1 + 1 2 A = b ⋅ h Ah Ab A = 5 cm ⋅ 4 cm = 20 cm = 20 cm b h = =

(1)

AREE DEI POLIGONI

1. RETTANGOLO

E’ un parallelogramma avente quattro angoli retti, i lati opposti uguali e paralleli, le diagonali uguali non perpendicolari che si scambiano vicendevolmente a metà.

Def. Area : moltiplico la misura della base (b) per quella dell’altezza (h)

A = b ⋅ h _{b =} ^A

h _{h =} ^A b

Se si considera un rettangolo con base di 5 cm e l’altezza di 4 cm, con unità di misura data dal cm², otteniamo la suddivisione del rettangolo in 20 quadrati di lato 1 cm:

A = 5cm ⋅ 4cm = 20cm

¹⁺¹

= 20cm

²

ES1: formula diretta

Un rettangolo ha il perimetro che misura 56 cm e la base è 5/2 dell’altezza. Calcola l’area del rettangolo

DISEGNO DATI INCOGNITA

PABCD= 56 cm ? = AABCD

AB = 5/2 CD RISOLVO

n° SU = 5 seg + 2 seg + 5 seg + 2 seg =14 seg SU = 56 : 14 = 4 cm

AB = 5 ⋅ 4 = 20 cm CD = 2 ⋅ 4 = 8 cm

AABCD = b ⋅ h = 20 ⋅ 8 = 160 cm²

ES2: formula inversa

Un rettangolo ha l’area di 250 cm² e la base misura 25 cm. Calcola l’altezza del rettangolo.

AB = 25 cm ? = CD AABCD = 250 cm²

RISOLVO CD = A/b = 250 / 25 = 10 cm

(2)

E’ un rettangolo avente i 4 lati uguali, le diagonali uguali e perpendicolari che si scambiano vicendevolmente a metà.

E’ quindi equilatero ed equiangolo e per questo motivo è definito “regolare”.

Il raggio r del cerchio inscritto equivale alla metà del lato del quadrato;

il raggio R del cerchio circoscritto equivale alla metà della diagonale del quadrato.

• Il quadrato è considerato un rettangolo avente base ed altezza uguali Def. Area : moltiplico la misura di un lato (l) per quella dell’altro lato (l)

A = l ⋅ l = l

²

l = A

Un quadrato ha il perimetro che misura 64 cm. Calcola l’area del quadrato.

PABCD= 64 cm ? = AABCD

RISOLVO AB = PABCD : 4 = 16 cm

AABCD = l ⋅ l = 16 ⋅ 16 = 256 cm²

Un quadrato ha l’area che misura 400 cm². Calcola l’area di un rettangolo isoperimetrico al quadrato ed avente l’altezza di 10 cm.

AABCD= 400 cm² ? = AEFGH

RISOLVO

AB = A = 400^{= 20 cm} PABCD = 4 ⋅ 20 = 80 cm EF= 80 − 10 + 10( )

2

=30 cm AA = b ⋅ h = 10 ⋅ 30 = 300 cm²

(3)

• Il quadrato è considerato un rombo avente le due diagonali uguali

Def. Area : moltiplico la misura di una diagonale (d) per quella dell’altra diagonale (l) e poi divido per 2

A = d ⋅ d 2 = d

²

2 d = A ⋅ 2

ES1: formula alternativa diretta

Un quadrato ha la diagonale che misura 12 cm. Calcola l’area del quadrato

AC = 12 cm ? = AABCD

RISOLVO

AABCD = d² 2 =12²

2 =144

2 =^{72 cm}

ES1: formula alternativa inversa

Un quadrato ha l’area che misura 200 cm². Calcola l’area di un rettangolo avente la base congruente alla diagonale del quadrato e l’altezza di 12 cm.

AABCD= 200 cm² ? = AEFGH

RISOLVO AC = A ⋅ 2 = 200 ⋅ 2 = 400^{= 20 cm}

AA = b ⋅ h = 12 ⋅ 20 = 240 cm²

(4)

E’ un trapezio avente i lati obliqui paralleli e le basi congruenti e parallele. Gli angoli opposti sono uguali, le diagonali sono uguali ma non perpendicolari e si scambiano vicendevolmente a metà.

Il parallelogramma è considerato un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza:

Def. Area : moltiplico la misura della base (b) per quella dell’altezza (h)

A = b ⋅ h

b = A

h

h = A b

Un parallelogramma ha la base che misura 15 cm e l’altezza relativa alla base misura 12 cm. Calcola la misura del lato obliquo sapendo che l’altezza relativa a essa misura 18 cm.

DH = 12 cm ? = BC AB = 15 cm

DK = 18 cm RISOLVO

AABCD = b ⋅ h = 15 ⋅ 12 = 180 cm² BC = 180 : 18 = 10 cm

Un rettangolo ha la base che misura 12 cm e l’altezza che misura 20 cm ed è equivalente ad un parallelogramma avente la base che misura 40 cm. Calcola l’altezza del parallelogramma.

AB = 12 cm ? = LH CD = 20 cm

EF = 40 cm

RISOLVO AABCD =12 ⋅ 20 = 240 cm²

LH = A / b = 240 : 40 = 6 cm

(5)

4. ROMBO

E’ un parallelogramma equilatero, con le diagonali perpendicolari non congruenti che si scambiano a metà a vicenda, gli angoli opposti sono uguali e quelli adiacenti ad uno stesso lato sono supplementari.

