Esame scritto di Geometria 2 Appello del 20 gennaio 2017

Esame scritto di Geometria 2

Appello del 20 gennaio 2017

Esercizio 1

Si consideri la curva in R³, α : R → R³ data nella parametrizzazione α(t) = (e^tcos t, e^tsin t, e^t).

1. Si determini la parametrizzazione in parametro d’arco ˜α : I → R³della curva α fissata in modo che ˜α(0) = α(0). In particolare si determini l’intervallo I di definizione del parametro d’arco.

2. Si calcoli la curvatura della curva α nel parametro d’arco.

3. Si determini esplicitamente l’equazione affine del piano osculatore alla curva nel punto α(0).

Esercizio 2

Sia γ : (−a, a) → R³ una curva biregolare parametrizzata in parametro d’arco tale che curvatura e torsione siano rispettivamente k(s) = 1 + s² e τ (s) = 0. Sia t, n, b il riferimento di Frenet della curva. Si consideri la funzione (−a, a)×R → R³ definita da

σ(u, v) = γ(u) + vn(u) +v² 2b(u).

1. Si verifichi che esiste un intorno U di (0, 0) in R² tale che la restrizione di σ ad U sia una superficie parametrizzata. Si verifichi che per  sufficientemente piccolo γ(−, ) `e contenuta in S = σ(U )

2. Si calcoli la prima forma fondamentale di S nella parametrizzazione data.

3. Si calcoli la seconda forma fondamentale di S nella parametrizzazione data.

4. Si calcoli la curvatura geodetica di γ|_(−,) (considerata come curva in S) nel punto γ(0).

Esercizio 3

Si considerino i seguenti sottospazi di R³ (in cui `e fissato un sistema di coordi- nate ortonormali Oxyz):

• π il piano {(x, y, z) ∈ R³| y = 0},

• T il sottospazio T₁∪ T₂ ∪ T₃∪ T₄, dove 1

– T₁ = {(x, y, z) ∈ R³| x = 0, y = 0, −1 ≤ z ≤ 0}

– T₂ = {(x, y, z) ∈ R³| − 2 ≤ x ≤ 2, y = 0, z = 0}

– T₃ = {(x, y, z) ∈ R³| x = −2, y = 0, 0 ≤ z ≤ 2}

– T₄ = {(x, y, z) ∈ R³| x = 2, y = 0, 0 ≤ z ≤ 2}

• C₁ e C₂ sono i cilindri (cavi)

– C₁ = {(x, y, z) ∈ R³| (x + 2)²+ (z − 3)² = 1, −1 ≤ y ≤ 1} e – C₂ = {(x, y, z) ∈ R³| (x − 2)²+ (z − 3)² = 1, −1 ≤ y ≤ 1},

• S₁ = C₁∩ π, S₂ = C₂∩ π;

definiamo ora Y = C₁∪ C₂, X = Y ∪ T , Z = Y ∩ π.

1. Scrivere una retrazione per deformazione di Y su Z;

2. dire se Y `e connesso, connesso per archi e/o contrattile;

3. dimostrare che X `e connesso per archi e calcolare il suo gruppo fondamentale.

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