Appunti di Matematica - Probabilità [1]

(1)

integrare con appunti personali...

Si dice variabile casuale (oppure variabile aleatoria) un’associazione (funzione) tra i possibili risultati di una procedura e i numeri reali ad essi corrispondenti (probabilit`a associate ai possibili risultati)

esempio classico =⇒ procedura: eseguire 3 lanci e contare le Teste; indicando con T testa e con C croce, si pu`o costruire, ad esempio, il sguente schema che mostra che i casi possibili sono 8

T C

C T

T C

C =⇒ 2 T T =⇒ 3 T

C =⇒ 1 T T =⇒ 2 T

T =⇒ 1 T T =⇒ 2 T C =⇒ 1 T

C =⇒ 0 T

che i casi possibili sono 8 si pu`o dedurre anche con le Disposizioni Semplici con Ripertizioni D_n,k^R = n^K, con n = 2 (elementi T e C) e k = 3 (elementi in gruppi di 3)

Considerando che i casi favorevoli con 0 T=1, con 1 T=3, con 2 T=3 e con 3 T=1, si pu`o costruire la seguente tabella di Distribuzione di probabilit`a della variabile aleatoria X

X = x

i

0 1 2 3

p(X = x

i

) 1 8

3 8

1 8

tenendo conto delle definizioni nella pag. successiva: media x = Pⁿ

i=1

x_ip(x_i) =3 2

varianza (semplificata) σ² = Pⁿ

i=1x²_ip(xi) − x²= 3

4 deviazione standard σ =√ σ²=

√3 2

(2)

Distribuzione binomiale (di Bernoulli)

Si applica la distribuzione Binomiale quando l’esito di una prova pu`o essere favorevole o sfavorevole

p `e la probabilit`a che l’evento si verifichi in una singola prova Ç

p = numero di casi f avorevoli numero di casi possibili

å q `e la probalit`a che l’evento non si verifichi in una singola prova

probabilit`a che l’evento si verifichi k volte in n prove: p_n(k) =Çn k å

p^kq^n−k q = 1 − p 0 ≤ k ≤ n

Distribuzione geometrica

probabilit`a che si verifichi l’evento se k `e il numero di prove da effettuare: p(k) = p (1 − p)^k−1 k = 1, 2...

probabilit`a che si verifichi l’evento se k `e il numero di prove da effettuare prima: p(k) = p (1−p)^k k = 0, 1, 2...

Media, Varianza e Deviazione Standard di una una distribuzione di probabilit`a p(X) media (variabile discreta): x = Pⁿ

i=1xip(xi)

la media si dice anche valore atteso oppure speranza matematica

varianza: σ² = Pⁿ

i=1

(x_i− x)²p(x_i) varianza semplificata: σ²= Pⁿ

i=1

x²_i p(x_i) − x²

deviazione standard: σ =√ σ²











anche σ = Ã _n

P

i=1(xi− x)² n





















anche σ =

Ã _n

P

i=1(xi− x)² n − 1











Distribuzione di Poisson si utilizza quando n >> p

probabilit`a che si verifichino k eventi se λ `e il numero medio di eventi: p_λ(k) =λ^k· e⁻^λ k!

esercizi di riferimento del MIUR

PROBABILIT `A sim 22 apr 2015 [Q10] - esame 2015 [Q3] - esame suppl 2015 [Q3] [Q7] - sim 10 dic 2015 [Q1]

sim 29 apr 2016 [Q3] - esame 2016 [Q4] [Q7] - esame suppl 2016 [Q8] - esame 2017 [Q4] [Q8]

(3)

Variabili casuali continue

Al posto di distribuzione di probabilità di una variabile casuale X si definisce la densità di probabilità f (x) di X, che deve soddisfare alle condizioni

f (x) ≥ 0 ∀x ∈ ℜ e

Z _+∞

−∞

f (x) dx = 1

la probabilit`a che la variabile casuale X assuma valori in un intervallo [a, b] =⇒ p(X ∈ [a, b]) = Z b

a

f (x) dx

media di una variabie casuale continua =⇒ x = Z b

a

x f (x) dx

varianza di una variabie casuale continua =⇒ σ² = Z b

a

î(x − x)²f (x)ó dx

varianza semplificata di una variabie casuale continua =⇒ σ² = Z b

a

îx²f (x)ó

dx − x²

deviazione standard di una variabie casuale continua =⇒ σ =√ σ²

funzione di ripartizione di una variabie casuale continua =⇒ p(X ≤ x) = Z _x

−∞

f (t) dt

esame 2017 quesito 4

Per sorteggiare numeri reali nell’intervallo [0, 2] viene realizzato un generatore di numeri casuali che fornisce numeri distribuiti, in tale intervallo, con densit`a di probabilit`a data dalla funzione: f (x) =3

2x²−3 4x³

(a) calcola il valor medio dei numeri generati

(b) calcola la probabilit`a che il primo numero estratto sia 4 3

(c) calcola la probabilit`a che il secondo numero estratto sia minore di 1

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APPROFONDIMENTI per esempi svolti... classici

