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Corso di Laurea in Matematica, A.A. 2011/2012 Analisi Reale e Complessa, Test del 25.11.2011
1) Siano I = [0 , 1] , C l’insieme di Cantor, e V un insieme diVitali.
a) Mostrare che
V × V i =
V 2
i e che
V × V e ≤
V 2
e. b) Stabilire se I× V , C × V , V × V sono misurabili.
c) Stabilire se la misura interna di V `e nulla.
2) Sia G : R2 −→ R2 l’applicazione definita da G(x , y) := x− y − |y| , y
, (x , y)∈ R2.
Si dimostri che per ogni funzione misurabile f : R2 −→ R la composizione f ◦ G `e misurabile.
3) Si verifichi che la funzione F :
0 , +∞ −→ R definita da F (s) :=
Z+∞
0
e−sxsin2x
x2 dx , s ≥ 0
`e continua ed `e due volte derivabile in 0 , +∞
. Si calcoli la seconda derivata in ogni s∈ 0 , +∞
.
Soluzioni:
1) : a) Ricordiamo che la misura interna (di Lebesgue) di E ⊂ Rn`e
|E|i := sup
F⊂E F chiuso
|F | .
Ma, per la continuit`a monotona (crescente) della misura di Lebesgue, abbiamo per ogni insieme chiuso F ∈ Rn
F ∩ [−k , k]n
−−−−−→ |F | ,k→+∞
ove gli insiemi F ∩ [−k , k]n sono compatti. Risulta che abbiamo anche a formula
|E|i = sup
KcompattoK⊂E
|K| .
Mostriamo ora che
|E × E|i =|E|i2 :
Per ogni compatti K1, K2 ⊂ E l’insieme K1 × K2 `e compatto e contenuto in E× E , perci`o abbiamo
|K1||K2| = |K1× K2| ≤ |E × E|i. Risulta
|E|i2 = sup
K1⊂E K1compatto
|K1| · sup
K2⊂E K2 compatto
|K2|
= sup
K1,K2⊂E K1,K2compatti
|K1||K2| ≤ |E × E|i.
Per dimostrare la disuguaglianza reciproca, sia ora C ⊂ E × E un insieme compatto. La proiezione C1 di C ⊂ Rn× Rn sul primo fattore cartesiano Rn e la proiezione C2 di C sul secondo fattore cartesiano Rnsono compatti quale immagini continue dell’insieme compatto C . Poich´e
C ⊂ C1× C2 e C1, C2 ⊂ E, abbiamo
|C| ≤ |C1× C2| = |C1||C2| ≤ |E|i2. Di conseguenza vale anche
|E × E|i = sup
C⊂E×E Ccompatto
|C| ≤ |E|i2.
Ora ricordiamo che la misura esterna (di Lebesgue) di E ⊂ Rn `e
|E|e:= inf
UE⊂Uaperto
|U| . Risulta :
|E × E|e ≤ |E|e2 :
Per ogni aperti U1, U2 ⊃ E l’insieme U1×U2`e aperto e contenente E× E , perci`o
|E × E|e≤ |U1× U2| = |U1||U2| . Cosicch´e
|E × E|e≤ inf
E⊂U1, U2 U1, U2aperti
|U1||U2|
= inf
E⊂U1 U1aperto
|U1| · inf
E⊂U2 U2compatto
|U2| = |E|e2 .
b) Ricordiamo che, per A ⊂ Rn e B ⊂ Rk, se A× B `e misurabile e
|A|e > 0 allora B `e misurabile :
Infatti, per il teorema di Fubini-Tonnelli l’insieme (A× B)x =
y∈ Rk; (x , y)∈ A × B
=
( B per x∈ A
∅ per x /∈ A .
`e misurabile per quasi ogni x ∈ Rn e poich´e A non `e di misura nulla, esiste x∈ A con (A × B)x misurabile.
In particolare, poich´e I ⊂ R e V ⊂ R non sono di misura nulla e V ⊂ R non `e misurabile, gli insiemi I × V ⊂ R2 e V × V ⊂ R2 non possono essere misurabili.
D’altro canto, siccome l’insieme di Cantor C ⊂ R `e di misura nulla, l’insieme prodotto C × R ⊂ R2 `e di misura nulla e la stessa cosa vale
per ogni sottoinsieme di C× R , fra quali anche per C × V . Cosicch´e C× V `e misurabile.
c) Mostreremo che la misura di qualsiasi sottoinsieme misurabile di V ha misura nulla ed allora risulta :
|V |i = sup
F⊂V F chiuso
|F | = 0 .
Sia quindi E ⊂ V misurabile.
