Esame di geometria 1 — 28 Gennaio 2019

(1)

Esame di geometria 1 — 28 Gennaio 2019

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

Mi avvalgo dell’esonero Intendo sostenere l’orale nell’appello di: GENNAIO FEBBRAIO 1. Sia R[x]

≤3

lo spazio dei polinomi di grado al massimo 3 a coeﬃcienti reali. Sia

V

_h

:= {p(x) ∈ R[x]

≤3

| p(x) = (x + h)p

^′

(x) } , dove p

^′

(x) ` e la derivata prima del polinomio p(x) e h ∈ R.

(a) Dimostrare che, per ogni h, V

_h

` e un sottospazio vettoriale di R[x]

_≤3

, e determinarne la dimensione e una base.

(b) Sia W

_h

= V

_h

+ ⟨x

³

+ x

²

+ x, x

³

+ x

²

+ 2x + 3 ⟩; determinare, per ogni h, una base e la dimensione di W

_h

.

(c) Sia U

k

= ⟨4x

²

+ 2kx + 1, x

³

− x

²

, 3x

³

+ x

²

+ 3x + 3, x

³

+ 3x

²

+ (1 + k)x + 1 ⟩; al variare di k, stabilire la dimensione e una base di U

_k

.

(d) Posto k = 1, determinare, per ogni h, la dimensione e una base A

h

di U

₁

∩ W

h

, e completarla a una base B

h

di U

₁

+ W

_h

.

2. Si consideri l’endomorﬁsmo Φ

r

: M

2

( R) → M

2

( R), deﬁnito da [ 1 1

0 1 ]

7→

[ 0 3

r − 1 0 ]

,

[ 1 1 1 0

] 7→

[ −r 0

2r − 3 0 ]

,

[ 1 0 0 1

] 7→

[ 0 4

r − 1 0 ]

,

[ 1 1 0 0

] 7→

[ −r −1

r − 1 0 ]

,

con r ∈ R parametro.

(a) Determinare la matrice rappresentativa M

_K

(Φ

_r

), rispetto alla base K :=

{[ 1 0 0 0

] ,

[ 0 1 0 0

] ,

[ 0 0 1 0

] ,

[ 0 0 0 1

]}

.

(b) Discutere la diagonalizzabilit` a di Φ

_r

, in dipendenza dal parametro r.

(c) Per r = 1, determinare una base di un autospazio relativo a un autovalore non regolare di Φ

₁

.

3. Nello spazio aﬃne A

⁴

sia λ la retta passante per i punti P

₀

= (1, 1, 0, 0) e P

₁

= (0, 0, 3, 1) e, al variare di ℓ ∈ R, sia θ

ℓ

la retta passante per i punti Q

₀

= (ℓ, ℓ, ℓ − 3, ℓ − 3) e Q

1

= ( −1, −1, ℓ + 3, ℓ − 1).

(a) Si studino, al variare di ℓ ∈ R le posizioni reciproche di λ e θ

ℓ

.

(b) Sia Ω

_ℓ

lo spazio aﬃne congiungente λ e θ

_ℓ

. Si discuta la dimensione di Ω

_ℓ

al variare di ℓ ∈ R. Si calcoli l’equazione cartesiana di Ω

1

.

(c) Per quali ℓ ∈ R si ha che l’origine O = (0, 0, 0, 0) appartiene a Ω

ℓ

?

(d) Posto ℓ = 1, siano Λ e Θ i piani entrambi passanti per O = (0, 0, 0, 0) e contenenti rispettivamente le rette λ e θ

₁

. Che dimensione ha Λ ∩Θ? Determinarne un’equazione parametrica.

Metaﬁsico

(2)

Esame di geometria 1 — 28 Gennaio 2019

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

Mi avvalgo dell’esonero Intendo sostenere l’orale nell’appello di: GENNAIO FEBBRAIO 1. Sia R[x]

≤3

lo spazio dei polinomi di grado al massimo 3 a coeﬃcienti reali. Sia

V

_h

:= {p(x) ∈ R[x]

≤3

| p(x) = (x − h)p

^′

(x) } , dove p

^′

(x) ` e la derivata prima del polinomio p(x) e h ∈ R.

(a) Dimostrare che, per ogni h, V

_h

` e un sottospazio vettoriale di R[x]

_≤3

, e determinarne la dimensione e una base.

(b) Sia W

_h

= V

_h

+ ⟨x

³

+ x

²

+ x, x

³

+ x

²

+ 2x + 3 ⟩; determinare, per ogni h, una base e la dimensione di W

_h

.

(c) Sia U

k

= ⟨4x

²

+ 2kx + 1, x

³

− x

²

, 3x

³

+ x

²

+ 3x + 3, x

³

+ 3x

²

+ (1 + k)x + 1 ⟩; al variare di k, stabilire la dimensione e una base di U

_k

.

