Exercices de cours du chapitre II : Mise en équations

(1)

Exercices de cours du chapitre II : Mise en équations

13 Exercice II-4 : Oscillations libres dues à une perte de masse.

Considérons le système ci contre constitué de deux tiges de longueurs 2a et a, et d’une charge en P de masse m. On négligera la masse des tiges devant celle de la charge.

Les liaisons en A et B sont des pivots parfaits auxquels sont adjoints des ressorts de torsion de raideur respective 3C et C.

Ces ressorts sont non contraints pour θ θ ₁ = ₂ = 0 .

1- Effectuez la mise en équations dans le cadre de l’hypothèse des petits

mouvements, déterminer la position d’équilibre statique ( θ θ ₁ _e , ₂ _e ) G x _o

A B

2a a

c

3c θ ₁

m

θ ₂ y G

o

g G

2- Donnez la condition à satisfaire pour vérifier l’hypothèse des petits mouvements. En déduire sous forme matricielle l’équation des petits mouvements.

3- La moitié de la masse m se détache brusquement alors que le système était à l’équilibre. Déterminez les nouvelles équations du mouvement.

Corrigé de l’exercice II-4 : Mise en équations :

Méthodologie : Calcul des énergies ( Ec Ep , ) et travail des autres efforts Développement limité au second ordre

Écriture matricielle des équations de Lagrange Paramétrage : deux rotations absolues on pose < θ θ ₁ ₂ >

2 ( )

2 Ec = mV G _o P

la masse des tiges est négligée

( )

^o

o

V P d OP

= dt JJJG

G avec OP JJJG = 2 ay G ₁ + ax G ₂

1 1 2 2

( ) 2

V P G

o

= − a x θ G + a θ y G

D’où ² ^Ec ⁼ ^ma ² ( ⁴ ^θ ¹ ² ⁺ ^θ ² ² ⁺ ⁴ ^{θ θ} ^{1 2} ^sin( ^{θ θ} ² ⁻ ¹ ⁾ )

Avec le DL à l’ordre 2 : ² ^Ec ^≅ ^ma ² ( ⁴ ^θ ¹ ² ⁺ ^θ ² ² ) _x ^G

o A

B

2a a

c

3c θ ₁

θ ₂ m

y G

o

g G G G

y ₁ x ₂

( ) ²

2 1 2 1 10 2 1 20 10

(2 cos sin ) 3 ( ) ( )

2 2

C C

Ep = mga θ + θ + θ θ − + θ θ − − θ − θ + Cte

Î 1 2

₁

² ( 2 1 ) ²

(2 cos sin ) 3

2 2

C C

Ep = mga θ + θ + θ + θ θ − + Cte

On veut étudier les petits mouvements par rapport à la position d’équilibre

On pose ¹ ¹

2 2

e e

θ θ α

θ θ β

= +

⎧ ⎨ = +

⎩ ^avec ( , ) α β petits Î ² ^Ec ^≅ ^ma ² ( ⁴ ^α ² ⁺ ^β ² )

Î Ep 3 ( 1 _e ) ( 2 _e 1 _e ) 2 sin( 1 _e )

C θ α C θ θ β α mga θ α α

∂ = + − − + − − +

∂

1 1 1 1 1

sin( θ _e + α ) = sin θ _e cos α + cos θ _e sin α ≅ sin θ _e + cos θ α _e

( )

1 2 1 1

4 _e _e 2 sin _e 4 2 cos _e

Ep C θ C θ mga θ α C mga θ C β α

∂ ≅ − − + − −

∂

A l’équilibre

( , ) 0

Ep 0 α α β ₌

⎛ ∂ ⎞ =

⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠ ^Î 4 C θ ¹ _e − C θ ² _e − 2 mga sin θ ¹ _e = 0 1

^ère

équation d’équilibre statique

Ressorts sont non contraints

Î θ ₁₀ = θ ₂₀ = 0 .

