Che probabilità c’è che dopo la prima sostituzione ci siano 7 giocatori in campo con la maglia dispari? Esercizio 2

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17/07/2012

Esercizio 1. Si consideri una partita di calcio, con gli 11 giocatori in campo aventi le maglie coi numeri da 1 ad 11, e 5 riserve in panchina con le maglie dalla 12 alla 16.

Durante una partita di calcio l’allenatore sostituisce un giocatore nel primo tempo ed uno nel secondo, scegliendo il secondo sempre dalla formazione iniziale. Si supponga che il portiere (maglia 1) non venga mai sostituito e che gli altri abbiano la stessa probabilità di essere sostituiti e che tutte le operazioni (diverse sostituzioni, scelta del sostituto) siano indipendenti.

i) (punti 3) Che probabilità c’è che entrambi i giocatori sostituiti abbiano un numero dispari sulla maglia ?

ii) (punti 3) Qual è la probabilità che la somma dei due numeri sia 7 (non condizionata ad essere numeri dispari)?

iii) (punti 3) Consideriamo una nuova partita. Che probabilità c’è che dopo la prima sostituzione ci siano 7 giocatori in campo con la maglia dispari?

Esercizio 2. Si consideri la funzione f (x) = C jxj e ^jxj

2 2

i) (punti 3) Stabilire per quali valori di e di C è una densità di probabilità.

ii) (punti 4) Calcolare E [X] e E [jXj].

iii) (punti 3) Posto Y = 1 jXj, calcolare FY (0).

iv) (punti 3) Calcolare E h 1

jXj

i .

Esercizio 3. Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4; 5; 6g associata alla seguente matrice di transizione

P = 0 BB BB BB

@

1=2 0 0 0 0 1=2

0 1=3 0 0 2=3 0

0 0 2=3 1=3 0 0

0 0 1=3 2=3 0 0

0 2=3 0 0 1=3 0

0 0 1=2 0 1=2 0

1 CC CC CC A :

i) (punti 3) Disegnare il grafo, classi…care gli stati e trovare le classi irriducibili. Discutere a priori la struttura delle probabilità invarianti, prima di calcolarle. Trovare poi le probabilità invarianti, possibilmente senza svolgere alcun calcolo.

ii) (punti 3) Calcolare la probabilità al tempo 5 di trovarsi nello stato 2, partendo al tempo 0 dallo stato 1.

iii) (punti 4) Indicata con p⁽ⁿ⁾_ij la probabilità di trovarsi nello stato j al tempo n dopo essere partiti dallo stato i al tempo 0, cercare di capire se vale la convergenza all’equilibrio, cioè p⁽ⁿ⁾_ij converge ad un valore ij per n ! 1. Stabilire quanto vale _ij. Esporre anche solo considerazioni parziali.

x = ^x1+:::+x_n ⁿ, S² = _{n 1}¹ Pn

i=1(x_i x)², dCov = _{n 1}¹ Pn

i=1(x_i x) (y_i y), r = _S^Covd

x{XSY =

Pn

i=1(xi x)(yi y)

pPn

i=1(xi x)²Pn

i=1(yi y)². Pn

i=1(xi x)² = Pn

i=1x²_i nx²,Pn

i=1(xi x) (yi y) = (Pn

i=1xiyi) nxy.

n! = n (n 1) 2 1, 0! = 1. ⁿ_k = _{k!(n k)!}^n! = n (n 1) (n k+1)

k! .

P (AjB) =^{P (A\B)}_{P (B)} , P (A \ B) = P (AjB) P (B). A; B indipendenti: P (A \ B) = P (A) P (B), P (AjB) = P (A), P (BjA) = P (B). P (A) =P

kP (AjB^k) P (Bk). P (BjA) = P (AjB)P (B) P (A) . X discreta, valori a_j, P (X = a_j) = p_j, allora E [X] = P

ja_jp_j, E [g (X)] = P

jg (a_j) p_j, E X² = P

ja²_jp_j. P (X 2 A) =P

i:ai2AP (X = ai) =P

i:ai2Api. X 2 N, P (X n) =Pn

i=0pi, P (X n) =P₁

i=npi. X continua, densità f (x), allora E [X] =R₁

1xf (x) dx, E [g (X)] =R₁

1g (x) f (x) dx, in particolare E X² = R₁

1x²f (x) dx. P (X 2 A) =R

Af (x) dx.