(d) Posto k = 1, determinare, per ogni h, la dimensione e una base A

h

di U

₁

∩ W

h

, e completarla a una base B

h

di U

₁

+ W

_h

.

2. Si consideri l’endomorﬁsmo Φ

r

: M

2

( R) → M

2

( R), deﬁnito da [ 0 1

1 1 ]

7→

[ r − 1 0

0 3

] ,

[ 1 0 1 1

] 7→

[ 2r − 3 0

−r 0

] ,

[ 0 1 1 0

] 7→

[ r − 1 0

0 4

] ,

[ 0 0 1 1

] 7→

[ r − 1 0

−r −1

] ,

con r ∈ R parametro.

(a) Determinare la matrice rappresentativa M

_K

(Φ

_r

), rispetto alla base K :=

{[ 1 0 0 0

] ,

[ 0 1 0 0

] ,

[ 0 0 1 0

] ,

[ 0 0 0 1

]}

.

(b) Discutere la diagonalizzabilit` a di Φ

_r

, in dipendenza dal parametro r.

(c) Per r = 1, determinare una base di un autospazio relativo a un autovalore non regolare di Φ

₁

.

3. Nello spazio aﬃne A

⁴

sia λ la retta passante per i punti P

₀

= (1, 0, 0, 1) e P

₁

= (0, 3, 1, 0) e, al variare di ℓ ∈ R, sia θ

ℓ

la retta passante per i punti Q

₀

= (ℓ, ℓ − 3, ℓ − 3, ℓ) e Q

1

= ( −1, ℓ + 3, ℓ − 1, −1).

(a) Si studino, al variare di ℓ ∈ R le posizioni reciproche di λ e θ

ℓ

.

(b) Sia Ω

_ℓ

lo spazio aﬃne congiungente λ e θ

_ℓ

. Si discuta la dimensione di Ω

_ℓ

al variare di ℓ ∈ R. Si calcoli l’equazione cartesiana di Ω

1

.

(c) Per quali ℓ ∈ R si ha che l’origine O = (0, 0, 0, 0) appartiene a Ω

ℓ

?

(d) Posto ℓ = 1, siano Λ e Θ i piani entrambi passanti per O = (0, 0, 0, 0) e contenenti rispettivamente le rette λ e θ

₁

. Che dimensione ha Λ ∩Θ? Determinarne un’equazione parametrica.

Pon

(3)

Esame di geometria 1 — 28 Gennaio 2019

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

Mi avvalgo dell’esonero Intendo sostenere l’orale nell’appello di: GENNAIO FEBBRAIO 1. Sia R[x]

≤3

lo spazio dei polinomi di grado al massimo 3 a coeﬃcienti reali. Sia

V

_h

:= {p(x) ∈ R[x]

≤3

| p(x) = (x + h)p

^′

(x) } , dove p

^′

(x) ` e la derivata prima del polinomio p(x) e h ∈ R.

(a) Dimostrare che, per ogni h, V

_h

` e un sottospazio vettoriale di R[x]

_≤3

, e determinarne la dimensione e una base.

(b) Sia W

_h

= V

_h

+ ⟨x

³

+ x

²

+ x, x

³

+ x

²

+ 2x + 2 ⟩; determinare, per ogni h, una base e la dimensione di W

_h

.

(c) Sia U

k

= ⟨4x

²

+ 2kx + 1, x

³

− x

²

, 3x

³

+ x

²

+ 3x + 3, x

³

+ 3x

²

+ (1 + k)x + 1 ⟩; al variare di k, stabilire la dimensione e una base di U

_k

.

(d) Posto k = 1, determinare, per ogni h, la dimensione e una base A

h

di U

₁

∩ W

h

, e completarla a una base B

h

di U

₁

+ W

_h

.

2. Si consideri l’endomorﬁsmo Φ

r

: M

2

( R) → M

2

( R), deﬁnito da [ 1 1

1 0 ]

7→

[ 3 0

0 r − 1 ]

,

[ 1 1 0 1

] 7→

[ 0 −r 0 2r − 3

] ,

[ 0 1 1 0

] 7→

[ 4 0

0 r − 1 ]

,

[ 1 1 0 0

] 7→

[ −1 −r

0 r − 1 ]

,

con r ∈ R parametro.

(a) Determinare la matrice rappresentativa M

_K

(Φ

_r

), rispetto alla base K :=

{[ 1 0 0 0

] ,

[ 0 1 0 0

] ,

[ 0 0 1 0

] ,

[ 0 0 0 1

]}

.

(b) Discutere la diagonalizzabilit` a di Φ

_r

, in dipendenza dal parametro r.

(c) Per r = 1, determinare una base di un autospazio relativo a un autovalore non regolare di Φ

₁

.