• Il parallelogramma è considerato la metà di un rettangolo avente la base congruente a una diagonale e l’altezza congruente all’altra diagonale:

Bisogna costruire i vertici del rombo nel punto medio dei lati del rettangolo.

Def. Area : moltiplico la misura della diagonale minore (d) per quella della diagonale maggiore (D) e divido il risultato per 2

A = D ⋅ d

2 d = A ⋅ 2

D

D = A ⋅ 2 d

• Il rombo è considerato un parallelogramma che ha per base il lato (si appoggia su un lato)

Def. Area : moltiplico la misura del lato (l) per quella dell’altezza (h)

A = l ⋅ h

l = A

h

h = A

l

(6)

Un rombo ha il lato che misura 15 cm e l’altezza relativa ad esso che misura 12 cm. Calcola l’area del rombo

DH = 12 cm ? = AABCD

AB = 15 cm

RISOLVO AABCD = b ⋅ h = 15 ⋅ 12 = 180 cm²

ES2: formula diretta (rombo) e inversa (parallelogramma)

Un rombo ha le diagonali che misurano 24 cm e 18 cm. Sapendo che il lato misura 7,5 cm; calcola la misura dell’altezza relativa al lato.

AC = 24 cm ? = DH BD = 18 cm

AB = 7,5 cm

RISOLVO

AABCD = D ⋅ d

2 = 24 ⋅18 2

= 216 cm²

DH = A l =216

7, 5

= 28,8 cm

IMP - se l’area nella formula diretta si divide per 2, nella formula inversa la prima cosa da fare è moltiplicare l’area per 2

(7)

5. TRIANGOLO

E’ una figura geometrica indeformabile, avente 3 lati, 3 angoli e nessuna diagonale. Sono classificati in base ai lati e ai vertici.

• Il triangolo è considerato la metà di un parallelogramma avente la base congruente alla base del parallelogramma e l’altezza congruente all’altezza del parallelogramma:

Def. Area: moltiplico la misura della base (b) per quella dell’altezza (h) e divido il risultato per 2.

A = b ⋅ h

2 h = A ⋅ 2

b

b = A ⋅ 2 h

ES1: formula diretta e inversa

Un triangolo isoscele acutangolo ha la base che misura 6/5 del lato obliquo e il perimetro che misura 48 cm.

L’altezza relativa alla base misura 12 cm. Calcola la base di un triangolo acutangolo scaleno equivalente al triplo del triangolo isoscele e avente l’altezza di 24 cm.

AB = 6/5 AC ? = A’C’

BD = 12 cm AABC= 3AA’B’C’

PABC= 48 cm

RISOLVO

SU = 6 seg + 5 seg + 5seg = 16 seg 48 :16 = 3 cm

AB = 3 x 6 = 18 cm

AABCD = b ⋅ h 2 =18 ⋅12

2 = 108cm² AA’B’C’= 108 ⋅ 3 = 324 cm²

B’D’ = A ⋅ 2 h =324 ⋅ 2

24 = 27cm

(8)

E’ un quadrilatero avente due lati paralleli. Le diagonali non sono perpendicolari né congruenti, e non si scambiano a metà a vicenda. Gli angoli sono differenti ma quelli adiacenti ad uno stesso lato sono supplementari.

Il trapezio è considerato un triangolo avente per base la somma delle basi e per altezza la stessa altezza.

Per dimostrare tale equivalenza, si prolunga la base maggiore verso destra e poi si traccia la retta incidente ad essa passante per il punto medio del lato obliquo e uscente dal vertice non adiacente al lato obliquo stesso e alla base maggiore.

Def. Area : moltiplico la misura della somma delle basi per l’altezza e divido il risultato per 2

A = b ⋅ h

2 = (B + b) ⋅ h

2 h = A ⋅ 2

(B + b)

(B + b) = A ⋅ 2 h

IMP - le basi non possono essere mai calcolate separatamente attraverso queste formule, solo conoscendo i segmenti unitari o conoscendo la misura di una delle due io passo calcolarle separate. La parentesi tonda non mi permette di dividerle

b

_tria

= B

_trap

+ b

_trap

(9)

ES1: formula diretta e inversa

Due trapezi hanno l’area uno il triplo dell’altro e le altezze congruenti. Il primo (più piccolo) ha le basi che misurano rispettivamente 12 cm e 18 cm e l’altezza misura 8 cm. Calcola le basi del secondo trapezio sapendo che sono una i 7/2 dell’altra.

AEFGL = 3 AABCD ? = EF AB = 18 cm ? = GL CD = 12 cm

DH = LK = 8 cm EF = 7/2 GL

RISOLVO AABCD = (B + b) ⋅ h

2 =(18 + 12) ⋅ 8 2

= 120 cm²

AEFGL = A ⋅ 3 = 120 ⋅ 3^{= 360 cm}²

(EF + GL) = A ⋅ 2

h =360 ⋅ 2

8 ^{= 90 cm}

n° SU = 7 seg + 2 seg = 9 seg

SU = 90 : 9 = 10 cm

EF = 10 ⋅ 7 = 70 cm

GL = 10 ⋅ 2 = 20 cm