V ar [X] = _X² := Eh

(X _X)²i

dove _X = E [X]. V ar [X] = E X^{2 2}_X. Cov (X; Y ) = E [(X _X) (Y _Y)], Cov (X; Y ) = E [XY ] _{X Y}. (X; Y ) = ^{Cov(X;Y )}

X Y . 1 (X; Y ) 1.

E [aX + bY + c] = aE [X] + bE [Y ] + c. V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] + 2Cov (X; Y ). V ar [aX] = a²V ar [X].

Standardizzazione di X: ^{X X}

X .

X; Y indipendenti: P (X 2 A; Y 2 B) = P (X 2 A) P (Y 2 B). Implica E [XY ] = E [X] E [Y ], Cov (X; Y ) = 0, (X; Y ) = 0, V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ].

F (x) = P (X x). F (t) =Rt

1f (x) dx. F⁰(t) = f (t). F (q ) = .

' (t) = E e^tX , '⁰(0) = E [X], '⁰⁰(0) = E X² ; 'aX(t) = E e^taX = 'X(at). X; Y indipendenti implica '_X+Y (t) = '_X(t) '_Y (t).

X B (n; p) : P (X = k) = ⁿ_k p^k(1 p)^{n k}, E [X] = np, V ar [X] = np (1 p), = p

np (1 p), ' (t) = q + pe^{t n} dove q = 1 p. X₁; :::; X_n B (1; p) indipendenti implica S = X₁+ ::: + X_n B (n; p).

X ipergeometrica di parametri N , M e n : P (X = k) =

N k

M n k N +M

n

con k = 0; 1; ; n.

X P ( ): P (X = k) = e _k!^k, E [X] = , V ar [X] = , = p

, ' (t) = e (^{et 1}). Se npn = allora lim_n!1 ⁿ_k p^k_n(1 pn)^{n k}= e _k!^k.

X N ; ² : f (x) = p¹

2 ² exp ^(x₂ 2⁾² . E [X] = , V ar [X] = ², ' (t) = e ^te^{t2 22} . X; Y gaussiane indipendenti, a; b; c 2 R implica aX + bY + c gaussiana. X N ; ² si può scrivere come X = Z + , con Z N (0; 1). F _; 2(x) = ^x . ( x) = 1 (x). q = q₁ . Soglie q .

X Exp ( ): f (x) = e ^x per x 0, zero per x < 0. E [X] = ¹, V ar [X] = ¹2, = ¹, ' (t) = _t per t < . F (x) = 1 e ^x per x 0, zero per x < 0.

TLC: Posto S_n= X₁+ ::: + X_n, si ha P ^Snp ⁿ

n 2 A P (Z 2 A), con Z N (0; 1).

Correzione di continuità: P (S_n k) ^{k+0;5 n}p

n , con k 2 N X = ^X1+:::+X_n ⁿ N ; _n² . E S² = ². ^S2²(n 1) ²_{n 1}.

= X ^qp^{1 2}

n ; = X

S t^{(n 1)}

1 2

pn .

x 0p n > q₁

2. ^x_S⁰p

n > t^{(n 1)}₁

2 . P jZj > ^x_S ⁰p

n , P X 2h

0 q₁

p 2

n ; ₀+ ^qp^{1 2} n

i

. ^S2²(n 1) >

2

;n 1. T = nPk i=1

(pbi pi)² pi =Pk

i=1

(^Xbi npi)²

npi > ²_{;k 1}. y = A + Bx, B = ^Covd_S2

X

= r^S_S^Y

X, y = A + Bx.

1 Soluzioni

Esercizio 1. i) Varie soluzioni (come compito anno precedente). Es.: consideriamo le sostituzioni in ordine; nella prima ci sono 10 possibilità, nella seconda 9, quindi ci sono 10 9 sostituzioni possibili; e sono equiprobabili; se vogliamo che il numero sia dispari, ce ne sono 5 4. Quindi la probabilità è _{10 9}^{5 4} = ²₉.

ii) Siccome le combinazioni con somma 7 sono troppe, calcoliamo la probabilità complementare, che la somma sia 6. Le coppie ordinate di numeri di maglie con tale proprietà sono (2; 3), (3; 2), (2; 4), (4; 2) e basta. Quindi la probabilità richiesta è

1 4

10 9 = 43

45 = 0:955:

iii) L’evento richiesto equivale al fatto che sia stato sostituito un giocatore con la maglia pari con uno in panchina che ha la maglia dispari; quindi, considerando l’indipendenza tra uscite ed entrate, dobbiamo calcolare la probabilità che esca uno con la maglia pari, ¹₂, per la probabilità che entri uno con la maglia dispari, ²₅. Il risultato è ¹₅.

