IL TEOREMA DI PITAGORA

IL TEOREMA DI

PITAGORA

IPOTENUSA

CATETO MAGGIORE CATETO

MINORE

c

i

c

R ^{ICORDIAMO COME SI CHIAMANO I LATI DEL}

TRIANGOLO RETTANGOLO

COSA DICE IL TEOREMA DI PITAGORA?

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito

sull’ipotenusa è

equivalente alla somma

dei quadrati costruiti sui

cateti

Quadrato costruito sul cateto maggiore

Quadrato costruito sull’ipotenusa

Quadrato costruito sul cateto

minore C₁

C₂

i

PROVIAMO A RAPPRESENTARE QUELLO

CHE ABBIAMO LETTO

G R

V

1. Costruiamo 3 quadrati :

lato =c

lato = c

lato ^{= i} c

i

c

R V

Scomponiamo i quadrati per mezzo del quadratino Q

il quadrato GIALLO è stato riempito totalmente

dal ROSSO e dal VERDE

G V

R GIALLO = ROSSO + VERDE

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito

sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

ABBIAMO DIMOSTRATO IL TEOREMA DI PITAGORA

ROSSO

VERDE

GIALLO

i c₁ c₂

QUINDI

𝑨 = 𝒍 ^𝟐

ADESSO PROVIAMO A COTRUIRE LA FORMULA DEL TEOREMA DI PITAGORA

AREA QUADRATO

ROSSO = 𝑪

AREA QUADRATO

VERDE = 𝑪

AREA QUADRATO

GIALLO = 𝒊

RICORDIAMO CHE LA FORMULA DELL’AREA DEL QUADRATO È UGUALE A:

QUINDI

GIALLO = ROSSO + VERDE

ABBIAMO AFFERMATO CHE:

ADESSO SOSTITUIAMO LE FORMULE

𝒊 ^𝟐 = 𝒄 _𝟏 ^𝟐 + 𝒄 _𝟐 ^𝟐

QUESTA È LA FORMULA CHE RAPPRESENTA IL TEOREMA DI PITAGORA

NELLE SLIDES PRECEDENTI ABBIAMO UTILIZZATO UNA DELLE TANTE DIMOSTRAZIONI DEL TEOREMA CHE PITAGORA FORMULÒ PIÙ DI 2500 ANNI FA.

DOPO CHE IL TEOREMA È STATO DIMOSTRATO, VEDIAMO ADESSO LA SUA APPLICAZIONE IN MATEMATICA.

PER CAPIRE L’IMPORTANZA DI QUESTO TEOREMA DOBBIAMO PARTIRE DALLA FORMULA CHE ABBIAMO RICAVATO:

𝒊 ^𝟐 = 𝒄 _𝟏 ^𝟐 + 𝒄 _𝟐 ^𝟐

GRAZIE A QUESTA FORMULA È POSSIBILE TROVARE L’IPOTENUSA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO CONOSCENDO I DUE CATETI

c

i

c

E NON SOLO…

perché ESISTONO ANCHE LE FORMULE INVERSE!

𝒄 _𝟏 ^𝟐 = 𝒊 ^𝟐 − 𝒄 _𝟐 ^𝟐 𝒄 _𝟐 ^𝟐 = 𝒊 ^𝟐 − 𝒄 _𝟏 ^𝟐

DALLA FORMULA DIRETTA PER TROVARE L’IPOTENUSA:

POSSO RICAVARE LE FORMULE PER TROVARE I DUE CATETI:

PER CAPIRE MEGLIO, FACCIAMO DEGLI ESEMPI:

ESEMPIO 1

c

i

c

C

= 8 cm C

= 6 cm i = ?

APPLICO LA FORMULA DEL TEOREMA DI PITAGORA:

𝒊

= 𝒄

+ 𝒄

𝒊

= 𝟖

+ 𝟔

SOSTITUISCO I NUMERI:

𝒊

= 𝟔𝟒 + 𝟑𝟔 = 𝟏𝟎𝟎

QUESTO CALCOLO MI PERMETTE DI TROVARE L’IPOTENUSA AL QUADRATO (OVVERO L’AREA DEL QUADRATO CHE HA COME LATO L’IPOTENUSA.

MA COSA POSSO FARE PER TROVARE LA LUNGHEZZA DELL’IPOTENUSA?

ATTRAVERSO I NOSTRI CALCOLI ABBIAMO SCOPERTO CHE:

𝒊

= 𝟏𝟎𝟎 = 𝑨𝒓𝒆𝒂

SO CHE, CONOSCENDO L’AREA, PER TROVARE IL LATO DI UN QUADRATO DEVO USARE LA FORMULA INVERSA

: 𝒍 = 𝑨

QUINDI PER TROVARE LA MISURA DELL’IPOTENUSA APPLICO LA SUDDETTA FORMULA:

𝑖 = 100 = 10 𝑐𝑚

ESEMPIO 2

C

= 12 cm i = 15 cm C

= ?

APPLICO LA FORMULA DEL TEOREMA DI PITAGORA:

𝒄

= 𝒊

− 𝒄

𝒄

= 𝟏𝟓

− 𝟏𝟐

SOSTITUISCO I NUMERI:

𝒄

= 𝟐𝟐𝟓

− 𝟏𝟒𝟒 = 𝟖𝟏

ANCHE IN QUESTO CASO, SE :

𝒄

= 𝟖𝟏

ALLORA:

𝑪

= 𝟖𝟏 = 𝟗𝒄𝒎

IN SINTESI

IL TEOREMA DI PITAGORA PERMETTE DI TROVARE L’IPOTENUSA E I CATETI DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO GRAZIE A DELLE FORMULE CHE DERIVANO

DALLA SUA DIMOSTRAZIONE

QUALI SONO LE FORMULE CHE DEVO IMPARARE?

𝒄 _𝟏 ^𝟐 = 𝒊 ^𝟐 − 𝒄 _𝟐 ^𝟐

𝒄 _𝟐 ^𝟐 = 𝒊 ^𝟐 − 𝒄 _𝟏 ^𝟐

𝒊 = 𝒄 _𝟏 ^𝟐 + 𝒄 _𝟐 ^𝟐

𝒄 _𝟏 = 𝒊 ^𝟐 − 𝒄 _𝟐 ^𝟐

𝒄 _𝟐 = 𝒊 ^𝟐 − 𝒄 _𝟏 ^𝟐

Problemi svolti Problema n° 1

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 13 cm e un

cateto 5 cm. Calcola la lunghezza dell’altro cateto.

Problema n° 2

L’ipotenusa e il cateto minore di un triangolo rettangolo sono lunghi rispettivamente 17,5 cm e 10,5 cm. Calcola il cateto maggiore

.

AB = ?

Problema n° 3

I due cateti di un triangolo rettangolo sono 14 m e 48 m. Calcola

l’ipotenusa.