Esame di ALGEBRA E LOGICA 25 GIUGNO 2014
COGNOME: NOME: MATR.:
AVVERTENZA: -1. TRATTARE GLI ARGOMENTI CON ORDINE ED IN MODO LOGICO.
-2) ALLEGARE I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO.
-3. LA PROVA ORALE SI DOVRA’ SOSTENERE ALLA DATA PRO- GRAMMATA.
PROBLEMA 1. Si diano due definizioni equivalenti di funzione invertibile e si dimostri la loro equivalenza.
PROBLEMA 2. Sia M un’insieme di numeri.
-a) Si dica se l’insieme M e’ necessariamente numerabile. Se e’ vero o falso, si dia un’esempio.
-b) Sia N l’insieme dei numeri interi positivi che si trovano sui due assi di co- ordinate del piano cartesiano R × R. Si dimostri che l’insieme N e’ un’insieme numerabile.
PROBLEMA 3. Utilizzando l’algoritmo di Euclide si trovi il massimo comune divisore dei numeri 216 e 252.
PROBLEMA 4. Sia R[x] l’insieme dei polinomi a coefficienti reali. Due polinomi P e Q si dice che sono in relazione ≡, P ≡ Q, se e solo se le loro derivate del primo ordine sono uguali.
-a) Si affermi, con dimostrazione, se ≡ e’ una relazione di equivalenza.
-b) Se ≡ e’ una relazione di equivalenza, si dia una descrizione dell’insieme delle classi di equivalenza ≡ su R[x].
PROBLEMA 5. Si enunci e si dimostri il teorema di isomorfimo dei gruppi generali.
PROBLEMA 6. Si da l’insieme M . Si sa’ che l’insieme M ha 11 elementi.
Si sa’ che esattamente 6 elementi dell’insieme M hanno la proprieta’ P , mentre gli altri no’.
-a) Preso a caso un sotto insieme N costituito da 8 elementi dell’insieme M , si dica quale e’ il numero minimo e massimo di elementi dell’insieme N che potrebbero avere la proprieta’ ’ P .
Si dica, per ciascune delle proposizioni di cui sotto, se la proposizione e’ vera oppure se e’ falsa.
-b) L’insieme M potrebbe essere vuoto.
-c) Presi 5 elementi arbitrari dell’insieme M , nessuno di loro ha la proprieta’
P .
-d) Presi 6 elementi arbitrari dell’insieme M , nessuno di loro ha la proprieta’
P .
1
-e) Presi 6 elementi arbitrari dell’insieme M , almeno uno di loro ha la pro- prieta’ P .
-f) Presi 7 elementi arbitrari dell’insieme M , almeno uno di loro ha la pro- prieta’ P .
2