(2)

Exercices de cours du chapitre II : Mise en équations

14 Il reste donc Ep ( 4 2 cos 1 _e )

C mga C

α θ β

α

∂ = − −

∂

De même Ep ( 2 _e 1 _e ) cos( 2 _e )

C θ θ β α mga θ β β

∂ = − + − + +

∂

2 2 2 2 2

cos( θ _e + β ) = cos θ _e cos β − sin θ _e sin β ≅ cos θ _e − sin θ β _e

( )

1 _e 2 _e cos 2 _e sin 2 _e

Ep C θ C θ mga θ C α β C mga θ β

∂ ≅ − + + − + −

∂

A l’équilibre

( , ) 0

Ep 0 β α β ₌

⎛ ∂ ⎞

⎜ ∂ ⎟ =

⎝ ⎠ ^Î − C θ ¹ _e + C θ ² _e + mga cos θ ² _e = 0 2

^ème

équation d’équilibre statique

Il reste donc Ep ( sin 2 _e )

C α β C mga θ β

∂ = − + −

∂

Écriture matricielle : on pose { } ^X ^T ^=< ^{α β} ^>

Î 2 Ec = X MX ^T _{avec :} [ ] ² ⁴

M = ma ⎡ ⎢ 1 ⎤ ⎥

⎣ ⎦

Ep KX X

∂ ≅

∂ ^{avec :} [ ] ¹

2 4 2 cos

sin

e

C mga C

K C C mga

θ

− −

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ − − ⎥ ⎦

Et les équations de Lagrange Î [ ] ^M { } ^X ⁺ ^{[ ]} ^K ^{{ } { }} ^X ⁼ ⁰

Si on cherche la position d’équilibre, il faut résoudre le système ¹ ² ¹

1 2 2

4 2 sin 0

cos 0

e e e

C C mga

θ θ θ

− − =

⎧ ⎨− + + =

⎩

En supposant que ( θ θ ₁ _e , ₂ _e ) sont petits : ( ) 1 2

1 2

4 2 0

0 e e

e e

C mga C

C C mga

θ θ

⎧ − − =

⎨ − + + =

⎩ Soit :

1

2 3 2

4 2

3 2

e

mga C mga mga C mga

C C mga θ

θ

⎧ = −

⎪ −

⎪ ⎨ −

⎪ = −

⎪ −

⎩

La condition pour que ( θ θ ₁ _e , ₂ _e ) soient petits est C >> mga Î ¹

2 / 3 4 / 3

e e

mga C mga C θ

θ

⎧ ≅ −

⎨ ≅ −

⎩

On peut alors simplifier l’expression de la matrice [ ] ^K ^Î [ ] ⁴ ¹

1 1 K C ⎡ − ⎤

≅ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦

Les équations de Lagrange : [ ] ^M { } ^X ⁺ ^{[ ]} ^K ^{{ } { }} ^X ⁼ ⁰ ^avec ^{[ ]}

[ ] ²

4 1

1 1 4

1 K C

M ma

⎧ ⎡ − ⎤

⎪ ≅ ⎢ − ⎥

⎪ ⎣ ⎦

⎨ ⎡ ⎤

⎪ = ⎢ ⎥

⎪ ⎣ ⎦

⎩

Solution plus rapide : on pose directement { } ^X ^T ^=< ^{α β} ^>

On effectue la mise en équations des petits mouvements par rapport à une position d’équilibre, avec ( θ θ ₁ _e , ₂ _e ) petits Î ² ^Ec ^≅ ^ma ² ( ⁴ ^α ² ⁺ ^β ² ) ^soit ^{[ ]} ^M ⁼ ^ma ² ^⎡ ⎢ ⁴ ₁ ^⎤ ⎥

⎣ ⎦

La position d’équilibre avec

1 2

( θ θ

_e

,

_e

) petits sera stable si :

/ 2

C > mga

(3)

Exercices de cours du chapitre II : Mise en équations

15 Et 2 3 ( 1 ) ² ( 2 ) ² 2 2 ²

e e 2

Ep ≅ C α δ + + C β α δ − + + mg ^⎛ ⎜ − a α + a β ^⎞ ⎟ + Cte

⎝ ⎠

1 2

( δ δ _e , _e ) représentent les positions précontraintes des ressort à l’équilibre

