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Tensore di inerzia e rotazioni ? ? ?

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Academic year: 2021

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6.3. TENSORE DI INERZIA E ROTAZIONI? ? ?

PROBLEMA 6.3

Tensore di inerzia e rotazioni ? ? ?

Trovare la legge di trasformazione del tensore di inerzia di un corpo rigido per rotazioni infinitesime del sistema di coordinate. Mostrare che se il corpo rigido è invariante per rotazioni il tensore di inerzia è diagonale.

Soluzione

Il tensore di inerzia si può scrivere nella forma Iab =

ˆ

dm(r2δabrarb).

Sappiamo che sotto rotazioni infinitesime possiamo scrivere la legge di trasformazione di un vettore (ad esempio~r) come

~r→~r+~ε∧~r = ~r+Γ~r dove

Γ=

 0 −εz εy

εz 0 −εx

εy εx 0

 .

Il tensore trasformerà come il prodotto delle componenti di due vettori, e quindi come I → (1+Γ)I(1+Γ)T = I+ΓI−IΓ .

Se il corpo rigido è invariante deve essere

ΓI−IΓ=0 ossia

 0 −εz εy

εz 0 −εx

εy εx 0

 Ixx Ixy Ixz Iyx Iyy Iyz Izx Izy Izz

=

 Ixx Ixy Ixz Iyx Iyy Iyz Izx Izy Izz

 0 −εz εy

εz 0 −εx

εy εx 0

 .

Calcolando la componente 1, 1 di ambo i membri abbiamo

εzIyx+εyIzx= εzIxyεyIxz

da cui Iyx = Ixy =0 e Ixz = Izx =0. Dalla componente 2, 2 abbiamo analogamente εzIxyεxIzy=−εzIyx+εxIyz

da cui segue anche Iyz= Izy=0. Il tensore di inerzia è dunque diagonale. Considerando la componente 1, 2 abbiamo

εzIyy = −εzIxx e dalla 1, 3

εyIzz =εyIxx da cui segue Ixx = Iyy = Izz.

452 versione del 22 marzo 2018

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