Classificazione Quadratiche

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Classificazione Quadratiche

Definizione di quadratica:

Una quadratica è il luogo degli zeri di un polinomio di secondo grado.

Introduzione

I polinomi di secondo grado si possono scrivere sotto forma di prodotto scalare di un vettore per se stesso.

Esempio (in due variabili):

(𝑥 𝑦) � 𝑎 𝑐 𝑐 2 2 𝑏

� � 𝑥

𝑦� = 𝑎𝑥

²

+ 𝑏𝑦

²

+ 𝑐𝑥𝑦

In questo modo si ottengono polinomi omogenei di secondo grado. Tuttavia, se vogliamo considerare la totalità dei casi, dobbiamo contare anche i polinomi non omogenei, cioè che contengono termini di primo grado o costanti. Per fare questo dobbiamo passare a una dimensione di più (passiamo da 2 a tre

dimensioni anche se abbiamo solo 2 variabili):

(𝑥 𝑦 1)

⎝

⎜ ⎜

⎛ 𝑎 𝑐 2

𝑑 𝑐 2

2 𝑏 𝑒 𝑑 2

2 𝑒 2 𝑓⎠

⎟ ⎟

⎞ � 𝑥

𝑦 1 � = 𝑎𝑥

²

+ 𝑏𝑦

²

+ 𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓

Chiameremo quindi M la matrice Completa (3x3 nel caso di 2 dimensioni, 4x4 nel caso di 3 dimensioni) , e A la matrice incompleta associata alla parte omogenea di 2° grado del polinomio (2x2 nel caso 2-d, 3x3 nel caso 3-d).

Classificazione delle quadratiche in C

²

Su C l’unico invariante, oltre a Dim(V), è Rnk(M) e Rnk(A). Ecco quindi la classificazione:

Rnk(M) Rnk(A) Tipo di Quadratica

3 2 Ellisse/Iperbole

2 2 2 Rette incidenti

2 1 2 Rette parallele

1 1 Retta doppia

1 0 -

0 0 Tutto lo spazio

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Classificazione delle quadratiche in R

²

Su R gli invarianti, oltre a Dim(V), sono le segnature di M e di A. Ecco quindi la classificazione:

Segnature (M) Segnature (A) Tipo di Quadratica

(3,0,0), (0,3,0) (2,0,0), (0,2,0) -

(2,1,0), (1,2,0) (2,0,0), (0,2,0) Ellisse

(2,1,0), (1,2,0) (1,1,0), (1,1,0) Iperbole

(2,1,0), (1,2,0) (1,0,1), (0,1,1) Parabola

(2,0,1), (0,2,1) (2,0,0), (0,2,0) Origine

(2,0,1), (0,2,1) (1,0,1), (0,1,1) -

(1,1,1) (1,1,0) 2 Rette incidenti

(1,0,2), (0,1,2) (1,0,1), (0,1,1) Retta doppia

(1,0,2), (0,1,2) (0,0,2) -

(0,0,3) (0,0,2) Tutto lo spazio

Classificazione delle quadratiche in C

³

Su C l’unico invariante, oltre a Dim(V), è Rnk(M) e Rnk(A). Ecco quindi la classificazione:

Rnk(M) Rnk(A) Tipo di Quadratica

4 3 Iperboloide/Ellissoide

3 3 Cono

3 2 Cilindro a base Iperbolica/Ellittica

2 2 2 Piani incidenti

2 1 2 Piani paralleli

1 1 Piano doppio

1 0 -

0 0 Tutto lo spazio

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Classificazione delle quadratiche in R

³

Su R gli invarianti, oltre a Dim(V), sono le segnature di M e di A. Ecco quindi la classificazione:

Segnature (M) Segnature (A) Tipo di Quadratica

(4,0,0), (0,4,0) (3,0,0), (0,3,0) -

(3,1,0), (1,3,0) (2,1,0), (1,2,0) Iperboloide a 2 falde

(3,1,0), (1,3,0) (3,0,0), (0,3,0) Ellissoide

(3,1,0), (1,3,0) (2,0,1), (0,2,1) Paraboloide

(2,2,0) (2,1,0), (1,2,0) Iperboloide a 1 falda

(2,2,0) (1,1,1), (1,1,1) Sella

(3,0,1), (0,3,1) (3,0,0), (0,3,0) Origine

(3,0,1), (0,3,1) (2,0,1), (0,2,1) -

(2,1,1), (1,2,1) (2,1,0), (1,2,0) Cono

(2,1,1), (1,2,1) (1,1,1) Cilindro a base iperbolica

(2,1,1), (1,2,1) (2,0,1), (0,2,1) Cilindro a base ellittica

(2,1,1), (1,2,1) (1,0,2), (0,1,2) Cilindro a base parabolica

(2,0,2), (0,2,2) (2,0,1), (0,2,1) Retta doppia

(2,0,2), (0,2,2) (1,0,2), (0,1,2) -

(1,1,2) (1,1,1) 2 Piani incidenti

(1,1,2) (1,0,2), (0,1,2) 2 Piani paralleli

(1,1,2) (0,0,3) 1 piano

(1,0,3), (0,1,3) (1,0,2), (0,1,2) Piano doppio

(1,0,3), (0,1,3) (0,0,3) -

(0,0,4) (0,0,3) Tutto lo spazio