Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Modulo I) del 19-07-2021.
1. Discutere il seguente argomento:
• moto in un campo di forze centrali, conservazione dell’energia, conservazione del momento angolare. Moti radiali (unimensionali). Moti non radiali, piano di Laplace, coordinate polari e seconda legge di Keplero. [10 pt]
2. Risolvere i seguenti esercizi:
• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto materiale soggetto alla forza posizionale F = −x(1 − x)(1 + x
2) e si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile; [10 pt]
• per il sistema del precedente esercizio si dia una stima del tempo necessario per raggiungere +∞ se la posizione iniziale ` e x = 2 e la velocit` a iniziale ` e nulla.
[10 pt]
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Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Modulo II) del 19-07-2021.
1. Discutere il seguente argomento:
• trasformazioni naturali q = q(Q, t) per i sistemi lagrangiani. Invarianza delle equazioni di Lagrange per l’aggiunta alla lagrangiana di una qualsiasi derivata totale
dFdt(q, t). [10 pt]
2. Risolvere i seguenti esercizi:
• un sistema `e composto di due punti materiali pesanti di uguale massa m. Il primo sia vincolato senza attrito alla circonferenza x
2+z
2= 4, y = 0, il secondo sia vincolato senza attrito alla circonferenza x
2+ z
2= 1, y = 0. I due punti siano collegati da una molla di costante k. Si scriva la lagrangiana utilizzando ccome variabili i due angoli θ
1e θ
2contati dalla discendente verticale (come nel pendolo). Si mostri che la posizione θ
1= 0, θ
2= 0 (entrambi i punti in basso sulle rispettive circonferenze) ` e di equilibrio e se ne discuta la stabilit` a;
[10 pt]
• relativamente al problema precedente si assuma che la forza peso sia assente e
si trovi un secondo integrale del moto (oltre all’energia meccanica). [10 pt]
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