Probabilit`a e calcolo combinatorio

esempio: probabilit`a di fare un terno al lotto scegliendo 3 numeri

casi possibili: 90 numeri non ordinati in gruppi di 5 =⇒ Ç90 5

å

casi favorevoli: 90-3=87 numeri non ordinati in gruppi di 2 =⇒ Ç87 2

å

probabilit`a di fare terno =⇒

Ç87 2

å

Ç90 5

å < 10

−4

Probabilit`a dell’unione degli eventi p (A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)

esempio: una comunità ha il 3% di analfabeti, il 5% di geni e il 2% di geni-analfabeti (??), calcola la probabilità di trovare, nella strana comunità, un’analfabeta o un genio =⇒ 0.03 + 0.05 − 0.02 = 0.06 = 6%

Probabilit`a tramite evento contrario p(A) = 1 − p(A)

esempio: probabilit`a che esca almeno una volta testa su 8 lanci di moneta; conviene calcolare la probabilit`a q che esca per 8 volte croce e quindi calcolare p = 1 − q; ci sono 2⁸ casi possibili ed un solo caso favorevole, 8 volte croce

=⇒ q = 1

2⁸ =⇒ p = 1 − q = 2⁸− 1 2⁸

Probabilit`a condizionata

un po’ di teoria... sapendo che si `e verificato B, la probabilit`a che si verifichi A si scrive p (A|B)

probabilit`a condizionata =⇒ p (A|B) = A ∩ B

B =

A ∩ B casi possibili

B casi possibili

=p (A ∩ B)

p (B) (con p(B) 6= 0)

esempio: si fanno due lanci di una moneta...

se nel primo lancio esce testa, calcola la probabilit`a che esca testa nei due lanci

B = (T T, T C) , A = (T T ) =⇒ p (A|B) = 1 2

se in uno dei due lanci esce testa, calcola la probabilit`a che esca testa nei due lanci

B = (T T, CT, T C) , A = (T T ) =⇒ p (A|B) = 1 3

(5)

Probabilit`a composta

un po’ di teoria... dalla probabilit`a condizionata, scambiando le parti tra A e B e tenendo conto che A ∩ B = B ∩ A

p (A|B) = p (A ∩ B)

p (B) =⇒ p (A ∩ B) = p (A|B) · p(B) = p (B|A) · p(A)

esempio: estraendo due numeri della tombola, calcola la probabilit`a che il primo estratto sia divisibile per 10 e che il secondo sia dispari;

A = primo estratto divisibile per 10 B = secondo estratto dispari

primo estratto: casi favorevoli 9, casi possibili 90 =⇒ p(A) = 1

10; secondo estratto: casi favorevoli 45 (il primo estratto deve essere pari), casi possibili 89 =⇒ p(B|A) = 45

89 =⇒ p(A ∩ B) = p(B|A) · p(A) = 45 89· 1

10

si pu`o estendere a pi`u eventi condizionati

esempio: calcola la probabilit`a di estrarre i 4 Re prendendo successivamente 4 carte da un mazzo di 40;

p₁= 4

40 p₂= 3

39 p₃= 2

38 p₄= 1

37 =⇒ p (4 assi) = p1· p2· p3· p4

esempio: un alunno ha il 30% di probabilit`a di superare un esame se il prof non ha gli occhiali mentre ne ha il 50%

se ha gli occhiali, per il giorno dell’esame si prevede il 40% di probabilit`a che il prof non abbia gli occhiali; calcola la probabilit`a p che ha l’alunno di superare l’esame.

p(S|O) = 0.5 probabilità alunno Supera esame se prof ha Occhiali p(S|O) = 0.3 probabilità alunno Supera esame se prof NON ha Occhiali p(O) = 0.4 probabilità che prof non abbia occhiali

p(O) = 1 − p(O) probabilit`a che prof abbia occhiali

p(S) = p(S|O) · p(O) + p(S|O) · p(O) = p(S|O) ·1 − p(O) + p(S|O) · p(O) (teorema di disintegrazione)

Formula di Bayes

da inizio pagina... p (A|B) · p (B) = p (B|A) · p (A) =⇒

p (B|A) = p (A|B) · p (B)

p (A) con p (A) 6= 0

(6)

applicazione formula di Bayes

[1] Un’azienda produce 600 bicchieri, di cui il 4% imperfetti, nella fabbrica di Trambacche e 400 bicchieri, di cui il 2% imperfetti, nella fabbrica di Harare; calcola la probabilit`a che un bicchiere imperfetto sia attribuibile alla fabbrica di Trambacche.

p(T ) = 600

1000 probabilit`a che un bicchiere provenga da Trambacche p(H) = 400

1000 probabilit`a che un bicchiere provenga da Harare

p(I|T ) = 0.04 probabilit`a che un bicchiere di Trambacche sia imperfetto p(I|H) = 0.02 probabilit`a che un bicchiere di Harare sia imperfetto

p(I) = p(I|T ) · p(T ) + p(I|H) · p(H) probabilit`a che un bicchiere sia imperfetto

