TUTORATO DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’ - LEZIONE 5

TUTORATO DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’ - LEZIONE 5

Simulazione della seconda prova parziale

P

Sapendo che 4/3 = P(inviata linea) / P(inviato punto) = [1 − P(inviato punto)] / P(inviato punto), si ha 4 P(inviato punto) = 3 – 3 P(inviato punto), ovvero

(1.1) P(inviato punto) = 3/7 = 0.43;

P(inviata linea) = 1 – P(inviato punto) = 1 – 3/7 = 4/7 = 0.57.

Si supponga, inoltre, che P(ricevuto punto | inviata linea) = 1/10 = P(ricevuta linea | inviato punto).

(1.2) P(ricevuto punto) = P(ricevuto punto | inviato punto) P(inviato punto) + P(ricevuto punto | inviata linea) P(inviata linea)

= (9/10) (3/7) + (1/10) (4/7) = 31/70 = 0.4429 per la legge delle alternative.

(1.3) Gli eventi “ricevere un punto” e “inviare una linea” non sono incompatibili e non sono indipendenti […].

(1.4) P(inviato punto | ricevuto punto)

= P(ricevuto punto | inviato punto) P(inviato punto) / P(ricevuto punto)

= (9/10) (3/7) / (31/70) = 27/31 = 0.8710 e analogamente,

P(inviata linea | ricevuta linea)

= P(ricevuta linea | inviata linea) P(inviata linea) / P(ricevuta linea)

= (9/10) (4/7) / (39/70) = 36/39 = 0.9231.

(1.5) Enunciato.

In un qualsiasi spazio probabilistico, se E è un evento con probabilità non nulla e

{ }

U

n

Cn

E ⊆ , allora

∀m

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

∑

n

n n

m m

m P E C P C

C P C E E P

C

P |

| | .

Dimostrazione.

Dalla definizione di probabilità condizionata, dalla formula della probabilità composta e dalla legge delle alternative […] deriva che m∀

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

∑

∩ =

=

n

n n

m m m

m m

m P E C PC

C P C E P E

P C P C E P E

P E C E P

C

P |

|

| | .

S

(2.1) (X₁,X₂) ~ Trinomiale(n,p,q) con p = 0.505 e q = 0.494; per n = 10 si ha

( )

24 . 0

00096 . 0 252 0294 . 0 0328 . 1200 120 3628800 001

. 0 494 . 0 505 .

!0 0

! 5

! 5

! 5 10 ,

5 ₂ ^{5 5 0}

1

=

⋅

=

⋅ ⋅

=

=

=

= X X

P

(2.2) X1 ~ Binomiale(n,p) e X2 ~ Binomiale(n,q) non sono indipendenti […].

(2.3) […].

(2.4) Le ipotesi del TCL sono soddisfatte […];

X1 ≈ N(µ,σ²) con µ = np = 50.5 e σ² = np(1−p) = 24.9975 per n = 100.

(2.5) P(49 ≤ X1 < 59) ≅ P(-0.3 ≤ Z < 1.7) = 0.9554 − 0.3821 = 0.5733;

da 0.025 = P(X ≤ x) ≅ P[Z ≤ (x−50.5) / 4.9997] si ottiene -1.96 = z0.025 ≅ (x−50.5) / 4.9997 ovvero x ≅ 40.7 […].

Esercizio 3

(3.1) ϕ(x,y) >0 e ∫∫ ϕ(x,y) dxdy =1 […].

(3.2) X ∼ N(0,1) e Y ∼ N(1,1) […].

(3.3) X e Y sono indipendenti, ma non sono identicamente distribuite […].

(3.4) D = Y − X ∼ N(1,2) per la proprietà riproduttiva della Normale […].

(3.5) Essendo Q = X² ~ χ²1, Sn = Q1 + … + Qn ~ χ²n per la proprietà riproduttiva della v.c. χ²; S_n / n converge in probabilità a E(Q) = 1 per la LGN.

Quesito

Enunciato.

Se X1,…, Xm sono v.c. indipendenti con distribuzioni Binomiali di parametri ni e θ (i = 1,…,m), allora la v.c.

∑

=

= ^m

1 i

Xi

S ha distribuzione Binomiale di parametri

∑

=

= ^m

i

ni

n

1

e θ.

Dimostrazione.

) t (

G_S

( ) _∏ ( )

=

∑ =









= 

= ^{= m}

1 i X tX

tS t _i

m 1

i i

e E e

E e

E per l’indipendenza di X₁, …, X_m

( ) ( )

∏

−

−

=

−

−

= ^m

i

t n t n

e e ⁱ

1

) 1 ( 1 ) 1 (

1 θ θ ^con

∑

=

= ^m

i

ni

n

1

,

che rappresenta la f.g.m. di una v.c. Binomiale con parametri

∑

=

= ^m

i

ni

n

1

e θ.