Stage di Acireale - Esercitazione Teoria dei Numeri

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Esercizi di Teoria dei Numeri

1. **Determinare tutte le soluzioni di interi relativi a,b: 𝑎

+ 𝑏

= 91 2. **Determinare tutte le coppie tali che A) 𝑛

− 2

= 1 B) 𝑛

− 2

= −1 3. **Determinare tutte le terne di interi x,y,z tali che 45𝑥𝑦

= 8𝑧

, 𝑥𝑦𝑧 < 1000

4. *I numeri 𝑎, 𝑏 sono interi positivi. Qual è il minimo valore positivo di 𝑎 + 𝑏 affinche 21𝑎𝑏

e 15𝑎𝑏 siano entrambi quadrati perfetti?

5. ***Determinare tutti i valori di n,m e p tali che 𝑝

+ 144 = 𝑚

6. **Determinare tutte le coppie di interi positivi (n,m) tali che

+

−

=

7. **Trovare il più piccolo intero positive che si può scrivere come somma di 5,6,7 interi consecutivi 8. **Sia n un quadrato perfetto non multiplo di 3 la cui espressione decimale termina con 4. Calcolare

il resto di n modulo 15

9. *Determinare la congruenza di 3

𝑚𝑜𝑑 7

10. **Dimostrare che l’equazione 3𝑥

− 2𝑦

= 1998 non ha soluzioni intere

11. **Per ogni intero positivo 𝑛, sia 𝑑

il massimo comun divisore tra 100 + 𝑛

e 100 + (𝑛 + 1)

Determinare il massimo valore possibile per 𝑑

.

12. *Determinare tutti gli interi n per cui 𝑛

− 7𝑛 + 19 è divisibile per 𝑛 – 3 13. **Determinare tutte le coppie (m, n) di interi positivi tali che

+

= 1

14. **Determinare se esistono terne (𝑥, 𝑦, 𝑧) di numeri interi tali che 𝑧

= (𝑥

− 1)(𝑦

+ 1) + 2007 15. ***Determinare tutte le coppie (𝑎, 𝑏) di interi non negativi per cui 6

+ 2

+ 2 risulta un

quadrato perfetto

*Facile

**Medio

***Difficile o non trattato a lezione

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Soluzioni Esercizi di Teoria dei Numeri

1. (6, −5) (−5,6) (3,4) (4,3). Scompongo e faccio gli 8 casi 2. A) (3,3) Scomposizione. B) (0,0) e (1,1). Modulo 4 3. (6,10,15) Ragionare sui fattori contenuti in 𝑥, 𝑦, 𝑧 4. 56 Ragionare sui fattori contenuti in 𝑎, 𝑏

5. (13,2,5) (20,8,2) (15,4,3) scomposizione 6. (3,10) (4,5) (10,3) (5,4) scomposizione 7. 105 ragionare sui divisori del numero 8. 4 Bezout

9. 4 proprietà delle congruenze 10. Modulo 3.

11. Divisione fra polinomi e algoritmo di Euclide. 401 per n=200 12. -4, 2, 4, 10 Divisione fra polinomi

13. Divisione fra polinomi. (18,6) (8,8) (6,10) (4,20) 14. No. Modulo 8.

15. Congruenza modulo 4, allora o a=.. o b=… Nel primo caso b<3 perché sennò…Nel secondo caso

modulo 7. (0,0) (1,0) (1,3)