π], eseguire il grafico dell’ellisse (u(t), v (t)) e (sx(t), sy(t)). Confrontare i risultati ottenuti. Era possibile

Quadratura numerica.

◮ Calcolare per n = 1, . . . , 100 il valore approssimato S_n(1000) di

In= exp (−1) ·

Z 1

0

xnexp (x)dx

con la formula comp. di Cav.-Simpson su 1000 intv. equisp.

◮ Calcolare per n = 1, . . . , 100 il valore approssimato S_n(2000) di

In= exp (−1) ·

Z 1

0

xnexp (x)dx

con la formula comp. di Cav.-Simpson su 2000 intv. equisp.

◮ Calcolare per n = 1, . . . , 100 il valore di

En= |Sn(2000)− Sn(1000)|.

◮ Confrontare il risultato con quello fornito da una particolare

successione ricorsiva all’indietro I∗

n. Eseguire il grafico degli

err. ass. |I∗ n − S (1000) n |, |In∗− S (2000) n |.

Cubatura numerica.

con il Metodo di Montecarlo avente 4k _{nodi e quello di Sobol,}

Algebra lineare. Esercizio 1.

In una tavoletta del 2000 A.C. si trova scritto: l’area totale di due campi `e 1800 sar, la rendita del primo `e 2 sil`a di grano ogni 3 sar, la rendita del secondo `e di un sil`a di grano ogni 2 sar. La rendita totale del primo eccede l’altra di 500 sil`a . Determinare utilizzando la fattorizzazione LU con pivoting le dimensioni dei 2 campi e le rendite di ogni campo.

Algebra lineare. Esercizio 2.

Si consideri la matrice di Hilbert 4 × 4

A=     1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7    

e il vettore b = (1, 0, 0, 0)T_{. Trovare la soluzione esatta del}

Metodi iterativi.

◮ Eseguire una routine iterstat che implementi, date due

matrici M ed N, un metodo iterativo stazionario. Quale criterio di arresto si utilizzi

kx(k+1)− x(k)k∞< tol

con tol tolleranza richiesta dall’utente.

◮ Usare iterstat per definire due altre routines jacobi e gs

che implementano il metodo di Jacobi e Gauss Seidel, per risolvere il problema Ax = b. Se necessario usare i comandi diag, tril e triu.

◮ Risolvere i due sistemi lineari precedentemente richiesti.