Esame scritto di Geometria 2
Appello del 20 gennaio 2017
Esercizio 1
Si consideri la curva in R3, α : R → R3 data nella parametrizzazione α(t) = (etcos t, etsin t, et).
1. Si determini la parametrizzazione in parametro d’arco ˜α : I → R3della curva α fissata in modo che ˜α(0) = α(0). In particolare si determini l’intervallo I di definizione del parametro d’arco.
2. Si calcoli la curvatura della curva α nel parametro d’arco.
3. Si determini esplicitamente l’equazione affine del piano osculatore alla curva nel punto α(0).
Esercizio 2
Sia γ : (−a, a) → R3 una curva biregolare parametrizzata in parametro d’arco tale che curvatura e torsione siano rispettivamente k(s) = 1 + s2 e τ (s) = 0. Sia t, n, b il riferimento di Frenet della curva. Si consideri la funzione (−a, a)×R → R3 definita da
σ(u, v) = γ(u) + vn(u) +v2 2b(u).
1. Si verifichi che esiste un intorno U di (0, 0) in R2 tale che la restrizione di σ ad U sia una superficie parametrizzata. Si verifichi che per sufficientemente piccolo γ(−, ) `e contenuta in S = σ(U )
2. Si calcoli la prima forma fondamentale di S nella parametrizzazione data.
3. Si calcoli la seconda forma fondamentale di S nella parametrizzazione data.
4. Si calcoli la curvatura geodetica di γ|(−,) (considerata come curva in S) nel punto γ(0).
Esercizio 3
Si considerino i seguenti sottospazi di R3 (in cui `e fissato un sistema di coordi- nate ortonormali Oxyz):
• π il piano {(x, y, z) ∈ R3| y = 0},
• T il sottospazio T1∪ T2 ∪ T3∪ T4, dove 1
– T1 = {(x, y, z) ∈ R3| x = 0, y = 0, −1 ≤ z ≤ 0}
– T2 = {(x, y, z) ∈ R3| − 2 ≤ x ≤ 2, y = 0, z = 0}
– T3 = {(x, y, z) ∈ R3| x = −2, y = 0, 0 ≤ z ≤ 2}
– T4 = {(x, y, z) ∈ R3| x = 2, y = 0, 0 ≤ z ≤ 2}
• C1 e C2 sono i cilindri (cavi)
– C1 = {(x, y, z) ∈ R3| (x + 2)2+ (z − 3)2 = 1, −1 ≤ y ≤ 1} e – C2 = {(x, y, z) ∈ R3| (x − 2)2+ (z − 3)2 = 1, −1 ≤ y ≤ 1},
• S1 = C1∩ π, S2 = C2∩ π;
definiamo ora Y = C1∪ C2, X = Y ∪ T , Z = Y ∩ π.
1. Scrivere una retrazione per deformazione di Y su Z;
2. dire se Y `e connesso, connesso per archi e/o contrattile;
3. dimostrare che X `e connesso per archi e calcolare il suo gruppo fondamentale.
2