Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Matematica.
Geometria 2 a.a. 2016-17 esercizi
Matrici ortogonali e isometrie
1.1) Verifica se le seguenti matrici sono ortogonali: A =
√1 3
√1 2
√1 1 6
√ 3
−
√12
√1 6
√1
3
0 −
√2
√ 3
, B =
1 2
√ 3
√ 2 3 2
−
12!
.
1.2) Completa la matrice B =
√2
2
∗
√ 2
2
∗
!
in modo che sia ortogonale con determinante 1. Considera l’applicazione lineare f di R
2in s` e, che ha B come matrice associata rispetto alla base canonica in dominio e codominio. L’applicazione f ` e la rotazione antioraria di quale angolo?
1.3) Considera assegnato un sistema ortonormale di riferimento nel piano euclideo E
2. Determina le equazioni della rotazione R
π/3: E
2→ E
2di un angolo α = π/3 rispetto all’origine. Determina inoltre l’immagine, rispetto a R
π/3, della retta di equazione cartesiana x − y = 1.
1.4) Denota con E
3lo spazio affine numerico E
3= E
3R, con prodotto scalare euclideo e riferimento standard R. Determina le equazioni della rotazione ψ
0di angolo π/3 attorno alla retta l di equazione parametrica x =
0 0 0
+ t
1 0 0
orientata da v =
1 0 0
.
1.5) Considera fissato un riferimento ortonormale R = (O, (v
1, v
2, v
3)) nello spazio euclideo E. Sia R una rotazione di centro O e sia R
0= (O, (v
10= R(v
1), v
20= R(v
2), v
30= R(v
3))). La linea dei nodi ` e l’intersezione tra < v
1, v
2> e < v
10, v
20> se tale intersezione ha dimensione 1, ed ` e
< v
1> altrimenti. L’angolo α (con 0 ≤ α < 2π) ` e l’angolo tra v
1e la linea dei nodi. L’angolo β ( con 0 ≤ β ≤ π) ` e l’angolo tra v
3e v
30. L’angolo γ (con 0 ≤ γ < 2π) ` e l’angolo tra la linea dei nodi e v
10.
Mostra che: R = R
γ◦R
β◦R
αove R
αsia la rotazione di asse v
3e angolo α, ove R
βsia la rotazione di asse la linea dei nodi e angolo β, ove R
γsia la rotazione di asse v
30e angolo γ. Gli angoli α, β e γ sono detti angoli di Eulero. Le rotazioni attorno agli assi coordinati permettono quindi di descrivere la struttura di tutte le rotazioni di centro O dello spazio euclideo di dimensione 3.
1.6) Sia V lo spazio vettoriale delle matrici quadrate 2 × 2 reali. Siano A
1= 1 0 1 0
!
, A
2= 1 1
0 0
!
, A
3= 0 0 1 1
!
, A
4= 0 0 0 1
!
. Sia f l’endomorfismo di V tale che f (A
1) = A
1,
f (A
2) = A
1− A
2, f (A
3) = A
3+ A
4, f (A
4) = A
3+ A
4. Determina la matrice associata a f nella
base A
1, A
2, A
3, A
4(risp. nella base standard).
Cenni di soluzione
1.1) Verifica se le seguenti matrici sono ortogonali : A =
√1 3
√1 2
√1 1 6
√ 3
−
√12
√1 6
√1
3
0 −
√2
√3
, B =
1 2
√3 2
√ 3 2
−
12!
Basta controllare che A
tA = I e B
tB = I. In alternativa, si verifica che le colonne di A formano una base ortonormale di R
3, e che le colonne di B formano una base ortonormale di R
2. 1.2) Completa la seguente matrice in modo che sia ortogonale con determinante 1 : B =
√2
2
∗
√ 2
2
∗
!
. Considera l’applicazione lineare f di R
2in s` e, che ha B come matrice associata rispetto alla base canonica in dominio e codominio. L’applicazione f ` e la rotazione antioraria di quale angolo?
La seconda colonna di B deve avere norma 1 e deve essere ortogonale alla prima colonna. Poich´ e si chiede che il determinante sia 1, la matrice cercata ` e B =
√2
2
−
√2 2
√ 2 2
√ 2 2
!
, che ` e la matrice della rotazione antioraria di angolo π/4.
1.3) Considera assegnato un sistema ortonormale di riferimento nel piano euclideo E
2. Determina le equazioni della rotazione R
π/3: E
2→ E
2di un angolo α = π/3 rispetto all’origine. Determina inoltre l’immagine, rispetto a R
π/3, della retta di equazione cartesiana x − y = 1.
1.4) Denotiamo con E
3lo spazio affine numerico E
3= E
3R, con prodotto scalare euclideo e riferimento standard R. Determina le equazioni della rotazione ψ
0di angolo π/3 attorno alla retta l di equazione parametrica x =
0 0 0
+ t
1 0 0
orientata da v =
1 0 0
