Coordinate polari ½

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE - UNIVERSIT ` A ”LA SAPIENZA”, ROMA CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 (LETTERE M - Z) - a. a. 2007/’08

FORMULARIO SINTETICO DI ANALISI MATEMATICA 2

Coordinate polari ½

x = ρ cos(θ)

y = ρ sin(θ) , ρ ∈ [0, +∞) , θ ∈ [0, 2π)

Coordinate polari centrate in P 0 ≡ (x 0 , y 0 )

½ x = x 0 + ρ cos(θ)

y = y 0 + ρ sin(θ) , ρ ∈ [0, +∞) , θ ∈ [0, 2π)

Coordinate ellittiche

½ x = aρ cos(θ)

y = bρ sin(θ) , ρ ∈ [0, +∞) , θ ∈ [0, 2π) , a, b > 0

Coordinate ellittiche centrate in P 0 ≡ (x 0 , y 0 )

½ x = x 0 + aρ cos(θ)

y = y 0 + bρ sin(θ) , ρ ∈ [0, +∞) , θ ∈ [0, 2π) , a, b > 0

Differenziale totale e differenziabilit` a Sia f derivabile nel punto interno P 0 ≡ (x 0 , y 0 ).

df (P 0 ) := f x (P 0 )(x − x 0 ) + f y (P 0 )(y − y 0 ) = f x (P 0 )dx + f y (P 0 )dy = − → ∇f (P 0 ) · −→ dP f `e differenziabile in P 0 ≡ (x 0 , y 0 ) se

ρ→0 lim

∆f − df (P 0 )

ρ = 0

dove ρ = | −−→

∆P | = p

(x − x 0 ) ² + (y − y 0 ) ² .

Formule di riduzione per gli integrali doppi

Se T `e un dominio normale rispetto all’asse x (o y-semplice):

T = {(x, y) ∈ IR ² | a ≤ x ≤ b ; α(x) ≤ y ≤ β(x)} , α, β ∈ C ⁰ ([a, b])

ZZ

T

f (x, y) dxdy = Z _b

a

dx Z _β(x)

α(x)

f (x, y)dy .

Se T `e un dominio normale rispetto all’asse y (o x-semplice):

T = {(x, y) ∈ IR ² | c ≤ y ≤ d ; γ(y) ≤ x ≤ δ(y)} , γ, δ ∈ C ⁰ ([c, d])

ZZ

T

f (x, y) dxdy = Z _d

c

dy Z _δ(y)

γ(y)

f (x, y)dx .

Area di un dominio normale

Se T `e un dominio normale rispetto all’asse x (o y-semplice):

T = {(x, y) ∈ IR ² | a ≤ x ≤ b ; α(x) ≤ y ≤ β(x)} , α, β ∈ C ⁰ ([a, b])

Area(T ) = Z _b

a

[β(x) − α(x)]dx .

Se T `e un dominio normale rispetto all’asse y (o x-semplice):

T = {(x, y) ∈ IR ² | c ≤ y ≤ d ; γ(y) ≤ x ≤ δ(y)} , γ, δ ∈ C ⁰ ([c, d])

Area(T ) = Z _d

c

[δ(y) − γ(y)]dy .

Formule di trasformazione di coordinate nel piano Data la trasformazione invertibile di coordinate

Φ :

½ x = x(u, v)

y = y(u, v) , Φ ∈ C ¹ (A) , A ⊆ IR ² , J(u, v) =

¯ ¯

¯ ¯ x u x v

y u y v

¯ ¯

¯ ¯ 6= 0 in A ,

A = Φ(T ) , T = Φ ⁻¹ (A) , cio`e tale che

Φ ⁻¹ :

½ u = u(x, y)

v = v(x, y) , J(x, y) =

¯ ¯

¯ ¯ u x u y

v x v y

¯ ¯

¯ ¯ 6= 0 , J(x, y) = 1 J(u, v) , ZZ

T

f (x, y) dxdy = ZZ

A

f (x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| dudv .

Coordinate polari:

½ x = ρ cos(θ)

y = ρ sin(θ) , ρ ∈ (0, +∞) , θ ∈ [0, 2π) , J(ρ, θ) = ρ : ZZ

T (x,y)

f (x, y) dxdy = ZZ

A(ρ,θ)

f (x(ρ, θ), y(ρ, θ))ρ dρdθ .

