Compito di Fisica Matematica, 12/6/2008
Prof. F. Bagarello
Lo studente con in piano di studi FM, 9 crediti, risolva almeno 6 quesiti. Lo studente con in piano di studi FM, 6 crediti, risolva almeno 4 quesiti, scelti tra quelli che non coinvolgono la Teoria delle Probabilit`a.
(1) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = u(t) t e3t, sta- bilendone l’ascissa di convergenza.
(2) Calcolare l’autoconvoluzione della funzione f (x) = e(x+1)2.
(3) Calcolare l’integrale
I = Z 2π
0
2 cos(θ) 4 − cos(θ)dθ
(4) Studiare la natura delle singolarit´a della funzione f (z) = z21−1ez, fornirne lo sviluppo di Laurent ed, in correspondenza delle singolarit´a, calcolare il valore dei residui.
(5) Verificare che la mappa
<< f, g >>:= 1 R
Re−2|x|dx Z
R
f (x)g(x)e−2|x|dx,
definisce un prodotto scalare su L2(R). Fornire un esempio di una funzione h(x) per cui < h, h >=
∞ ma << h, h >>< ∞.
(6) Sviluppare la funzione
f (x) =
( 1, |x| <π4;
0, altrove, in serie di Fourier. Verificare l’uguaglianza di Parceval.
(TdP1) Ottenere, se possibile, il valore della costante N perch`e
f (x) =
½ N x2sin(x), −π4 ≤ x ≤π4,
0, altrove,
sia una densit`a di probabilit`a. Rispondere alla stessa domanda per la funzione
g(x) =
½ N x sin(x), −π4 ≤ x ≤ π4,
0, altrove,
Determinare, per la g(x), la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 0,1,2.
(TdP2) Considerare un dado equo a tre facce (α, β e γ siano i risultati). Lanciando i due dadi, costruire gli eventi associati a tali (coppie di) lanci, Ej, e se ne calcoli la relativa probabilit`a. Si verifichi seP
1P r(Ej) = 1. Commentare.
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