Esercitazione di Matematica del 27 agosto 2018 Analisi Matematica Si calcolino i seguenti limiti:

Gianluca Ferrari A.S. 2017/2018 Classe 4ªC ITT

Esercitazione di Matematica del 27 agosto 2018

Analisi Matematica

Si calcolino i seguenti limiti:

1. lim

𝑥→2

𝑥³ − 𝑥² − 2𝑥 𝑥³ − 6𝑥²+ 12𝑥 − 8 2. lim

𝑥→0

𝑥²cos 𝑥 2 − 2 cos 𝑥 3. lim

𝑥→0

tg 𝑥 + 2𝑥 sen 𝑥 − 𝑥²

4. lim

𝑥→+∞(𝑥 + 10

𝑥 )

𝑥2

5. lim

𝑥→0

ln(1 + 𝑥)² sen 𝑥

Si rappresentino i grafici probabili delle seguenti funzioni:

6. 𝑓(𝑥) = √𝑥²− 9𝑥 𝑥 7. 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥+ 3

𝑒^𝑥− 1 Goniometria

Si risolvano le seguenti disequazioni goniometriche:

8. 2 sen²𝑥 + 3√2 sen 𝑥 < 4

9. 4 sen²𝑥 − √3 sen 𝑥 cos 𝑥 + cos²𝑥 − 1 > 0 10. sen 2𝑥

sen 𝑥 − √3 cos 𝑥 ≤ 0 11. tg 𝑥 − tg²𝑥

2 sen 𝑥 − 1 ≥ 0

Gianluca Ferrari A.S. 2017/2018 Classe 4ªC ITT

12. Le misure dei lati del trapezio scaleno 𝐴𝐵𝐶𝐷 sono: base maggiore 𝐴𝐵 = 60, base minore 𝐶𝐷 = 20, lati obliqui 𝐵𝐶 = 20√3 e 𝐴𝐷 = 20. Si determinino gli angoli del trapezio, la sua area e la misura delle sue diagonali.

13. Si determinino i lati 𝐴𝐶 e 𝐶𝐵 nel triangolo 𝐴𝐵𝐶 in cui sono noti: 𝐴𝐵 = 10 𝑐𝑚, 𝐵𝐴̂𝐶 = 45°, 𝐴𝐵̂𝐶 = 30°. Si consideri inoltre un punto 𝑃 appartenente al lato 𝐴𝐶 e, posto 𝑃𝐵̂𝐴 = 𝑥, si risolva l’equazione

𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 = 5

3√2(3 + √3)

Si esprima poi la funzione 𝑓(𝑥) =^10√2_𝑃𝐴 e si rappresenti su un periodo completo, indipendentemente dal problema geometrico.

14. Si risolva il generico triangolo 𝐴𝐵𝐶, noti gli elementi indicati.

𝑎 = 2√3 ; 𝑏 = 2√2 ; 𝑐 = √2 + √6 ; Si calcoli inoltre l’area del triangolo in questione.

Esercizio facoltativo

15. Sia data la funzione

𝑓(𝑥) = {

1 − 𝑥 𝑝𝑒𝑟 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 0 𝑒^𝑥2 − 1

𝑥 sen 𝑥 𝑝𝑒𝑟 0 < 𝑥 ≤ 1 Si dica se essa è continua nel punto 𝑥 = 0.

Gianluca Ferrari A.S. 2017/2018 Classe 4ªC ITT

Soluzioni:

1. 𝑅: [+∞]

2. 𝑅: [1]

3. 𝑅: [3]

4. 𝑅: [𝑒⁵] 5. 𝑅: [2]

8. 𝑅: [2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋

4 + 2𝑘𝜋 ∨3

4𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 2𝜋 + 2𝑘𝜋]

9. 𝑅: [−𝜋

2 + 𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 𝑘𝜋 ∨𝜋

6+ 𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 𝜋

2+ 𝑘𝜋]

10. 𝑅: [2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋

3+ 2𝑘𝜋 ∨𝜋

2+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨4

3𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥

≤3

2𝜋 + 2𝑘𝜋]

11. 𝑅: [(𝜋

6+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 𝜋

4+ 2𝑘𝜋 ∨5

6𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨5

4𝜋 + 2𝑘𝜋

≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 + 2𝑘𝜋) ∧ 𝑥 ≠ 3

2𝜋 + 2𝑘𝜋]

12. 𝑅: [𝐴̂ = 60° ; 𝐵̂ = 30° ; 𝐶̂ = 150° ; 𝐷̂ = 120° ; 𝐴 = 400√3 ; 𝑑₁

= 20√7 ; 𝑑₂ = 20√3]

13. 𝑅: [𝐴𝐶 = 5(√6 − √2) 𝑐𝑚 ; 𝐶𝐵 = 10(√3 − 1) 𝑐𝑚 ; 𝑥 = 15° ; 𝑓(𝑥)

= cotg 𝑥 + 1]

14. 𝑅: [𝛼 =𝜋

3 ; 𝛽 = 𝜋

4 ; 𝛾 = 5 12𝜋]

15. 𝑅: [𝑆ì, 𝑓 è 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑖𝑛 𝑥 = 0]