=⇒ p(T |I) = p(I|T ) · p(T ) p(I)

[2] Una comunità è composta dal 10% di fessi e per scovarli viene somministrato ai componenti un questiona- rio Q; indicando con F l’insieme dei fessi e con F l’insieme dei non fessi, sai che Q ha la probabilità del 90%

di riconoscere i fessi di F ma anche la probabilità del 5% di attribuire la patente di fesso a quelli di F . Se un componente della comunità viene riconosciuto come fesso da Q, calcola la probabilità che esso sia effettivamente tale.

p(F ) = 0.1 probabilit`a che un componente della comunit`a sia fesso

p(F ) = 1− p(F ) probabilità che un componente della comunità non sia fesso p(Q_F|F ) = 0.9 probabilità che Q dica fesso se il componente ∈ F

p(Q_F|F ) = 0.05 probabilit`a che Q dica fesso se il componente ∈ F

p(Q_F) = p(Q_F|F ) · p(F ) + p(QF|F ) · p(F ) =⇒ p(F |QF) = p(Q_F|F ) · p(F ) p(Q_F)

[3] Alla fine del primo trimestre il 70% degli studenti del Fermi ha il debito in matematica mentre gli indebitati in matematica dell’Alberti sono il 90% dei suoi studenti (che frequentano il liceo scientifico per sciare e non per studiare matematica); viene estratto uno studente S a caso tra le due scuole. Calcola la probabilit`a

(a) che S abbia il Debito in matematica, (b) che S provenga dall’Alberti sapendo che ha il Debito in matematica

(a) p (F ) = p (A) = 0.5 p (D|F ) = 0.7 p (D|A) = 0.9 p (D) = 0.7 · 0.5 + 0.9 · 0.5

(b) p (A|D) = p (D|A) · p(A) p(D)

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ESERCIZI

Distribuzione binomiale (di Bernoulli)

1. Si lancia un dado e si vince se esce 1 oppure 6, calcola (a) la probabilit`a di vincere con un lancio, (b) la probabilit`a che in 5 lanci si vinca 3 volte

2. In una scatola ci sono 24 biglietti, 6 con HAI VINTO e 18 con NON HAI VINTO; sapendo che dopo ogni estrazione il biglietto estratto viene reinserito nella scatola, calcola la probabilit`a di estrarre 2 HAI VINTO su 5 estrazioni

3. Quando prendi una sopressa al supermercato sai che la probabilità di afferrarne una buona è 1/3; calcola la probabilità che su 5 sopresse acquistate ce ne siano (a) 3 buone, (b) almeno 3 buone

4. Un videogioco mostra tre figure contemporaneamente ognuna delle quali si alterna tra un quadrato, un cerchio ed un triangolo; le tre figure si alternano indipendentemente l’una dall’altra. Sapendo che per ciascuna figura il quadrato compare per 10 secondi, il cerchio per 2 secondi ed il triangolo per 12 secondi, calcola la probabilit`a che in un istante ci sia (a) un solo quadrato, (b) 2 soli cerchi, (c) 3 triangoli

5. un classico... In un test sul calcolo delle probabilità ci sono 10 domande, ciascuna con 4 risposte, di cui una sola corretta ed alla quale si dà 1 punto. Supponendo, come normalmente fai, di scegliere a caso una risposta per ogni quesito, calcola la probabilità di non prendere l’insufficienza (< 6 punti).

6. un classico (bis)... In un test sul calcolo delle probabilità ci sono 10 domande, ciascuna con 4 risposte, di cui una sola corretta ed alla quale si dà 1 punto. Sapendo che per una risposta errata si sottraggono β punti e supponendo, come normalmente fai, di scegliere a caso una risposta per ogni quesito, calcola il valore di β affinchè il voto del tuo compito sia 0.

Distribuzione di Poisson

7. In una settimana ci sono mediamente 5 interrogazioni di matematica, calcola la probabilit`a che ha il professore di interrogare 12 alunni in 3 settimane.

8. In un mese ci sono mediamente 2 verifiche di matematica, calcola: (a) la probabilità che in un giorno non ci sia nessuna verifica, (b) i giorni necessari affinchè la probabilità che ci sia almeno una verifica in un mese sia non meno del 70%.

9. Un professore di matematica e fisica scrive delle dispense per i propri meravigliosi alunni, nelle preziose pagine ci sono per`o errori di vario tipo, spacciati dal prof, con una faccia tosta senza precedenti, come prove d’autore...

(ma mi faccia il piacere!!). Determina quale dovrebbe essre il numero medio di errori per pagina affinch`e la probabilit`a che in essa ci sia almeno un errore risulti minore del 7%. ^(♪)

WOK IN PROGRESS... forse

(♪)pare addirittura che il prof utilizzi questa tecnica per skovare i pochi lettori attenti... (e ki c krede?!)