Per capire meglio la funzione della molla, si analizzi il seguente modello semplificato del sistema sospensione, al momento privato anche dell’elemento smorzante (figura 1).

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A P P E N D I C E A

S O S P E N S I O N I : S E M P L I C E M O D E L L O E Q U I V A L E N T E

I principali elementi costitutivi di una sospensione sono la molla, che collega la ruota al telaio, e l’elemento smorzante, detto ammortizzatore, il cui compito è quello di controllare la velocità con cui la molla ritorna nella posizione iniziale.

L A MOLLA

Per capire meglio la funzione della molla, si analizzi il seguente modello semplificato del sistema sospensione, al momento privato anche dell’elemento smorzante (figura 1).

y

Figura 1.1 Sistema massa + molla.

Si supponga che tra il corpo, di massa m, ed il piano di appoggio, non ci sia attrito. Per muovere l’oggetto lungo l’asse x, in compressione o in estensione (rispettivamente, nel vero positivo o negativo delle x), è necessaria una forza data dall’espressione:

F = -k · x

dove k è la costante di rigidità della molla, x è la misura dello spostamento dalla posizione di riposo.

m

x x

0

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Figura 1.2 Particolare della sospensione Piaggio: la molla.

Posizionando la massa in una posizione diversa da quella di equilibrio, ad esempio comprimendola, si carica la molla di energia potenziale, che segue la legge:

2 x

2

E

_p

k ⋅

=

Lasciando il sistema libero, non essendo in equilibrio, tenderà a tornare nella condizione di potenziale minimo, cioè nella posizione che aveva prima che si spostasse la massa. Durante il ritorno nella posizione iniziale, l’energia potenziale si trasforma in energia cinetica, la cui espressione è:

2 v

2

E

_c

= m ⋅

dove v è la velocità del corpo.

Una volta tornati nella posizione di origine, tutta l’energia potenziale si è trasformata in energia cinetica, quindi il sistema non è ancora in equilibrio. Ciò giustifica il motivo per cui la molla si estende (nell’ipotesi che fosse inizialmente stata compressa, ma le stesse considerazioni sono valide nel caso duale), perdendo energia cinetica e riacquistando energia potenziale. Questo processo, in condizioni ideali, andrebbe avanti all’infinito, seguendo la legge:

v te m x E k

E

_p _c

cos tan

2 2

2

+ ⋅ =

= ⋅

+

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Questo fenomeno fisico, noto come moto armonico semplice, ha la seguente equazione caratteristica:

x = x

₀

· sen(ω t)

dove x

₀

è l’ampiezza di oscillazione e ω è la pulsazione propria del sistema.

La pulsazione ω è legata alla costante elastica k della molla e alla massa m dalla seguente espressione:

m

= k ω

Queste considerazioni fanno già capire come una sospensione dotata solo di molla renderebbe impossibile la guida di un veicolo. Ma c’è da fare ancora un’altra considerazione. Supponiamo di sollecitare il sistema con una forza F ripetuta nel tempo con una pulsazione Ω:

F = A · sen(Ω t)

Una situazione del genere si ha quando si percorre una strada dotata di dossi regolari posti ad uguale distanza fra di loro. Se tale forza agisce nello stesso verso dell’accelerazione del moto armonico, si avrà un aumento dell’ampiezza di oscillazione (fig. 3-a) altrimenti, se la forza ha segno opposto a quello dell’accelerazione del moto, si avrà una diminuzione dell’ampiezza di oscillazione (fig. 3-b).

a b

Figura 1.3 Andamento dell’ampiezza dell’oscillazione in risposta ad un forza sinusoidale.

In particolare, quando la pulsazione Ω coincide con la pulsazione

propria del sistema ω, la molla entra in risonanza e l’ampiezza

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dell’oscillazione tende all’infinito. Questo fa sì che il sistema vada inevitabilmente in crisi, provocandone la rottura.

Il problema può essere risolto adottando come accorgimento un componente che svolga la funzione di smorzatore delle oscillazioni.

Tale accorgimento è proprio l’ammortizzatore.

L’ AMMORTIZZATORE

L’ammortizzatore serve a dissipare l’energia trasmessa dal fondo stradale alla molla della sospensione, impedendo quindi all’elemento elastico di oscillare all’infinito, o di entrare in risonanza, e quindi rompersi.

Si consideri quindi il sistema MMA di figura 1.4, dove si è introdotto anche l’elemento smorzante, l’ammortizzatore, appunto.

Figura 1.4 Sistema massa + molla + ammortizzatore.