Esercizio 2. i) > 0,

Z ₊₁

1 jxj e ^jxj

2

2 dx = 2 Z ₊₁

0

xe ^x22 dx^t=x=² Z ₊₁

0

e ^2t dt

=h

2 e ^2t i₁

0 = 2 quindi C = ₂¹.

ii)

E [X] = 1 2

Z ₊₁

1 x jxj e ^jxj

2

2 dx = 0 per disparità,

E [jXj] = 1 2

Z ₊₁

1 jxj²e ^jxj

2 2 dx:

Se consideriamo una W N 0; p , la sua varianza è (essendo la media nulla) V ar [W ] = 1

p2

Z ₊₁

1 jxj²e ^jxj

2

2 dx = : Quindi

1 2

Z ₊₁

1 jxj²e ^jxj

2

2 dx =

p2 2

p1 2

Z ₊₁

1 jxj²e ^jxj

2

2 dx

= p2

2 =

r 2 : iii)

F_Y (0) = P (Y 0) = P (1 jXj 0) = P (jXj 1)

= P (X 1) + P (X 1) = 2P (X 1) essendo simmetrica,

= 2 1 2

Z ₊₁

1

xe ^x22 dx^t=x=² 1 2

Z ₊₁

1

e ^2t dt

= 1 2

h

2 e ^2t i₁

1 = 1

2 2 e ²¹ = e ²¹ : iv)

E 1

jXj = 1 2

Z ₊₁

1

e ^jxj

2 2 dx:

Siccome

p1 2

Z ₊₁

1

e ^jxj

2

2 dx = 1 vale

1 2

Z ₊₁

1

e ^jxj

2

2 dx =

p2 2

p1 2

Z ₊₁

1

e ^jxj

2

2 dx =

r 2 : Esercizio 3. i) 1, 6 transitori, f2; 5g e f3; 4g irriducibili. Misure invarianti:

(0; ; 0; 0; ; 0) + (1 ) (0; 0; ; ; 0; 0)

con 2 [0; 1].

Vale poi, per simmetria (matrici bistocastiche), 0;1

2; 0; 0;1

2; 0 + (1 ) 0; 0;1 2;1

2; 0; 0 con 2 [0; 1].

ii) I tragitti sono

1¹⁼²!6¹⁼²! 5¹⁼³! 5¹⁼³! 5²⁼³! 2 1¹⁼²!6¹⁼²! 5¹⁼³! 5²⁼³! 2¹⁼³! 2 1¹⁼²!6¹⁼²! 5²⁼³! 2²⁼³! 5²⁼³! 2 1¹⁼²!6¹⁼²! 5²⁼³! 2¹⁼³! 2¹⁼³! 2

1¹⁼²! 1¹⁼²! 6¹⁼²! 5¹⁼³! 5²⁼³! 2 1¹⁼²! 1¹⁼²! 6¹⁼²! 5²⁼³! 2¹⁼³! 2 1¹⁼²! 1¹⁼²! 1¹⁼²! 6¹⁼²! 5²⁼³! 2 quindi la probabilità cercata vale

1 2 1 2 1 3 1 3 2 3+1

2 1 2 1 3 2 3 1 3+1

2 1 2 2 3 2 3 2 3 +1

2 1 2 2 3 1 3 1 3 + 1

2 1 2 1 2 1 3 2 3+1

2 1 2 1 2 2 3 1 3+1

2 1 2 1 2 1 2 2 3

= 49

216 = 0:226 85

iii) Se si parte da 2,5,3,4, i calcoli sono gli stessi; discutiamo a partire da 2. La sottomatrice degli stati f2; 5g è regolare, quindi si tende alla misura invariante, ¹₂;¹₂ . Quindi

n!1lim p⁽ⁿ⁾_ij = 1 2

per i = 2; 5, j = 2; 5, oppure per i = 3; 4, j = 3; 4. Mentre per i = 2; 3; 4; 5 e j diversi da quelli detti, è zero.

Partendo da 6, con pari probabilità ci si troverà in una delle due classi, da cui segue la storia precedente, per la formula di fattorizzazione. Si trova

n!1lim p⁽ⁿ⁾_6j = 1 2

1 2 = 1

4 per j = 2; 3; 4; 5.

Partendo da 1, la dimostrazione è più complicata ma il risultato è lo stesso che partendo da 6.