N.B.: in base a noti teoremi, la validit` a della formula di trasformazione in coordinate polari pu` o essere estesa a (ρ, θ) ∈ [0, +∞) × [0, 2π].

Volume di un dominio normale rispetto al piano (x, y) Dato il dominio

T = {(x, y, z) ∈ IR ³ | (x, y) ∈ A ⊆ IR ² , α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y) , α, β ∈ C ⁰ (A)}

V ol(T ) = ZZ

A

[β(x, y) − α(x, y)] dxdy .

Volume di un solido di rotazione

Dato il solido T ottenuto ruotando attorno all’asse z il rettangoloide

R = {(x, z) ∈ IR ² | z ∈ [c, d] , 0 ≤ x ≤ f (z)} , detta x B l’ascissa del baricentro di R,

V ol(T ) = 2π Z _d

c

dz Z _{f (z)}

0

x dx = π Z _d

c

[f (z)] ² dz = 2π · x B · Area(R)

Formule di Dirichlet Data f ∈ C ⁰ (D) , D ⊆ IR ² ,

Caso I. Funzione pari nella variabile x (f (x, y) = f (−x, y)) e dominio D simmetrico rispetto all’asse y:

detto D 1 = D ∩ {(x, y) ∈ IR ² | x ≥ 0}

ZZ

D

f (x, y) dxdy = 2 ZZ

D

1

f (x, y) dxdy .

Caso II. Funzione dispari nella variabile x (f (x, y) = −f (−x, y)) e dominio D simmetrico rispetto all’asse

y: ZZ

D

f (x, y) dxdy = 0 .

Caso III. Funzione pari nella variabile y (f (x, y) = f (x, −y)) e dominio D simmetrico rispetto all’asse x:

detto D ₂ = D ∩ {(x, y) ∈ IR ² | y ≥ 0}

ZZ

D

f (x, y) dxdy = 2 ZZ

D

2

f (x, y) dxdy .

Caso IV. Funzione dispari nella variabile y (f (x, y) = −f (x, −y)) e dominio D simmetrico rispetto all’asse

x: ZZ

D

f (x, y) dxdy = 0 .

Forme differenziali lineari

ω(x, y) = X(x, y)dx + Y (x, y)dy forma differenziale

−

→ F = (X(x, y), Y (x, y)) campo vettoriale associato alla forma

Integrale curvilineo di forma differenziale

Se X , Y ∈ C ⁰ (A) , A ⊆ IR ² connesso, data la curva regolare del piano

γ :

½ x = x(t)

y = y(t) , t ∈ [t 1 , t 2 ] , P (t 1 ) = P 1 , P (t 2 ) = P 2

allora Z

γ(P

1

,P

2

)

ω :=

Z _t

₂

t

1

[X(x(t), y(t)) · x ⁰ (t) + Y (x(t), y(t)) · y ⁰ (t)] dt .

Metodi per il calcolo delle primitive V (x, y) di una forma differenziale esatta Primo metodo: dato P ₀ ≡ (x ₀ , y ₀ ) e il generico punto P ≡ (x, y) , P ₀ , P ∈ A,

V (x, y) = Z _x

x

0

X(t, y 0 )dt + Z _y

y

0

Y (x, t)dt + C

oppure

V (x, y) = Z _y

y

0

Y (x 0 , t)dt + Z _x

x

0

X(t, y)dt + C .

Secondo metodo: Z

X(x, y)dx = V (x, y) + φ(y) dφ

dy = − ∂V

∂y + Y (x, y)

oppure Z

Y (x, y)dy = V (x, y) + ψ(x) dψ

dx = − ∂V

∂x + X(x, y)

Equazione della retta tangente a una curva regolare del piano nel punto di coordinate (x(t), y(t)) y − y(t)

y ⁰ (t) = x − x(t) x ⁰ (t)

Componenti del versore tangente a una curva regolare del piano nel punto di coordinate (x(t), y(t))

vers(− → τ ) =

à x ⁰ (t)

p (x ⁰ (t)) ² + (y ⁰ (t)) ² , y ⁰ (t) p (x ⁰ (t)) ² + (y ⁰ (t)) ²

! .