3. Nello spazio aﬃne A

⁴

sia λ la retta passante per i punti P

₀

= (0, 0, 1, 1) e P

₁

= (3, 1, 0, 0) e, al variare di ℓ ∈ R, sia θ

ℓ

la retta passante per i punti Q

₀

= (ℓ − 3, ℓ − 3, ℓ, ℓ) e Q

1

= (ℓ + 3, ℓ − 1, −1, −1).

(a) Si studino, al variare di ℓ ∈ R le posizioni reciproche di λ e θ

ℓ

.

(b) Sia Ω

_ℓ

lo spazio aﬃne congiungente λ e θ

_ℓ

. Si discuta la dimensione di Ω

_ℓ

al variare di ℓ ∈ R. Si calcoli l’equazione cartesiana di Ω

1

.

(c) Per quali ℓ ∈ R si ha che l’origine O = (0, 0, 0, 0) appartiene a Ω

ℓ

?

(d) Posto ℓ = 1, siano Λ e Θ i piani entrambi passanti per O = (0, 0, 0, 0) e contenenti rispettivamente le rette λ e θ

₁

. Che dimensione ha Λ ∩Θ? Determinarne un’equazione parametrica.

Sin

(4)

Esame di geometria 1 — 28 Gennaio 2019

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

Mi avvalgo dell’esonero Intendo sostenere l’orale nell’appello di: GENNAIO FEBBRAIO 1. Sia R[x]

≤3

lo spazio dei polinomi di grado al massimo 3 a coeﬃcienti reali. Sia

V

_h

:= {p(x) ∈ R[x]

≤3

| p(x) = (x − h)p

^′

(x) } , dove p

^′

(x) ` e la derivata prima del polinomio p(x) e h ∈ R.

(a) Dimostrare che, per ogni h, V

_h

` e un sottospazio vettoriale di R[x]

_≤3

, e determinarne la dimensione e una base.

(b) Sia W

_h

= V

_h

+ ⟨x

³

+ x

²

+ x, x

³

+ x

²

+ 2x + 2 ⟩; determinare, per ogni h, una base e la dimensione di W

_h

.

(c) Sia U

k

= ⟨4x

²

+ 2kx + 1, x

³

− x

²

, 3x

³

+ x

²

+ 3x + 3, x

³

+ 3x

²

+ (1 + k)x + 1 ⟩; al variare di k, stabilire la dimensione e una base di U

_k

.

(d) Posto k = 1, determinare, per ogni h, la dimensione e una base A

h

di U

₁

∩ W

h

, e completarla a una base B

h

di U

₁

+ W

_h

.

2. Si consideri l’endomorﬁsmo Φ

r

: M

2

( R) → M

2

( R), deﬁnito da [ 1 0

1 1 ]

7→

[ 0 r − 1

3 0

] ,

[ 0 1 1 1

] 7→

[ 0 2r − 3

0 −r

] ,

[ 1 0 0 1

] 7→

[ 0 r − 1

4 0

] ,

[ 0 0 1 1

] 7→

[ 0 r − 1

−1 −r

] ,

con r ∈ R parametro.

(a) Determinare la matrice rappresentativa M

_K

(Φ

_r

), rispetto alla base K :=

{[ 1 0 0 0

] ,

[ 0 1 0 0

] ,

[ 0 0 1 0

] ,

[ 0 0 0 1

]}

.

(b) Discutere la diagonalizzabilit` a di Φ

_r

, in dipendenza dal parametro r.

(c) Per r = 1, determinare una base di un autospazio relativo a un autovalore non regolare di Φ

₁

.

3. Nello spazio aﬃne A

⁴

sia λ la retta passante per i punti P

₀

= (0, 1, 1, 0) e P

₁

= (1, 0, 0, 3) e, al variare di ℓ ∈ R, sia θ

ℓ

la retta passante per i punti Q

₀

= (ℓ − 3, ℓ, ℓ, ℓ − 3) e Q

1

= (ℓ − 1, −1, −1, ℓ + 3).

(a) Si studino, al variare di ℓ ∈ R le posizioni reciproche di λ e θ

ℓ

.

(b) Sia Ω

_ℓ

lo spazio aﬃne congiungente λ e θ

_ℓ

. Si discuta la dimensione di Ω

_ℓ

al variare di ℓ ∈ R. Si calcoli l’equazione cartesiana di Ω

1

.

(c) Per quali ℓ ∈ R si ha che l’origine O = (0, 0, 0, 0) appartiene a Ω

ℓ

?

(d) Posto ℓ = 1, siano Λ e Θ i piani entrambi passanti per O = (0, 0, 0, 0) e contenenti rispettivamente le rette λ e θ

₁

. Che dimensione ha Λ ∩Θ? Determinarne un’equazione parametrica.

Mor