Esame di ALGEBRA E LOGICA 03 Febbraio 2014

Esame di ALGEBRA E LOGICA 03 Febbraio 2014

COGNOME: NOME: MATR.:

AVVERTENZA: -1. TRATTARE GLI ARGOMENTI CON ORDINE ED IN MODO LOGICO.

-2) ALLEGARE I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO.

-3. LA PROVA ORALE SI DOVRA’ SOSTENERE ALLA DATA PRO- GRAMMATA.

PROBLEMA 1. Siano f , g due funzioni definite su R a valori in R.

-a) Si definisca la funzione composta f ◦ g.

-b) Sappendo che la funzione composta f ◦ g e’ una funzione biunivoca, si dimostri che g e’ una funzione iniettiva e f e’ una funzione suriettiva

-c) Sappendo che la funzione composta f ◦ g e’ una funzione biunivoca, si dimostri, oppure si dia un contra-esempio del fatto che g e’ una funzione suriettiva e f e’ una funzione iniettiva.

PROBLEMA 2. a) Formulare gli assiomi di Peano.

-b) Si definisca la somma di numeri naturali.

-c) Si dia la definizione di semi-gruppo con cancellazione.

-d) Si dia un esempio di semi-gruppo senza cancellazione.

PROBLEMA 3. -a) Utilizzando l’algoritmo di Euclide si trovi il massimo comune divisore dei numeri 675 e 1125, M CD( 675, 1125 )

-b) Si trovino due numeri interi α e β tali che

675.α + 1125.β = M CD( 675, 1125 ). (1) -c) Si trovino due numeri interi α

e β

(se esistono) tali che

675.α

+ 1125.β

= 2835. (2)

PROBLEMA 4. Siano

P = p 0 + p 1 X + p 2 X ² + ... (3) e

Q = q 0 + q 1 X + q 2 X ² + ... (4) due polinomi arbitrari a coefficienti reali. I polinomi P e Q si definiscano in relazione ∼, i.e. P ∼ Q, se e solo se p

(X) = q

(X), cioe’ se hanno le derivate del primo ordine uguali. ( Si ricorda che

P

(X) = p 1 X + 2p 2 X ² + 3p 3 X ² + ...) (5)

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-a) Si dimostri che ∼ e’ una relazione di equivalenza.

-b) Si indichi la forma degli elementi che compongono una qualsisi classe di equivalenza di ∼.

-c) Si dimostri che la relazione di equivalenza e’ compatibile con l’operazione si somma di polinomi.

-d) Si chiede di dimostrare o negare (con dimostrazione) il fatto che ∼ e’

compatibile con la struttura di prodotto sullo spazio dei polinomi a’ coefficienti reali.

-d) Si definisca la struttura di gruppo abeliano sull’insieme delle classi di equivalenza di ∼.

PROBLEMA 5. -a) Si dia la definizione dell’anello Z 35 . -b) Si trovi un sotto-gruppo H di Z 35 che abbia 7 elementi;

-c) Si determini, con dimostrazione, il gruppo quoziente Z 35 /H.

-d) Si dica se Z 35 e’ un campo. Spiegare la risposta.

PROBLEMA 6.

Sia M un’insieme non vuoto. Siano P e Q due proprieta’.

Si sa’ che nessun elemento dell’insieme M ha la proprieta’ P , mentre sola- mente 5 elementi di M hanno la proprieta’ Q.

Si dica, per ciascune delle proposizioni di cui sotto, se la proposizione e’ vera oppure se e’ falsa.

-a) Preso un qualsiasi elemento x ∈ M , l’elemento x non ha la proprieta’ P , pero’ non ha la proprieta’ Q.

-b) Preso un qualsiasi elemento x ∈ M , l’elemento x non ha la proprieta’ P e ha la proprieta’ Q.

-c) Non esiste alcun elemento x ∈ M , tale che l’elemento x non abbia la proprieta’ P .

-d) Nell’insieme M esiste almeno un’elemento x ∈ M , tale che l’elemento x abbia la proprieta’ P e la proprieta’ Q.

-e) Nell’insieme M esistono almeno 3 elementi x ∈ M , tale che l’elemento x non abbia la proprieta’ P ed ha la proprieta’ Q.

-e) Nell’insieme M esistono almeno 7 elementi x ∈ M , tale che l’elemento x non abbia la proprieta’ P ma ha la proprieta’ Q.

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