Ricordiamo la definizione di V : considerata la relazione di equivalenza in R definita da
x∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q ,
scegliamo in ogni classe di equivalenza un numero appartenente a [0 , 1) ed indichiamo con V l’insieme dei numeri scelti. Allora, se {r1, r2, ...}
`e l’insieme dei numeri razionali in [0 , 1) , allora gli insiemi rk+ V , k ≥ 1
sono a due a due disgiunti e la loro unione `e contenuta in [0 , 2) . Di conseguenza,
rk+ E , k≥ 1
sono insiemi misurabili a due a due disgiunti con l’unione contenuta in [0 , 2) ed usando la σ-additivit`a della misura di Lebesgue risulta
X∞ k=1
|rk+ E| =
[∞ k=0
(rk+ E) ≤
[0 , 2) = 2 . In particolare
|rk+ E| −→ 0 .
Ma la misura di Lebesgue `e invariante sotto le traslazioni e quindi
|rk+ E| = |E| per ogni k ≥ 1 . Perci`o |E| = 0 .
2) : L’applicazione G : R2 −→ R2 `e invertibile e l’applicazione inversa si trova risolvendo l’equazione vettoriale
x− y − |y| , y
= u , v ,
cio`e il sistema di equazioni scalari
x− y − |y| = u y = v . Risulta
G−1(u , v) = u + v +|v| , v .
Per verificare la misurabilit`a di f ◦ G dobbiamo provare che l’insieme (f◦ G)−1(U) = G−1 f−1(U)
`e misurabile per ogni aperto U ⊂ R . Ma, per la misurabilit`a della funzione f , l’insieme f−1(U)⊂ R2 `e misurabile, quindi basta verificare che la controimmagine G−1(E) ⊂ R2 di qualsiasi insieme misurabile E ⊂ R2 `e misurabile. (Rimarchiamo che questa propriet`a `e pi`u forte della misurabilit`a dell’applicazione G , che richiede la misurabilit`a di G−1(E) solo per gli insiemi di Borel E !)
Questo risulter`a applicando il teorema seguente (Teorema 3.33 nel libro R.L. Wheeden - A. Zygmund: Measure and Integral, discusso anche alle lezioni) :
Se T : Rn −→ Rn `e una applicazione di Lipschitz, allora l’insieme T (E) ⊂ Rn `e misurabile per ogni E ⊂ Rn misurabile.
A questo fine resta solo a verificare che l’applicazione G−1 : R2 −→ R2
`e di Lipschitz : abbiamo per ogni (u , v) , (u′, v′)∈ R2 G−1(u , v)− G−1(u′, v′)
2
= u + v +|v| − u′− v′− |v′|2
+ (v− v′)2
≤ |u − u′| + |v − v′| +
|v| − |v′|
| {z }
≤ |v−v′|
2
+ (v− v′)2
≤ |u − u′| + 2|v − v′|2
+ (v− v′)2
= (u− u′)2+ 4 (v− v′)2+ 4|u − u′||v − v′|
| {z }
≤ 4 (u−u′)2+(v−v′)2
+(v− v′)2
≤ 5(u − u′)2+ 6 (v− v′)2 ≤ 6 u − u′)2+ (v− v′)2
= 6
(u , v)− (u′, v′) 2,
cio`e
G−1(u , v)− G−1(u′, v′) ≤√
6
(u , v)− (u′, v′) . 3) : Siccome
0≤ e−sxsin2x x2 ≤
1 per x∈ (0, 1]
1
x2 per x∈ [1, +∞) s ≥ 0 , ove la funzione (non dipendente da s !)
(0, +∞) ∋ x 7−→
1 per x∈ [0, 1]
1
x2 per x∈ [1, +∞)
`e integrabile su (0, +∞) , e le funzioni [0, +∞) ∋ s 7−→ e−sxsin2x
x2 ∈ R , x∈ (0, +∞) sono continue, la funzione F `e ben definita e continua.
La derivabilit`a di F (s) sotto il segno dell’integrale `e possibile in ogni s∈ (0, +∞) . Infatti, esiste la derivata parziale
∂
∂s
e−sxsin2x x2
=−e−sxsin2x
x , x > 0 , s > 0 e, per x > 0 , s≥ ε > 0 , abbiamo la maggiorazione
∂
∂s
e−sxsin2x x2
= e−sxsin2x
x = e−sxsin x
x sin x≤ e−sx ≤ e−εx dove la funzione e−εx`e integrabile su (0, +∞) . Cos`ı F risulta derivabile in ogni s∈ (0, +∞) ed abbiamo
F′(s) = Z+∞
0
∂
∂s
e−sxsin2x x2
dx =− Z+∞
0
e−sxsin2x x dx .
