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COGNOME NOME matr.

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Academic year: 2021

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COGNOME NOME matr.

o sigla

Firma studente

1 2 3 4 5 6 Totale

5 4 5 6 5 5 30

EA AM1 A

Analisi Matematica 1 — 29 giugno 2009

Esercizio 1

Determinare un valore approssimato di √

3

e, con un errore inferiore a 10 −4 , utilizzando un polinomio di Taylor centrato nel punto x = 0.

Valore approssimato Calcoli

Esercizio 2

Calcolare l’area della regione piana limitata racchiusa inferiormente dalla curva di equazione y = 4x 3 − 25x 2 + 16x + 27

e superiormente dalla parabola di equazione

y = −x 2 + 4x − 13

Area Calcoli

1

(2)

Esercizio 3

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale:

yy 0 = (y 2 − 1) cos t Indicare l’integrale generale e gli eventuali integrali singolari.

Determinare inoltre quella che soddisfa la seguente condizione iniziale y(0) = −2

Integrale generale

Soluzione particolare Calcoli

2

(3)

Esercizio 4

Studiare la funzione

y = f (x) = 2 − (x 2 − 3x + 4) √ e x−2 In particolare, determinare:

1. il campo di esistenza 2. i limiti ai bordi del campo di esistenza 3. la derivata prima

4. gli intervalli di crescenza e decrescenza 5. i punti stazionari 6. la derivata seconda

7. gli intervalli di concavit` a e convessit` a 8. i punti di flesso 9. il grafico qualitativo della funzione

Determinare inoltre l’equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 3.

Campo esistenza Limiti

Derivata prima

Int. cresc. decresc. P.ti stazionari

Derivata seconda

Interv. conc. conv. Punti flesso

Retta tangente Calcoli e grafico

3

(4)

Esercizio 5

Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale:

y 00 − 2y 0 + y = te t Determinare inoltre la soluzione che soddisfa le seguenti condizioni

y(0) = 1 y 0 (1) = 2

Integrale generale

Soluzione particolare Calcoli

Esercizio 6

Trovare per quali valori del parametro reale x la seguente serie converge:

∞

X

n=1

4 n

n 2 + 1 (x 2 − 4x) −n

Conv. ass. Non conv.

Conv. sempl. non ass.

Calcoli

4

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