Soit : ( ) ( )

( ¹ 2 ) ²

3 2 0

0 e e

e

C C mga

Ep

C mga

X

α δ β α δ α

β α δ

+ − − + − =

∂ ⎧ ⎪

⎛ ⎞ = ⎨

⎜ ∂ ⎟ − + + =

⎝ ⎠ ⎪⎩

D’où ¹ ²

2 3 0

0 e e

e éq

C C

Ep

C mga X

δ δ

δ

− =

∂ ⎧

⎛ ⎞ = ⎨

⎜ ∂ ⎟ + =

⎝ ⎠ ⎩ ^Î

2

1 / / 3

e e

mga C mga C δ

δ

⎧ = −

⎨ = −

⎩

Une figure permet de vérifier que l’on retrouve le même résultat

Et hors équilibre il reste

( ) ( )

4 C C 2 mga 4 C C Ep

C C

X

α β α α β

β α β α

− − −

⎧ ⎧

⎛ ∂ ⎞ = ⎨ ≅ ⎨

⎜ ∂ ⎟ − −

⎝ ⎠ ⎩ ⎩

D’où [ ] ⁴ ¹

1 1 K C ⎡ − ⎤

≅ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦

Aller plus vite n’est pas forcément la bonne solution pour faire les calculs justes (il faut pratiquer)

Perte de masse

La moitié de la masse m se détache brusquement alors que le système était à l’équilibre

Le système de masse m / 2 part de la position d’équilibre ( θ θ ₁ _e , ₂ _e ) , avec une vitesse initiale nulle. Et se met à osciller autour de la nouvelle position d’équilibre définie par :

1 1

2 2

( / 2) ( / 2)

/ 2 / 2

e e

m m

θ θ

⎧ =

⎨ =

⎩

Le problème à résoudre est : ^ma ² ^⎡ ⎢ ⎣ ² _{1/ 2} ^⎤ ⎥ ⎦ { } ^X ⁺ ^C ^⎡ ⎢ ⎣ − ⁴ ₁ ⁻ ₁ ¹ ^⎤ ⎥ ⎦ ^{{ } { }} ^X ⁼ ⁰

Exercices de cours du chapitre II : Mise en équations

Exercices de cours du chapitre II : Mise en équations

13

Exercice II-4 : Oscillations libres dues à une perte de masse.

Considérons le système ci contre constitué de deux tiges de longueurs 2a et a, et d’une charge en P de masse m. On négligera la masse des tiges devant celle de la charge.

Les liaisons en A et B sont des pivots parfaits auxquels sont adjoints des ressorts de torsion de raideur respective 3C et C.

Ces ressorts sont non contraints pour θ θ 1 = 2 = 0 .

1- Effectuez la mise en équations dans le cadre de l’hypothèse des petits

mouvements, déterminer la position d’équilibre statique ( θ θ 1 e , 2 e ) G x o

A B

2a a

c

3c θ 1

m

θ 2 y G

o

g G

2- Donnez la condition à satisfaire pour vérifier l’hypothèse des petits mouvements. En déduire sous forme matricielle l’équation des petits mouvements.

3- La moitié de la masse m se détache brusquement alors que le système était à l’équilibre. Déterminez les nouvelles équations du mouvement.

Corrigé de l’exercice II-4 : Mise en équations :

Méthodologie : Calcul des énergies ( Ec Ep , ) et travail des autres efforts Développement limité au second ordre

Écriture matricielle des équations de Lagrange Paramétrage : deux rotations absolues on pose < θ θ 1 2 >

2 ( )

2 Ec = mV G o P

la masse des tiges est négligée

( )

( )

V P d OP

= dt JJJG

G avec OP JJJG = 2 ay G 1 + ax G 2

( ) 2

V P G

= − a x θ  G + a θ  y G

D’où 2 Ec = ma 2 ( 4 θ  1 2 + θ  2 2 + 4 θ θ   1 2 sin( θ θ 2 − 1 ) )

