Esame di ALGEBRA E LOGICA 16 Giugno 2014
COGNOME: NOME: MATR.:
AVVERTENZA: -1. TRATTARE GLI ARGOMENTI CON ORDINE ED IN MODO LOGICO.
-2) ALLEGARE I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO.
-3. LA PROVA ORALE SI DOVRA’ SOSTENERE ALLA DATA PRO- GRAMMATA.
PROBLEMA 1. -a) Sia F : M −→ N una funzione iniettiva. Sia ¯N un’insieme tale che N ⊂ ¯N . Sia ¯f : M −→ ¯N la funzione cosi’ definita: per ogni m ∈ M , ¯f (m) = f (m).
Si affermi, con dimostrazione, se la funzione ¯f e’, oppure non e’, iniettiva.
-b) Supponendo che la funzione f sia una corrispondenza bi-univoca, sotto quali condizioni la funzione ¯f e’ una funzione bi-univoca ? La risposta dovra’
essere data insieme ad una dimostrazione.
-c) Sotto quali condizioni la funzione ¯f e’ una funzione suriettiva ? Dare la risposta insieme ad una dimostrazione.
PROBLEMA 2. Siano A, B, C tre sotto-insiemi dell’insieme M . Si dimostri l’identita’ di De Morgan
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (1) PROBLEMA 3. Utilizzando l’algoritmo di Euclide si trovi il massimo comune divisore dei numeri 72 e 252.
PROBLEMA 4. Sia M l’insieme R × R.
Sull’insieme M si definisce la relazione (a, b) ≡ (c, d) se e solo se a+b = c+d.
-a) Si affermi, con dimostrazione, se ≡ e’ una relazione di equivalenza.
-b) Se ≡ e’ una relazione di equivalenza, si dia una descrizione dell’insieme delle classi di equivalenza M/ ≡.
PROBLEMA 5. -a) Si diano tre definizioni equivalenti del sottogruppo nor- male H del gruppo G e si dimostri la loro equivalenza.
-b) Si definisca il gruppo quoziente G/H.
-c) Si definisca la proiezione canonica π : G −→ G/H.
-d) Si dimostri che π e’ un’omomorfismo di gruppi.
PROBLEMA 6. Sia M un’insieme. Si sa’ che nell’insieme M ci sono quattro elementi che hanno la proprieta’ P .
Si dica, per ciascune delle proposizioni di cui sotto, se la proposizione e’ vera oppure se e’ falsa.
-a) Preso un qualsiasi elemento x ∈ M , l’elemento x ha la proprieta’ P .
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-b) Presi quattro elementi dell’insieme M , questi elementi hanno la proprieta’
P .
-c) Nell’insieme M non esistono cinque elementi che hanno la proprieta’ P . -d) Nell’insieme M esiste senz’altro almeno un’elemento x ∈ M , tale che l’elemento x abbia la proprieta’ P .
-e) L’insieme M potrebbe essere vuoto.
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