La forza di smorzamento dovuta all’ammortizzatore è proporzionale alla velocità di spostamento del corpo di massa m secondo la legge:

dt t b dx v b

R ( )

⋅

=

⋅

=

dove b è il coefficiente di attrito viscoso.

y

m

x x

0

(5)

Figura 1.5 Particolare della sospensione Piaggio: l’ammortizzatore.

Con l’introduzione dell’elemento ammortizzante si ottiene un moto armonico smorzato, cioè un moto oscillatorio in cui l’ampiezza di oscillazione tende a diminuire nel tempo.

Nelle sospensioni le principali forze in gioco sono: la forza peso delle masse non sospese

¹

, la forza di smorzamento e la forza elastica:

) ( ) ) (

( )

(

2 2

t u t dt kx

t b dx dt

t x

m ⋅ d + ⋅ + =

Quella scritta rappresenta una equazione differenziale del secondo ordine, la cui soluzione, nel caso di forza di smorzamento piccola rispetto alla forza elastica, è data da:

) cos(

2

t d

e A

x

^m^t

b

+

⋅

=

⁻

ω

dove A e d dipendono dalle condizioni iniziali, e ω segue la relazione:

2

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= m

b m ω k

Esiste un valore di b per il quale il sistema risponde ad una sollecitazione impulsiva con una oscillazione ottimale (come mostrato in figura 1.6): questa condizione è definita condizione di smorzamento critico ed è quella da raggiungere quando si interviene sul setup del motoveicolo.

1

Le masse sospese sono quelle che gravano sugli elementi elastici delle sospensioni, nel nostro caso, la molla.

Le masse non sospese stanno tra gli elementi elastici e il terreno (in genere

(6)

x

t

Figura 1.6 Risposta ottimale della sospensione.

L’ EQUIVALENTE ELETTRICO DEL SISTEMA MMA

Per comprendere meglio come sia possibile raggiungere la condizione di smorzamento cui si è accennato nel precedente paragrafo, è possibile riportare il problema in un ambiente “più familiare”, ricorrendo all’equivalente circuitale del modello adottato per la sospensione.

Si tratta di un circuito RLC serie:

L

Figura 1.7 Circuito elettrico equivalente di una sospensione.

Per la legge di Kirchoff alla maglia:

) t ( u dt ) t ( C i ) t ( i dt R

) t (

L ⋅ di + ⋅ + ¹ ∫ ⋅ =

ovvero:

) t ( u ) t ( C q dt

) t ( R dq dt

) t ( q

L ⋅ d + ⋅ + 1 ⋅ =

2 2

essendo:

R

u(t) i(t) C

(7)

dt ) dq t (

i =

D’altra parte ponendo:

) t ( dt i

) t (

dx = , ossia x ( t ) = q ( t )

si ottiene:

) t ( u ) t ( C x dt

) t ( R dx dt

) t ( x

L ⋅ d + ⋅ + 1 =

2 2

per cui le condizioni:

L = m; R = b; 1/C = k

garantiscono l’uguaglianza formale del sistema RLC con il sistema sospensione (con la corrispondenza corrente-velocità).

La forma “normale” di un sistema del secondo ordine è:

)

~ ( ) ) (

2 ( )

(

₂

0 2 0

2

t u t dt x

t dx dt

t x

d + ζ ⋅ ω ⋅ + ω =

In particolare si definisce la condizione di smorzamento critico per la quale il coefficiente ζ è uguale a 1.

La condizione da rispettare è dunque:

2 ⋅ = 1

=

ζ L

C

R , ovvero 1

2 =

= ⋅

m k

ζ b ;

Le condizioni ζ maggiore o minore di 1 vengono definite, rispettivamente, sovra o sottosmorzate.

Il grafico riportato di seguito è stato ottenuto simulando la risposta nel tempo di un sistema RLC con MATLAB per valori di ζ>1 (in giallo), ζ<1 (in rosso) e ζ=1 (in blu).

Il confronto tra queste tre situazioni evidenzia come lo smorzamento

critico offra il giusto compromesso tra prontezza della sospensione e

confort (il sistema in blu è quello che tende al valore di regime più

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velocemente, con una accelerazione verticale intermedia rispetto alle condizioni di sovra e sottosmorzamento).

i(t)

t

Figura 1.8 Risposta della circuito al variare di ζ.

Il valore dell’ampiezza superiore non deve trarre in inganno: si ricordi che tra il circuito RLC ed il sistema “massa - molla - smorzatore” c’è corrispondenza corrente-velocità, per cui analizzando il riquadro in alto a destra di figura 6 (uno zoom intorno l’origine), si può notare come l’accelerazione (pendenza della retta, dal momento che in questo intorno gli andamenti sono praticamente rettilinei) cresca al crescere di ζ.

Il circuito equivalente analizzato, si riferisce ad un modello semplificato di sospensione.