Ora anche la derivabilit`a di F′(s) sotto il segno dell’integrale `e possibile in ogni s∈ (0, +∞) . Infatti, esiste la derivata parziale
∂
∂s
e−sxsin2x x
=−e−sxsin2x , x > 0 , s > 0
e, per x > 0 , s≥ ε > 0 , abbiamo la maggiorazione
∂
∂s
e−sxsin2x x
≤e−sx ≤ e−εx
dove la funzione e−εx `e integrabile su (0, +∞) . Cos`ı F′ `e derivabile in ogni s ∈ (0, +∞) ed abbiamo
F′′(s) = (F′)′(s)
= − Z+∞
0
∂
∂s
e−sxsin2x x
dx =
Z+∞
0
e−sxsin2x dx
= Z+∞
0
e−sx1− cos(2x)
2 dx
= 1 2
Z+∞
0
e−sxdx− 1 2
Z+∞
0
e−sxcos(2x) dx .
(*)
Il primo integrale si calcola facilmente:
Z+∞
0
e−sxdx = 1 s .
Per calcolare il secondo integrale, calcoliamo l’integrale indefinito Z
e−sxcos(2x) dx . Tramite integrazione ripetuta per parti si ottiene
Z
e−sxcos(2x) dx
= − 1 s
Z
cos(2x) de−sx
= − 1
se−sxcos(2x)− 2 s
Z
e−sxsin(2x) dx
= − 1
se−sxcos(2x) + 2 s2
Z
sin(2x) de−sx
= − 1
se−sxcos(2x) + 2
s2e−sxsin(2x)− 4 s2
Z
e−sxcos(2x) dx
da dove deduciamo che Z
e−sxcos(2x) dx = 1 1 + 4
s2 e−sx
− 1
s cos(2x) + 2
s2 sin(2x)
= e−sx s2+ 4
2 sin(2x)− s cos(2x) . Risulta
Z+∞
0
e−sxcos(2x) dx = s s2 + 4 e cos`ı (*) implica
F′′(s) = 1
2 s − s
2 (s2+ 4) = 2
s (s2+ 4) . (**) Rimarco 1. Usando (**) possiamo calcolare esplicitamente prima F′(s) , e poi F (s) , per ogni s∈ (0, +∞) .
Infatti,
F′′(s) = 1
2 s − s
2 (s2+ 4) = 1
2 s − (s2 + 4)′ 4 (s2+ 4) , implica
F′(s) = 1
2 ln s− 1
4 ln(s2+ 4) + C1 = 1
4 ln s2
s2+ 4 + C1. Per determinare la costante C1, rimarchiamo che
|F′(s)| =
Z+∞
0
∂
∂s
e−sxsin2x x2
dx
= Z+∞
0
e−sxsin2x x dx
≤ Z+∞
0
e−sxdx = 1
s , s > 0
implica lim
s→+∞F′(s) = 0 . Poich´e anche lim
s→+∞ln s2
s2+ 4 = 0 , risulta che C1 = 0 e cos`ı
F′(s) = 1
4 ln s2
s2+ 4 , s > 0 .
Per trovare una formula esplicita anche per F (s) , calcoliamo l’integrale indefinito
Z
ln s2+ α2
ds , α≥ 0 : tramite itegrazione per parti si ottiene
Z
ln s2+ α2
ds = s ln s2+ α2
− Z
s 2 s s2+ α2 ds
= s ln s2+ α2 −Z 2(s2+ α2)− 2α2 s2+ α2 ds
= s ln s2+ α2
− 2s + 2α
Z 1
s α
2
+ 1 d s
α
= s ln s2+ α2
− 2s + 2α arctgs α + C . Risulta per F (s) , s > 0 , che `e una primitiva di
1
4 ln s2
s2+ 4 = 1
4 ln s2− 1
4 ln s2+ 4 , la formula
F (s) = 1 4
s ln s2− 2s
− 1 4
s ln s2+ 4
− 2s + 4arctg s 2
+ C2
= 1
4s ln s2− 1
4s ln s2+ 4
− arctg s 2 + C2
= 1
4s ln s2
s2+ 4 − arctg s
2 + C2.
Per determinare la costante C2, usiamo la stima
|F (s)| =
Z+∞
0
e−sxsin2x x2 dx
= Z+∞
0
e−sxsin2x x2 dx
≤ Z+∞
e−sxdx = 1
s , s > 0
che implica lim
s→+∞F (s) = 0 . Poich´e
s→+∞lim s ln s2
s2 + 4 = lim
s→+∞
1
s ln 1
1 + 4
s2
s2 = 0· ln 1 e4 = 0
e
s→+∞lim arctg s 2 = π
2 , risulta 0 = 0− π
2 + C2, cio`e C2 = π
2 . Di conseguenza F (s) = π
2 − arctg s 2 +s
4 ln s2
s2+ 4 , s > 0 . Rimarco 2. Poich´e la funzione F :
0 , +∞
−→ R `e continua, la formula precedente vale anche per s = 0 e risulta
Z+∞
0
e−sxsin2x
x2 dx = π
2 − arctg s 2 +s
4 ln s2
s2+ 4 , s≥ 0 . In particolare
Z+∞
0
sin2x
x2 dx = π 2 .