Componenti del versore della normale interna a una curva regolare del piano nel punto di coordinate (x(t), y(t))

vers(− → n i ) = Ã

− y ⁰ (t)

p (x ⁰ (t)) ² + (y ⁰ (t)) ² , x ⁰ (t) p (x ⁰ (t)) ² + (y ⁰ (t)) ²

! .

Lunghezza di una curva regolare Data la curva regolare del piano

γ :

½ x = x(t)

y = y(t) , t ∈ [t 1 , t 2 ] , P (t 1 ) = P 1 , P (t 2 ) = P 2

allora

l(γ) = Z _t

₂

t

1

p (x ⁰ (t)) ² + (y ⁰ (t)) ² dt .

Se la curva γ `e grafico della funzione y = f (x) , f ∈ C ¹ ([a, b]), allora

l(γ) = Z _b

a

p 1 + (f ⁰ (x)) ² dx .

Equazione del piano tangente Π _P

₀

a una superficie regolare nel punto P 0 ≡ (x 0 , y 0 , z 0 )

Data la superficie S grafico della funzione z = f (x, y) , f ∈ C ¹ (A) , A ⊆ IR ² , il piano tangente Π _P

₀

ha equazione

z − z 0 = ∂f

∂x (P 0 ) · (x − x 0 ) + ∂f

∂y (P 0 ) · (y − y 0 )

Componenti del versore della normale interna alla superficie regolare nel punto P 0 ≡ (x 0 , y 0 , z 0 ) vers(− → n i ) =

Ã

f x (P 0 )

p (f x (P 0 )) ² + (f y (P 0 )) ² + 1 , f y (P 0 )

p (f x (P 0 )) ² + (f y (P 0 )) ² + 1 , −1

p (f x (P 0 )) ² + (f y (P 0 )) ² + 1

!

Area della superficie

Area(S) = ZZ

A

q

(f x (x, y)) ² + (f y (x, y)) ² + 1 dxdy

Baricentri e momenti di inerzia

Tutte le formule vanno intese per corpi aventi densit` a di massa uniforme e di massa unitaria.

Coordinate del baricentro di un corpo γ filiforme nel piano, di equazione

γ :

½ x = x(t)

y = y(t) , t ∈ [t 1 , t 2 ] , P (t 1 ) = P 1 , P (t 2 ) = P 2

x _B = 1 l(γ)

Z _t

₂

t

1

x(t) p

(x ⁰ (t)) ² + (y ⁰ (t)) ² dt ; y _B = 1 l(γ)

Z _t

₂

t

1

y(t) p

(x ⁰ (t)) ² + (y ⁰ (t)) ² dt .

Coordinate del baricentro di un corpo D bidimensionale:

x _B = 1 Area(D)

ZZ

D

x dxdy ; y _B = 1 Area(D)

ZZ

D

y dxdy .

Coordinate del baricentro di un dominio T tridimensionale:

x _B = 1 V ol(T )

ZZZ

T

x dxdydz ; y _B = 1 V ol(T )

ZZZ

T

y dxdydz ; z _B = 1 V ol(T )

ZZZ

T

z dxdydz .

Momento d’inerzia di un dominio T tridimensionale rispetto a un punto P 0 ≡ (x 0 , y 0 , z 0 ):

I P

0

= ZZZ

T

[dist(P 0 , P )] ² dxdydz = ZZZ

T

[(x − x 0 ) ² + (y − y 0 ) ² + (z − z 0 ) ² ] dxdydz .

Momento d’inerzia di un dominio T tridimensionale rispetto all’asse delle z (analogamente per i momenti d’inerzia rispetto agli altri due assi):

I = ZZZ

T

(x ² + y ² ) dxdydz .

Momento d’inerzia di un dominio T tridimensionale rispetto al piano (x, y) (analogamente per i momenti d’inerzia rispetto agli altri due piani coordinati):

I = ZZZ

T

z ² dxdydz .

Divergenza e rotore

Dato il campo vettoriale − → F = (X(x, y), Y (x, y)) ∈ C ¹ (D) , D ⊆ IR ² , div( − →

F ) = − →

∇ · − → F := ∂X

∂x + ∂Y

∂y ; rot( − → F ) = − →

∇ ∧ − → F :=

µ ∂Y

∂x − ∂X

∂y

¶ − → k .