Avec le DL à l’ordre 2 : 2 Ec ≅ ma 2 ( 4 θ  1 2 + θ  2 2 ) x G

o A

B

2a a

c

3c θ 1

θ 2 m

y G

o

g G G G

y 1 x 2

( ) 2

2

1 2 1 10 2 1 20 10

(2 cos sin ) 3 ( ) ( )

2 2

C C

Ep = mga θ + θ + θ θ − + θ θ − − θ − θ + Cte

Î 1 2

2 ( 2 1 ) 2

(2 cos sin ) 3

2 2

C C

Ep = mga θ + θ + θ + θ θ − + Cte

On veut étudier les petits mouvements par rapport à la position d’équilibre

On pose 1 1

2 2

e e

θ θ α

θ θ β

= +

⎧ ⎨ = +

⎩ avec ( , ) α β petits Î 2 Ec ≅ ma 2 ( 4 α  2 +  β 2 )

Î Ep 3 ( 1 e ) ( 2 e 1 e ) 2 sin( 1 e )

C θ α C θ θ β α mga θ α α

∂ = + − − + − − +

∂

1 1 1 1 1

sin( θ e + α ) = sin θ e cos α + cos θ e sin α ≅ sin θ e + cos θ α e

( )

1 2 1 1

4 e e 2 sin e 4 2 cos e

Ep C θ C θ mga θ α C mga θ C β α

∂ ≅ − − + − −

∂

A l’équilibre

Ces ressorts sont non contraints pour θ θ ₁ = ₂ = 0 .

mouvements, déterminer la position d’équilibre statique ( θ θ ₁ _e , ₂ _e ) G x _o

3c θ ₁

θ ₂ y G

Écriture matricielle des équations de Lagrange Paramétrage : deux rotations absolues on pose < θ θ ₁ ₂ >

2 Ec = mV G _o P

G avec OP JJJG = 2 ay G ₁ + ax G ₂

= − a x θ G + a θ y G

D’où ² ^Ec ⁼ ^ma ² ( ⁴ ^θ ¹ ² ⁺ ^θ ² ² ⁺ ⁴ ^{θ θ} ^{1 2} ^sin( ^{θ θ} ² ⁻ ¹ ⁾ )

Avec le DL à l’ordre 2 : ² ^Ec ^≅ ^ma ² ( ⁴ ^θ ¹ ² ⁺ ^θ ² ² ) _x ^G

3c θ ₁

θ ₂ m

y ₁ x ₂

( ) ²

² ( 2 1 ) ²

On pose ¹ ¹

⎩ ^avec ( , ) α β petits Î ² ^Ec ^≅ ^ma ² ( ⁴ ^α ² ⁺ ^β ² )

Î Ep 3 ( 1 _e ) ( 2 _e 1 _e ) 2 sin( 1 _e )

sin( θ _e + α ) = sin θ _e cos α + cos θ _e sin α ≅ sin θ _e + cos θ α _e

4 _e _e 2 sin _e 4 2 cos _e

Ep 0 α α β ₌

⎝ ⎠ ^Î 4 C θ ¹ _e − C θ ² _e − 2 mga sin θ ¹ _e = 0 1

Î θ ₁₀ = θ ₂₀ = 0 .

Il reste donc Ep ( 4 2 cos 1 _e )

De même Ep ( 2 _e 1 _e ) cos( 2 _e )

cos( θ _e + β ) = cos θ _e cos β − sin θ _e sin β ≅ cos θ _e − sin θ β _e

1 _e 2 _e cos 2 _e sin 2 _e

Ep 0 β α β ₌

⎝ ⎠ ^Î − C θ ¹ _e + C θ ² _e + mga cos θ ² _e = 0 2

Il reste donc Ep ( sin 2 _e )

Écriture matricielle : on pose { } ^X ^T ^=< ^{α β} ^>

Î 2 Ec = X MX ^T _{avec :} [ ] ² ⁴

∂ ^{avec :} [ ] ¹

Et les équations de Lagrange Î [ ] ^M { } ^X ⁺ ^{[ ]} ^K ^{{ } { }} ^X ⁼ ⁰

Si on cherche la position d’équilibre, il faut résoudre le système ¹ ² ¹