Compito di Fisica Matematica, 6/9/2004

Compito di Fisica Matematica, 6/9/2004

Prof. F. Bagarello

Lo studente risolva almeno quattro dei seguenti quesiti:

(1) Dimostrare che, ∀p > 0 e ∀m ∈ NN , risulta Z _2π

0

e2p(cos(θ)+i sin(θ))e^−i2mθdθ = 2π(2p)^2m (2m)!

(2) Calcolare i residui della funzione f (z) = _(z−1)(z+2)^z2+5z+32 in corrispondenza dei suoi punti singo- lari e verificare che la somma di tali residui `e nulla.

(3) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(x) = u(x −¹₂) sin(x)).

(4) Sia f (x) una funzione di L([−π, π]) 2π-periodica, f (x) = f (x + 2π) q.o., che risulti derivabile e che abbia derivata f⁰(x) continua in [−π, π]. Dimostrare che il coefficiente P_n =

1 π

R_π

−πf (x) cos(nx) dx dell’espansione di Fourier della f (x) tende a zero quando n diverge almeno come ¹_n¹. Cosa si pu`o dire per il coefficiente Dn?

(5) Dopo avere verificato che la funzione f (x) =

( e^ix

2a, |x| < a;

0, altrove

appartiene ad L²(R), a > 0, lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.

(6) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = e^tcos(t).

(7) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = _{z sin(z)}^ez2−1 e ne determini l’ordine.

1Si suggerisce di adoperare l’integrazione per parti.

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