Dato il campo vettoriale − →

F = (X(x, y, z), Y (x, y, z), Z(x, y, z)) ∈ C ¹ (T ) , T ⊆ IR ³ , div( − →

F ) = − →

∇ · − → F := ∂X

∂x + ∂Y

∂y + ∂Z

∂z ;

−−−−→

rot( − → F ) = − →

∇ ∧ − → F =

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

−

→ i − → j − →

k

∂

∂x ∂

∂y ∂

∂z

X(x, y, z) Y (x, y, z) Z(x, y, z)

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

=

= µ ∂Z

∂y − ∂Y

∂z

¶ − → i +

µ ∂X

∂z − ∂Z

∂x

¶ − → j +

µ ∂Y

∂x − ∂X

∂y

¶ − → k

Formule di Gauss-Green in due dimensioni:

Dato un dominio regolare e limitato D ⊂ IR ² , considerate f, g ∈ C ¹ (D), ZZ

D

∂f

∂x dxdy = Z

+∂D

f dy ; ZZ

D

∂g

∂y dxdy = − Z

+∂D

g dx ;

Applicazioni

Area(D) = Z

+∂D

x dy = Z

+∂D

y dx = 1 2

Z

+∂D

(x dy − y dx)

Teorema della Divergenza in due dimensioni:

ZZ

D

div( − →

F )dxdy = ZZ

D

µ ∂X

∂x + ∂Y

∂y

¶ dxdy =

Z

+∂D

(X dy − Y dx) = Z

+∂D

−

→ F · − n → e ds

Teorema del Rotore (o di Stokes) in due dimensioni:

ZZ

D

µ ∂Y

∂x − ∂X

∂y

¶

dxdy = Z

+∂D

(X dx + Y dy)

Teorema del Rotore (o di Stokes) in tre dimensioni:

Data una superficie S, grafico della funzione regolare z = f (x, y), definita su un dominio regolare D, fissato arbitrariamente l’orientamento positivo del bordo +BS e orientati coerentemente S e il versore normale positivo − → n , considerato il campo vettoriale − →

F = (X(x, y, z), Y (x, y, z), Z(x, y, z)) ∈ C ¹ (A) , S ⊂ A ⊆ IR ³ ,

Φ S ( −−−−→

rot( − → F )) :=

Z

S

−−−−→

rot( − →

F ) · − → n dS = Z

+BS

X dx + Y dy + Z dz =:

I

+BS

−

→ F · − → τ ds

Equazioni differenziali a variabili separabili dy

dx = f (x) · g(y) ; f ∈ C ⁰ (I x ) , g ∈ C ⁰ (I y ) . Metodo della separazione delle variabili: ponendo g(y) 6≡ 0, si risolve

Z dy g(y) =

Z

f (x)dx (integrale generale)

Eventuali soluzioni singolari: si ottengono risolvendo g(y) = 0.

Equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti continui

y ⁰ (x) = a(x) · y(x) + b(x) ; a, b ∈ C ⁰ (I) Metodo del fattore integrante: e ⁻

R a(x)dx

e ⁻

R a(x)dx [y ⁰ (x) − a(x) · y(x)] = e ⁻

R a(x)dx b(x)

d dx

h e ⁻

R a(x)dx

y(x) i

= e ⁻ R a(x)dx

b(x) da cui

y(x) = e R a(x)dx

·Z e ⁻

R a(x)dx b(x)dx + C

¸

ovvero, usando la funzione integrale,

y(x) = e R

_x

x0

a(t)dt ·Z _x

x

₀

e ⁻ R

_t

x0

a(τ )dτ

b(t)dt + y 0

¸

, x 0 ∈ I ,

dove, assegnato un Problema di Cauchy, y 0 = y(x 0 ).

Equazioni differenziali di Bernoulli

y ⁰ (x) = a(x) · y(x) + b(x) · y ^α (x) ; a, b ∈ C ⁰ (I) ; α ∈ IR , α 6∈ {0, 1} .

Solo se α > 0, occorre tener conto anche della soluzione singolare y ≡ 0.

