 106.1 C  VV

Soluzione della Prova Scritta di Fisica II

per Ingegneria Informatica ed Ingegneria dell’Automazione 30/09/2003

1) Due sfere conduttrici, una di raggio pari a 5.88 cm e l’altra di raggio pari a 12.2 cm, ognuna con una carica di 28.6 nC, sono distanti l’una dall’altra. Se le sfere vengono collegate con un cavo conduttore, si trovi (a) la carica finale e (b) il potenziale iniziale e finale di ciascuna sfera.

Poiché conosciamo la carica ed il raggio di ciascuna sfera, e sappiamo che le due sfere sono “distanti”

l’una dall’altra, possiamo subito calcolare il potenziale iniziale di ciascuna di esse:

kV m V

C C

Nm R

V Q 4372 4 . 37

0588 . 0

10 6 . 10 28

99 . 4 8

1 ⁹

2 2 9 1

1 0

1     ^  



kV m V

C C

Nm R

V Q 2107 2 . 11

122 . 0

10 6 . 10 28

99 . 4 8

1 ⁹

2 2 9 2

2 0

2     ^  



Essendo Q ₁  Q ₂ e R ₁  R ₂ deve essere V ₁  V ₂ .

Nel caso in cui le due sfere fossero state “vicine”, il potenziale di ciascuna di esse avrebbe avuto una dipendenza anche dalla carica posseduta dall’altra. Sarebbero valse le relazioni lineari seguenti:

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

Q a Q a V

Q a Q a V









Non appena le due sfere vengono collegate con un cavo conduttore, alcune cariche libere (elettroni) passeranno dalla sfera 2 (quella con potenziale minore) alla sfera 1 (quella con potenziale maggiore).

Questa fase finirà non appena le due sfere avranno lo stesso potenziale. Questa condizione, insieme al fatto che la carica totale delle due sfere (assunto che siano isolate) si deve conservare, ci fornisce il modo di ricavare la carica ed il potenziale finale di ciascuna sfera.

' 2 ' 1 1 2 1

2 ' 2 1

' 1 ' 2 ' 1

2 Q Q Q

Q Q

R Q R V Q V















nC Q

nC Q

R Q R Q R R Q

R

Q R 2 ; 18 . 6 ; 38 . 6

2 ; _'

2 '

1 1

2 1 ' 2 2 1 2 1 ' 1

1  

 

 



R kV Q R

V Q

V 2 . 84

4 1 4

1

2 ' 2 0 1

' 1 0 '

2 '

1    





Alla fine troviamo la sfera 2 con una carica positiva maggiore di quella iniziale; infatti ha perso elettroni. La sfera 1 che li ha guadagnati ha, di conseguenza, una carica positiva minore di quella iniziale. Sapendo la carica di un elettrone ( 1 . 6  10 ^{ 19} C ) possiamo ricavare anche il numero di elettroni che si sono trasferiti da una sfera all’altra:

10 19

2

1 6 . 25 10

10 6 .

1  



  _



C

Q

N _e Q

2) Una sbarretta metallica di lunghezza L = 12 cm e resistenza trascurabile poggia su due binari paralleli ed orizzontali sui quali può scorrere senza attrito con velocità v = 5 m/s diretta verso destra e mantenuta costante da un operatore esterno. Alle due estremità delle rotaie sono poste le resistenze R 1 = 15  e R 2 = 33 . Tutto il sistema è immerso in un campo magnetico B = 0.7 T uniforme ed uscente dal piano del disegno.

a. Disegnare il sistema equivalente dal punto di vista elettrico, il verso delle correnti i 1 e i 2 , rispettivamente, sulle resistenze R 1 e R 2 e calcolarne il valore numerico.

b. Calcolare, per t = 0.5 s, la somma delle energie dissipate per effetto Joule sulle resistenze, il lavoro fatto dalla forza magnetica e quello fatto dall’operatore esterno.

La sbarretta metallica, avente resistenza trascurabile ma non nulla, separa il circuito costituito dai due binari e dalle resistenze in due circuiti più piccoli. Visto che essa si sta muovendo il flusso del campo magnetico B concatenato con queste due spire varia in funzione del tempo (B è costante, ma varia la superficie di ciascuna spira). In particolare, poiché la sbarretta si muove verso destra, il flusso concatenato con la spira a sinistra aumenta e quello concatenato con la spira a destra diminuisce. Dalla legge di Faraday ricaviamo quanto valgono le forze elettromotrici indotte nelle due spire. Indichiamo con D la distanza da resistenza a resistenza e consideriamo un asse di riferimento (asse x) parallelo alla direzione del moto della sbarretta:

f.e.m. indotta nella spira 1: BLv

dt t BL dx dt

t d _B







 



 ( ) ( )

 1

f.e.m. indotta nella spira 2: BLv

dt t x D BL d dt

t

d  _B    



 ( ) ( ( ))

 2

Poiché il flusso del campo magnetico relativo alla spira 1 sta aumentando, per la legge di Lenz, la corrente indotta deve dare luogo ad un campo magnetico opposto a B e cioè entrante nel foglio del disegno. La corrente i ₁ deve, quindi, fluire in senso orario. La corrente indotta nella spira 2, i ₂ , deve, invece, fluire in senso antiorario perché deve dare luogo ad un campo magnetico che si deve sommare a B. Il circuito elettrico equivalente è, quindi,

Il valore numerico delle correnti si ottiene dalla legge di Ohm (la resistenza della barretta è molto più piccola di R 1 e R 2 ):

R 1 R

B 2

L v

R ₁ R ₂

B L v

x(t)

spira 1 spira 2

R ₁ i R ₂

1 i ₂

D

O

 1  2

mA R A

i BLv

mA R A

i BLv

13 013 . 0

28 028

. 0

2 2

1 1













Se la resistenza della sbarretta non fosse stata trascurabile, per ricavare i valori delle correnti elettriche cercate avremmo dovuto applicare le leggi di Kirchoff al circuito equivalente sopra disegnato.

L’energia dissipata per effetto Joule in un resistore di resistenza R in cui fluisce una corrente elettrica i, nell’intervallo dt è data da Ri ² dt. L’energia dissipata nei due resistori R 1 e R 2 , per t = 0.5 s, è data da:

mJ R t

v L t B i R E

mJ R t

v L t B i R E

8 . 2

9 . 5

2 2 2 2 2

2 2

1 2 2 2 1

1 1





















Poiché la sbarretta si muove con velocità costante, la forza applicata dall’operatore esterno deve essere uguale ed opposta alla forza magnetica: F 

_m

 i L   B    ( i ₁  i ₂ ) LB x ˆ

, dove xˆ è il versore dell’asse x sopra disegnato. La forza magnetica tenderebbe a far spostare la sbarretta verso sinistra. Il lavoro fatto dalla forza magnetica nell’intervallo t, è, quindi,

 

 



 











2 1 2 2

2 1 1

R v R

L B t Fv W

_m

Il lavoro fatto dall’operatore esterno nello stesso intervallo è uguale ed opposto a questo (non ci può essere un lavoro netto diverso da zero sulla sbarretta, altrimenti varierebbe la sua energia cinetica):

mJ E

R E v R

L B t Fv W

W

_{ext m}

1 1

^{diss diss}

8 . 5

2 1

2 1 2 2

2    



 



 











Il lavoro dell’operatore esterno non va ad aumentare l’energia cinetica della sbarretta ma è uguale

all’energia totale dissipata nei due resistori.