TUTORATO DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’ - LEZIONE 5

TUTORATO DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’ - LEZIONE 5

Simulazione della seconda prova parziale

P

In una linea di trasmissione che impiega l’alfabeto Morse (composto da due soli simboli, chiamati

“punto” e “linea”), il rapporto tra la probabilità che sia inviata una “linea” e la probabilità che sia inviato un “punto” è pari a 4/3.

(1.1) Si calcolino la probabilità che sia inviato un “punto” e la probabilità che sia inviata una

“linea”.

Si supponga che la linea di trasmissione sia disturbata in modo che “punto” e “linea” siano ricevuti scambiati con probabilità 1/10 (valore che, dunque, rappresenta la probabilità di ricevere un simbolo dato che ne è stato inviato un altro).

(1.2) Si calcoli la probabilità di ricevere un “punto”, motivando la risposta.

(1.3) Si stabilisca se gli eventi “ricevere un punto” e “inviare una linea” sono incompatibili e/o indipendenti, motivando la risposta.

(1.4) Se si riceve un “punto”, qual è la probabilità che sia stato inviato un “punto”? Se, invece, si riceve una “linea”, qual è la probabilità che sia stata inviata una “linea”?

(1.5) Si enunci e si dimostri il teorema di Bayes nel caso in cui si abbiano n possibili cause C₁,…,C_n di un effetto E.

S

Il 50.5% dei batteri presenti in una porzione dell’alta stratosfera terrestre appartengono alla specie B1, il 49.4% alla specie B2 e il restante 0.1% alla specie B3.

Sia Xi il numero dei batteri appartenenti alla specie Bi (i = 1,2,3) presenti in un campione di numerosità n estratto con reinserimento.

(2.1) Si specifichi la distribuzione della v.c. bidimensionale (X₁,X₂) con particolare riferimento al valore dei parametri che la caratterizzano e si calcoli P(X1 = 5 , X2 = 5) per n = 10.

(2.2) Si determinino le distribuzioni delle v.c. X1 e X2 e si stabilisca se sono indipendenti.

(2.3) Si definisca la convergenza in distribuzione e si enunci il Teorema Centrale del Limite.

(2.4) Si stabilisca se le ipotesi del teorema enunciato sono soddisfatte e si fornisca un’opportuna approssimazione Normale per X1 nel caso in cui n = 100.

(2.5) Sulla base dell’approssimazione Normale fornita, si calcolino P(49 ≤ X1 < 59) e il quantile di ordine 0.025, spiegando il significato di tale quantile.

Esercizio 3

(3.1) Si verifichi che la funzione

( )

2

,y = 1 e^{− x +y − y+}

x π

ϕ (x e y reali) rappresenta la funzione di densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).

(3.2) Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.

(3.3) Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.

(3.4) Si determini la distribuzione della v.c. D = Y − X e si motivi la risposta con l’enunciato di un’opportuna proprietà.

Siano Q1,…,Qn v.c. indipendenti e distribuite come Q = X² e sia Sn = Q1 + … + Qn.

(3.5) Si determinino la distribuzione della v.c. Sn e il limite a cui Sn / n converge in probabilità, motivando le risposte.

Quesito

Si enunci e si dimostri la proprietà riproduttiva della v.c. Binomiale.