Exercices de cours du chapitre II
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Exercice 1I-1 : Machine d’Atwood
La machine d’Atwood schématisée par la figure ci-contre est constituée de deux masses supposées ponctuelles m1 et m2 reliées entre elles par un fil parfait (fil sans masse et inextensible).
Le fil passe dans une poulie de rayon R, montée sur un pivot parfait d’axe
) , (O zGo
, on note I le moment d’inertie de la poulie par rapport à l’axe de rotation. Nous supposons que le contact entre le fil et la poulie à lieu sans glissement.
La masse m1 est rappelée vers sa position d’équilibre par un ressort de raideur K. Une force Fcosωt est appliquée verticalement à la masse m2 les deux masses sont supposées guidées en translation. On choisira comme origine des déplacements la position à vide du ressort.
Le champ de pesanteur est défini par gG = −g yGo Fcosωt
xGo yGo
O
gG
(m2) (m1)
A – Recherche des équations du mouvement
• Justifier votre choix de paramétrage.
• Exprimer les équations de Lagrange.
• En déduire la position initiale du système B – Tensions dans le fil
On veut déterminer les tensions dans les deux brins du fil
• Justifier votre choix de paramétrage.
• Exprimer les équations de Lagrange.
a. Utiliser un bilan d’effort pour exprimer le travail virtuel des liaisons.
b. Utiliser les multiplicateurs de Lagrange, et analyser les expressions.
• En déduire les tensions dans le fils et retrouver l’équation du mouvement en θ
Annexe
Retrouver en les identifiant ces équations à partir du Principe Fondamental de la Dynamique.