Supposto y 6≡ 0, si pone z(x) = y ^1−α (x), da cui

z ⁰ (x) = (1 − α)a(x)z(x) + (1 − α)b(x) .

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti

y ⁰⁰ (x) + ay ⁰ (x) + by(x) = f (x) equazione non omogenea o completa y ⁰⁰ (x) + ay ⁰ (x) + by(x) = 0 equazione omogenea

Integrale generale y 0 (x) dell’equazione omogenea: chiamiamo λ 1 e λ 2 le soluzioni dell’equazione caratteristica (o secolare)

λ ² + aλ + b = 0 .

I caso (∆ > 0 , λ 1 , λ 2 ∈ IR , λ 1 6= λ 2 ) (radici reali e distinte):

y 0 (x) = C 1 e ^λ

¹

^·x + C 2 e ^λ

²

^·x , C 1 , C 2 ∈ IR .

II caso (∆ = 0 , λ 1 = λ 2 = λ ∈ IR) (radici reali e coincidenti):

y 0 (x) = C 1 e ^λ·x + C 2 · x · e ^λ·x , C 1 , C 2 ∈ IR .

III caso (∆ < 0 , λ ₁ = α + iβ , λ ₂ = α − iβ = λ ₁ ∈ I C) (radici complesse coniugate):

y 0 (x) = e ^α·x [C 1 · cos(βx) + C 2 · sin(βx)] , C 1 , C 2 ∈ IR .

Integrale generale y(x) dell’equazione non omogenea: detti y 0 (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) l’integrale generale dell’equazione omogenea associata e y(x) un integrale particolare dell’equazione non omogenea,

y(x) = y 0 (x) + y(x)

Metodo di Lagrange della variazione delle costanti

y(x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) ,

dove 





C ₁ ⁰ (x)y 1 (x) + C ₂ ⁰ (x)y 2 (x) = 0 C ₁ ⁰ (x)y ₁ ⁰ (x) + C ₂ ⁰ (x)y ₂ ⁰ (x) = f (x) ovvero

C 1 (x) = −

Z f (x)y 2 (x)

W (x) dx ; C 2 (x) =

Z f (x)y 1 (x) W (x) dx dove W (x) =

¯ ¯

¯ ¯ y 1 (x) y 2 (x) y ⁰ ₁ (x) y ⁰ ₂ (x)

¯ ¯

¯ ¯ `e il Wronskiano di y ¹ e y 2 .

Metodo di somiglianza

Si vedano anche le due pagine in fondo al formulario.

1) f (x) = P m (x),

con P m (x) polinomio di grado m in x:

y(x) = p m (x) · x ^h ,

dove h `e la molteplicit`a (eventualmente nulla) della soluzione λ = 0 dell’equazione caratteristica e p m (x) `e un generico polinomio di grado m in x.

2) f (x) = e ^ηx P m (x),

dove η ∈ IR , P m (x) polinomio di grado m in x:

y(x) = e ^ηx q m (x) · x ^h ,

dove h `e la molteplicit`a (eventualmente nulla) della soluzione λ = η dell’equazione caratteristica e q m (x) `e un generico polinomio di grado m in x.

3) f (x) = e ^ηx [P m (x) cos(µx) + Q k (x) sin(µx)],

dove η, µ ∈ IR , P _m (x) , Q _k (x) polinomi rispettivamente di grado m e k in x:

y(x) = e ^ηx [p n (x) cos(µx) + q n (x) sin(µx)] · x ^h ,

dove h `e la molteplicit`a (eventualmente nulla) della soluzione λ = η + iµ dell’equazione caratteristica e p n (x), q m (x) sono generici polinomi di grado n = max{k, m} in x.

Principio di sovrapposizione

Data la generica equazione differenziale di ordine n lineare L(y) = f , con f = f 1 + f 2 , se esistono y 1 e y 2

tali che L(y 1 ) = f 1 e L(y 2 ) = f 2 , allora la funzione y = y 1 + y 2 soddisfa l’equazione L(y) = f .

Punti critici liberi 

(da M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Matematica, Zanichelli, 2004) 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Metodo di somiglianza 

(da Krasnov, Kiselyov, Makarenko – A book of problems in ordinary differential  equations)